一類Minkowski空間里的格序半群

宋元鳳，李武明，楊 柳

(1.通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 通化 134000；2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130012)

0 引言

序半群作為序代數(shù)的一個(gè)分支，近30年來得到了蓬勃發(fā)展，而格序半群作為格代數(shù)和半群代數(shù)的比較完美的結(jié)合成為了序半群的重要部分.1948年美國著名數(shù)學(xué)家Birkhoff[1]論述了格序半群的相關(guān)知識.之后，在Fuchs[2-3]和Holland[4]等數(shù)學(xué)家的推動(dòng)下，格序半群已發(fā)展成一個(gè)相對完整的研究系統(tǒng).Birkhoff、Conrad、Kontorovi等數(shù)學(xué)工作者豐富了這個(gè)領(lǐng)域的結(jié)論[5-11].

1907年德國數(shù)學(xué)家Minkowski將Einstein與Hendrik Antoon Lorentz理論結(jié)果重新表述成(3+1)維的時(shí)空，稱為Minkowski空間.[12]Minkowski空間理論經(jīng)歷了一百多年發(fā)展，對(3+1)維Minkowski空間理論的研究已經(jīng)推廣到p+q維Minkowski空間理論——(p，q)型Minkowski空間理論的研究中[13].(p，q)型Minkowski空間即為實(shí)Clifford代數(shù)Clp，q的生成空間——實(shí)數(shù)域上的正慣性指數(shù)為p、負(fù)慣性指數(shù)為q的線性空間Rp，q.當(dāng)p=n-1，q=1時(shí)，(p，q)型Minkowski空間Rp，q稱為n維Minkowski空間，簡記為Mn.

對實(shí)Clifford代數(shù)的結(jié)構(gòu)已經(jīng)有了比較深入的研究[14-16].本文研究實(shí)Clifford代數(shù)生成空間，給出了實(shí)Clifford代數(shù)生成空間——(p，q)型Minkowski空間Rp，q的M-距離概念，然后通過M-距離這個(gè)工具把實(shí)Clifford代數(shù)的一類生成空間——n維Minkowski空間Mn分成4個(gè)區(qū)域，并探討了這些區(qū)域的格序半群與格序半線性空間結(jié)構(gòu).

1 (p，q)型Minkowski空間的M-距離與E-距離

實(shí)Clifford代數(shù)Clp，q可以展開寫成[17]

Clp，q=〈Clp，q〉0?〈Clp，q〉1?…?〈Clp，q〉p+q.

實(shí)Clifford代數(shù)Clp，q的子空間

Rp，q=〈Clp，q〉1={x1e1+…+xpep+xp+1ep+1+…+xp+qep+q|x1，…，xp+q∈}

定義1[13]Rp，q是實(shí)數(shù)域上的線性空間，在Rp，q上定義一個(gè)二元實(shí)函數(shù)，對Rp，q中任意ω=x1e1+…+xp+qep+q，χ=y1e1+…+yp+qep+q，定義ω，χ的M-內(nèi)積為

ω·χ=(x1e1+…+xp+qep+q)·(y1e1+…+yp+qep+q)=
x1y1+…+xpyp-xp+1yp+1-…-xp+qyp+q，

記作ω·χ，稱賦有Minkowski內(nèi)積的線性空間Rp，q是(p，q)型Minkowski空間，其中γ=x1e1+…+xpep是向量ω的空間分量，τ=xp+1ep+1+…+xp+qep+q是向量ω的時(shí)間分量.Rp，q中的向量可以分為3類，當(dāng)ω·ω=0，(>0，<0)時(shí)稱ω是Rp，q的類光(類空，類時(shí))向量.規(guī)定零向量既是類空向量，也是類時(shí)向量和類光向量.

通過Minkowski空間向量的M-內(nèi)積定義Minkowski空間的M-距離(模)(或稱時(shí)空間隔)，記作‖‖M.同時(shí)為了區(qū)分Minkowski空間的M-距離(模)，把Euclid空間的距離(模)叫作E-距離(模)，記作‖‖E.

