一類具有奇異項的p(x)-Kirchhoff方程解的存在性

謝嫣玲，肖宇霞，儲昌木

(貴州民族大學數據科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550025)

1 引言和主要結果

考慮如下含奇異項的p(x)-Kirchhoff型方程：

(1)

其中：Ω?N(N≥3)是具有C2邊界的光滑有界域；且滿足?u)是p(x)-Laplace算子；M和f(x，u)為滿足一定條件的連續函數；λ是實參數；是連續函數且滿足在Ω上幾乎處處成立，這里

問題(1)源于如下Kirchhoff模型：

(2)

近年來，由于Kirchhoff模型在電流變流體、圖像恢復等方面有重要的應用[1-2]，形如問題(1)的非局部橢圓問題受到了人們的廣泛關注[3-8].特別地，文獻[3]研究了如下問題非平凡弱解的存在性：

(3)

其中：Ω?N(N≥3)是有界正則域；a，b≥0，a+b>0；p≥2；0<γ<1；λ≥0；g(x)≥0在Ω上幾乎處處成立，且，)滿足

(f1) 對任意u∈，有f(x，tu)=f(x，u)，

(f2) 存在Ω1??Ω，|Ω1|>0，使得f(x，t)≥0，x∈Ω1.

文獻[4]運用極小極大方法獲得了問題(3)非平凡弱解的存在性.此外，文獻[4]假設M滿足如下條件：

(M1)M(t)是(0，∞)上的連續函數，M(t)>0，且對任意的T>0，有M(t)∈L1(0，T)；

該文研究了問題(1)在λ<0的情形.在f滿足一定條件時，利用極小極大方法獲得了該類方程非平凡弱解的存在性.

然而，作為問題(3)的更一般情形，對滿足上述條件的M(t)，當λ>0時，問題(1)的可解性研究尚未發現.本文給出比(f1)更弱的條件：

本文的主要結果如下：

2 預備知識

對應的范數分別為

命題1[4]設1

(ⅰ) 若對任意x∈Ω，r(x)≤q(x)，則Lq(x)(Ω)→Lr(x)(Ω)是連續的；

(ⅱ) 若q(x)

(ⅰ) |u|p(x)<1(=1或>1)?ρ(u)<1(=1或>1)；

命題4[4]設p(x)，q(x)是可測函數，對任意的x∈Ω，p(x)∈L∞(Ω)，1≤p(x)q(x)≤∞.若u∈Lq(x)(Ω)，u≠0，則

3 主要結果的證明

(4)

定義1 若對任意x∈Ω，v∈X都有

(5)

則稱u∈X為方程(1)的一個弱解.

由于max{1-γ-，r+}<βp-，所以當‖u‖→+∞時，I(u)→+∞.故泛函I在X上是強制的.

由δp->1-γ-和g(x)>0在Ω上幾乎處處成立知，存在t*∈(0，1)，使得對當t∈(0，t*)時，I(tφ)<0.

(6)

由H?lder不等式和命題4可推出

(7)

由H?lder不等式可得

通過Lebesgue控制收斂定理和命題4得

(8)

因此，結合(6)，(7)，(8)式可知泛函I是弱下半連續的，且滿足

即I(u*)=mλ<0.

定理1的證明由引理3可知，u*是泛函I的局部極小點，I(u*)=mλ<0，這意味著u*≠0.下證u*是問題(1)的一個弱解.

設φ∈X，0<ε<1，定義Ψ=(u*+εφ)+∈X，其中Ψ=(u*+εφ)+=max{u*+εφ，0}，記Ω3={x|u*+εφ≤0}，Ω4={x|u*+εφ>0}.因為u*是泛函I的局部極小點，則有

當ε→0+時，Ω3={x|u*+εφ≤0}積分區域是可測的，對任意的φ∈X，故有

由ε→0+，得到

用-φ替換φ，可得到相反的不等式.因此，

故u*是問題(1)的一個弱解.從而u*是問題(1)的一個非平凡弱解.