帶p-Laplacian算子的分數階微分方程共振無窮多點邊值問題解的存在性

孔凡亮，薛婷婷，付麗娜，陳 星

(新疆工程學院數理學院，新疆 烏魯木齊 830023)

0 引言

近年來，分數階微分方程在科學與工程領域有著廣泛的應用，比如化學物理、非牛頓流體力學、高分子材料的解鏈等[1-5].為解決自然科學與工程技術領域中眾多復雜的問題，越來越多的科學工作者致力于分數階微分方程的研究.文獻[6]利用錐上的不動點指數理論，研究了帶有雙參數的非線性邊值問題在不同增長性條件下正解的存在性、多解性和不存在性.文獻[7]運用Schauder不動點定理和Krasnoselskii不動點定理證明了非線性分數階微分方程邊值問題正解的存在性.文獻[8]運用迭代技巧得到了一類分數階微分方程無窮多點邊值問題唯一解的存在性.文獻[9]研究了下列無窮多點問題：

p-Laplacian方程來源于非線性彈性力學和非牛頓流體理論.近幾年，分數階p-Laplacian問題取得了很多有價值的成果[11-15].文獻[16]利用上下解方法，給出了p-Laplacian問題正解的存在性：

其中：0<α，β≤1；CDα是Caputo型分數階導數；φp()是由φp(s)=|s|p-2s(s≠0，p>1)，φp(0)=0定義的p-Laplacian算子.文獻[18]利用Mawhin連續定理研究了帶有p-Laplacian算子的微分方程共振問題解的存在性：

文獻[18]將上述問題轉換為下列線性問題：

(1)

1 預備知識

定義1.1[19]函數x：(1，+∞)→的α階(α>0)Riemann-Liouville分數階積分定義為

(2)

這里等式右端逐點定義在(0，+∞)上.

定義1.2[19]函數x：(0，+∞)→的α階(α>0)Riemann-Liouville分數階導數定義為

(3)

其中n=[α]+1，[α]表示α的整數部分，等式右端逐點定義在(0，+∞)上.

(1)Lx≠λNx，對任意的(x，λ)∈[(domL〗KerL)∩?Ω]×(0，1)；

(2) Nx?ImL，對任意的x∈KerL∩?Ω；

(3)deg(QN)|KerL，Ω∩KerL，0)≠0.

則方程Lx=Nx在domL∩Ω上至少有一個解.

2 問題(1)的主要結論

考慮如下問題：

(4)

(5)

其中

引理2.1 令L由(5)式定義，那么

KerL={u∈domL|u(t)=ctβ-1，c∈，?t∈[0，1]}，

?t∈[0，1]，線性連續投影算子P：X→X和Q：Y→Y，定義：

顯然，ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL?KerP，Y=ImL?ImQ，dimKerL=dimImQ=codimImL=1.因此，L是零指標的Fredholm算子.

定義算子KP:ImL→domL∩KerP，

顯然，KPLu=u，u∈domL∩KerP，LKP=y，y∈ImL，i.e.KP=(L|domL∩KerP)-1.

|KP，Qu(t2)-KP，Qu(t1)|=

定理2.1 如果下列假設成立，則問題(4)至少有一個解.

(H1) 如果存在常數M0>0，使得|u(t)|>M0，t∈[0，1]，那么下列二式成立其一：

(6)

(7)

(H2) 存在非負函數a(t)，b(t)，c(t)與A，B，C<+∞和B+C<Γ(β)/2滿足

引理2.3 如果假設(H1)和(H2)成立，則集合

Ω1={u(t)|Lu(t)=λNu(t)，u(t)∈domL〗KerL，λ∈(0，1)}

是有界的.

證明對u(t)∈Ω1，可得Nu∈ImL.從而QNu(t)=0，也就是說

由假設(H1)，存在t0∈[0，1]滿足|u(t0)|≤M0.根據Lu=λNu，有

(8)

(9)

因此，由(8)，(9)式和假設(H2)，有

引理2.4 如果假設(H1)成立，那么集合

Ω2={u|u∈KerL，Nu∈ImL}

是有界的.

證明如果u(t)∈Ω2，那么u(t)=ctβ-1，c∈并且Nu∈ImL.從而

應用假設(H1)，‖u‖=|c|≤M0.從而Ω2是有界的.

引理2.5 如果假設(H1)成立，那么集合

Ω3={u|u∈KerL，λJ-1u+(1-λ)QNu=0，λ∈[0，1]}

是有界的，其中J-1：KerL→ImQ是同胚映射，J-1(ctβ-1)=ctβ-1，c∈.

證明如果u∈Ω3，那么u(t)=ctβ-1，c∈且λ(ctβ-1)+(1-λ)QN(ctβ-1)tβ-1=0，從而

(10)

如果λ=0，QN(csβ-1)=0.根據假設(H1)，|c|≤M0.如果λ=1，則c=0.對λ∈(0，1)，由(10)和(6)式，可得|c|≤M0.否則，如果|c|>M0，那么問題(10)可以寫成如下形式：

由(6)式得

這與c2λ>0矛盾.那么|c|≤M0，因此Ω3是有界的.

引理2.6 如果假設(H1)成立，那么集合

是有界的，其中J-1：KerL→ImQ是同胚映射.

證明過程類似于引理2.5，此處略去.

定理2.1的證明

證明令r∈足夠大，則有其中Ω={u|u∈X，‖u‖

(ⅰ)Lu≠λNu，(u，λ)∈[(domL〗KerL)∩?Ω]×(0，1)；

(ⅱ) Nu?ImL，u∈KerL∩?Ω.

令

H(u，λ)=±λJ-1(u)+(1-λ)QNu.

由引理2.5和引理2.6，可知H(u，λ)≠0，這里u∈KerL∩?Ω，λ∈[0，1]，那么

deg(JQN|KerL，Ω∩KerL，0)=deg(H(·，0)，Ω∩KerL，0)=deg(±I，Ω∩KerL，0)≠0.

3 例子

考慮如下問題：

(11)