一類離散綜合控制系統的保性能控制

孫 鳳 琪

(吉林師范大學數學與計算機學院，吉林 四平 136000)

0 引言

在控制系統中，由于使得系統不穩定和系統性能變弱的因素諸多，因此要求在能夠保證魯棒穩定的同時，還要使系統的性能指標滿足一定的要求，即保性能控制[1].對于不確定離散時滯奇異攝動控制系統，如何設計出一個高效合理的保性能控制器，使得在綜合指標前提條件下系統的性能指標始終不會超過某個上限，這是一個具有挑戰性的研究課題，引起了非常多學者的關注[2-4].目前，關于連續系統的保性能控制研究成果較多，但是，針對不確定離散時滯奇異攝動控制系統保性能控制的研究成果尚少.

文獻[5]第一次將保成本控制由連續系統推廣到離散系統，對含有不確定性和時間滯后的離散系統進行分析，最后得到了存在無記憶狀態反饋控制器的條件.文獻[6-8]同樣對離散系統開展了研究，選取了包含參數不確定性的滯后系統，得出了保性能控制器在離散系統中存在的最佳狀態.文獻[9]對于具有非線性的離散2維系統進行保成本控制分析，考慮了控制器可能出現的無記憶和記憶兩種狀態，由Lyapunov穩定性定理得出系統是魯棒穩定的，并以線性矩陣不等式方法為途徑，得到了系統存在保性能控制器的條件.然而，文中并沒有考慮系統中可能存在時變時滯狀態的情形.

目前，保性能控制在不確定連續時滯系統中的探究已非常詳細，研究成果頗豐.在離散系統中保性能控制理論成果也較多，但都不同程度地存在系統單一以及研究方法過于保守的問題[15-16]，且針對時滯攝動離散系統的相關文獻仍尚少.因此，如何選取新的方法使不確定離散時滯奇異攝動控制系統的保性能控制問題得到有效解決，需要廣大學者做進一步研究.

本文以現有的理論成果為基礎，將系統中的時滯設定為時變狀態，在系統矩陣中添加奇異攝動和不確定性，對不確定離散時滯奇異攝動控制系統進行保性能控制分析，給出了閉環系統達到漸近穩定狀態時系統性能指標的更小上界和系統存在狀態保性能控制器的具體條件.

通過線性矩陣分析方法和交叉項界定方法，利用李亞普諾夫穩定性理論，本文研究了不確定離散時滯奇異攝動控制系統的保性能控制問題，設計依賴奇異攝動參數的新的性能指標，推出了保性能控制率以及較小的性能指標上界.

1 預備知識

考慮以下帶有控制輸入的離散不確定時滯奇異攝動控制系統：

(1)

0≤d(k)≤τ，

(2)

τ為已知常數；F(k)∈i×j是不確定參數矩陣，

FT(k)F(k)≤I.

(3)

定義性能指標如下：

(4)

其中S和R是待定的對稱正定加權矩陣.

設計狀態反饋控制器

u*(k)=Kx(k)，

(5)

其中K是未知的控制器增益矩陣，則閉環系統成為

E(ε)x(k+1)=[A+DF(k)E1]x(k)+[Ad+DF(k)Ed]x(k-d(k))+BKx(k)=

[A+BK+DF(k)E1]x(k)+[Ad+DF(k)Ed]x(k-d(k))，

(6)

本文所得結論均在滿足文獻[17]引理1的條件下成立.

2 時滯依賴的保性能控制

(7)

(8)

則系統(1)的狀態反饋保性能控制器存在，相應的保性能控制律為

性能指標上界為

且閉環系統性能指標(4)滿足J≤J*.

證明定義如下的Lyapunov泛函：

V(x(k))=V1(k)+V2(k)+V3(k).

其中：

V1(k)=xT(k)ET(ε)Z-T(ε)Z-1(ε)E(ε)x(k)，

這里Q和M為對稱正定矩陣，即QT=Q>0，MT=M>0.

由文獻[17]引理2，得：

從而V(x(k))為正定的L-K泛函.將V(x(k))沿著閉環系統(6)的任意軌跡進行差分，得到ΔV(k)≤ξT(k)G(ε)ξ(k)，其中：

(9)

這里：

Σ(ε)=Z-T(ε)Z-1(ε)+Z-T(ε)QZ-1(ε)+(1-τ)M；

AC=A+BK+DF(k)E1；

AD=Ad+BK1+DF(k)Ed.

類似于文獻[17]中定理2的證明，對G(ε)<0消去不確定性并進行線性化處理.若記

則G(ε)<0等價于

以上過程均可逆，故

ΔV(k)≤ξT(k)G(ε)ξ(k)<0，

因此，閉環系統(6)漸近穩定.

由(9)式得：

ΔV(k)<-xT(k)[Z-T(ε)SZ-1(ε)+KTRK]x(k)<0；

-ΔV(k)>xT(k)[Z-T(ε)SZ-1(ε)+KTRK]x(k).

將上式兩邊從0到∞對k求和，并利用系統的穩定性可知V(x(∞))=0，故

3 時滯獨立的保性能控制

(10)

(11)

則系統(1)的狀態反饋保性能控制器存在，相應的保性能控制律為

性能指標上界為

且閉環系統性能指標(4)滿足J≤J*.

定理2的證明過程與定理1類似，此處略去.

4 算例

考慮滿足如下非標準情形的不確定離散時滯奇異攝動控制系統(1)和性能指標(4)，其中：

Z1=0.164 8，Z2=0.124 9，Z3=0.378 4，Z4=0.459 8，Z5=0.212 3，γ=2.412 6，

則

即為系統(1)的狀態反饋保性能控制律，性能指標上界為

表1 保性能控制性能指標對比

定理1具有較大的奇異攝動參數上界值0.55，并且保性能控制區間在(0，0.55]，擴大了閉環系統的漸近穩定范圍，性能指標上界值J*=9.853 7比文獻的10.700 6也相對更小.

綜上數值樣例表明，本文所得定理的保性能控制條件具有可行性，控制方式有效，進一步拓寬和完善了保性能控制理論體系.其線性矩陣不等式保性能控制條件形式簡單易行，并且適用于標準和非標準情形.相比較而言，本文的控制效果具有一定的優越性，研究結果具有一定的理論意義和實際應用價值.

5 結論

在近幾年中，保性能控制問題受到了越來越多學者的關注，在眾多學者的共同努力下，已經形成了比較系統的理論體系.本文創新之處在于：

(1) 選取了新的綜合控制系統保性能控制研究；

(2)重新定義了性能指標，以及一個新的李亞普諾夫泛函；

本文對于不確定離散時滯奇異攝動控制系統保性能控制的研究，可以為相關控制問題研究提供理論參考.對于記憶狀態反饋保性能控制設計，是下一步需要解決的問題.