變指標Morrey空間上分數(shù)次極大算子及交換子的弱型估計

徐 博，陶雙平

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 蘭州 730070)

1 主要結(jié)果

設0≤α

(1)

其中Q為n中的方體.給定一個局部可積函數(shù)b，由b和Tα生成的交換子定義如下：

(2)

給定可測函數(shù)p(·)：n→[1，∞)，變指標Lebesgue空間Lp(·)定義為

其上的Luxemburg-Nakano范數(shù)為

定義1[3]設p(x)∈L∞，10，使得對任意的z∈n及r>0，Lebesgue可測函數(shù)u(z，r)：n×(0，∞)→(0，∞)，滿足

那么稱u為Lp(·)(n)意義下的Morrey權(quán)函數(shù)，用Wp(·)表示所有滿足上述條件的Morrey權(quán)函數(shù)的集合.

定義2[3]設p(·)：n→[1，∞)，u(z，r)∈Wp(·).變指標Morrey空間n)定義為

定義3[8]設p(·)：n→[1，+∞).若存在常數(shù)C>0且p∞∈，滿足

(3)

(4)

對于任意p(·)：n→[1，∞)，定義

本文的主要結(jié)果如下：

定理1 設0<α

(5)

所定義.若存在常數(shù)C1>0，使得?z∈n和r>0，u滿足

(6)

定理2 設b∈BMO(n)，設0<α0，使得對任意z∈n和r>0，u滿足

(7)

2 定理的證明

引理1[4]若0<α0，使得對任意f∈Lp(·)，有

引理2[9]設b∈BMO(n)，0<α0，使得對任意f∈Lp(·)，有

引理3[10]設0<α0，使得對任意球B，有

引理4[11]設p(·)：n→[1，∞)為全局log-H?lder連續(xù)，k為正整數(shù)，B?n，則對任意b∈BMO(n)，j，i∈Z且j>i，有

其中B=B(x，r)，Bi=B(x，2ir).

引理5[12]設p(·)：n→[1，∞)滿足(3)和(4)式，1=p-≤p+<∞，則存在常數(shù)C≥1，使得對任意球B，有

引理6[13]設p(·)：n→[1，∞)滿足(3)和(4)式，則存在常數(shù)C，D>0，使得對任意球B，有

(8)

注意到存在常數(shù)C>0，使得對任意z∈n且r>0，有

因此，

(9)

由(6)，(8)，(9)式得

由引理6和(5)式，得

其中C，D>0且與z，r均無關(guān).因此

則有

因此，由擬落數(shù)的定義，有

對z∈n且r>0取上確界，得

由引理2，得

進一步，利用(7)和(9)式得

對于I1，由廣義H?lder不等式和引理3，有

由引理4和引理5得

因此，

對于I2，由引理4和廣義H?lder不等式，有

結(jié)合I1，I2的估計，有

進一步，由(7)式得

因此，由擬范數(shù)的定義，有

對z∈n且r>0取上確界，得