定義2 Minkowski空間Rp，q中向量

ω=γ+τ=(x1e1+…+xpep)+(xp+1ep+1+…+xp+qep+q)

的M-距離(模)為

Minkowski空間Rp，q的所有類時(shí)向量的集合為

Ω={ω∈Rp，q|ω=γ+τ，γ=x1e1+…+xpep，τ=xp+1ep+1+…+xp+qep+q，‖γ‖E<‖τ‖E}.

把{ω=γ+τ|ω∈Rp，q，‖γ‖E<‖τ‖E，xp+1>0，…，xp+q>0}稱為Rp，q的未來類時(shí)區(qū)，記為Rp，q+，把{ω=γ+τ|ω∈Rp，q，‖γ‖E<‖τ‖E，xp+1<0，…，xp+q<0}稱為Rp，q的過去類時(shí)區(qū)，記為Rp，q-.

例1 設(shè)Rp，q，pq≠0為(p，q)型Minkowski空間，令S=Rp，q+∪Rp，q-，那么S對加法不封閉.

2 n維Minkowski空間Mn子集的格序半群結(jié)構(gòu)

定義3[18]若偏序集G中任意兩個(gè)元素都有上確界和下確界，把G中元素a和b的上確界和下確界分別記為a∨b和a∧b，即a∨b=sup{a，b}，a∧b=inf{a，b}，則稱偏序集G為格.

定義4[18]設(shè)G是半群且(G，∨，∧)是格.若

(a∨b)c=ac∨bc，c(a∨b)=ca∨cb，?a，b，c∈G，

則稱(G，·，∨，∧)是半格序半群(∨半群).一個(gè)∨半群若滿足

(a∧b)c=ac∧bc，c(a∧b)=ca∧cb，?a，b，c∈G，

則稱G是格序半群.

定義5[18]設(shè)G是半環(huán)A上的半線性空間.如果存在半序關(guān)系使得(G，)是半序集，則稱G是半環(huán)A上的半序半線性空間.如果半序集(G，)為格，則稱G是半環(huán)A上的可格半線性空間.

本文稱Mn={x1e1+…+xn-1en-1+xnen|x1，…，xn∈，為n維Minkowski空間.Mn的向量內(nèi)積為

ω·μ=(x1e1+…+xn-1en-1+xnen)·(y1e1+…+yn-1en-1+ynen)=
x1y1+x2y2+…+xn-1yn-1-xnyn，?ω，μ∈Mn.

易知，Rn-1={ω∈Mn|xn=0}為n-1維歐氏向量空間，它是n維Minkowski空間Mn的子空間.對于任意γ1，γ2∈Rn-1，‖γ1+γ2‖M≤‖γ1‖M+‖γ2‖M，即2個(gè)向量的M-模滿足三角不等式.

記

C(ω0，0)={ω|‖ω-ω0‖M=0，ω，ω0∈Mn}，

它是以ω0=x11e1+…+x1(n-1)en-1+x1nen∈Mn為中心的點(diǎn)球.在n維歐氏空間里點(diǎn)球是一個(gè)點(diǎn)，但是在n維Minkowski空間里點(diǎn)球不是一個(gè)點(diǎn).以ω0=x11e1+…+x1(n-1)en-1+x1nen∈Mn為中心的點(diǎn)球方程是(x1-x11)2+…+(xn-1-x1(n-1))2=(xn-x1n)2，于是可知在n維Minkowski空間里兩個(gè)點(diǎn)球一定相交.

例如，三維Minkowski空間里，設(shè)C(ω1，0)，C(ω2，0)為兩個(gè)不同點(diǎn)球，則它們的交集方程是

其中：ω1=x1e1+y1e2+z1e3，ω2=x2e1+y2e2+z2e3.將之變形為

(1)Mn(1)={ω|ω=γ+xnen，‖γ‖E≤xn}；

(2)Mn(2)={ω|ω=γ+xnen，‖γ‖E≥xn，xn>0}；

(3)Mn(3)={ω|ω=γ+xnen，‖γ‖E≤-xn}；

(4)Mn(4)={ω|ω=γ+xnen，‖γ‖E≥-xn，xn<0}.

上面式子中γ=x1e1+…+xn-1en-1.在n維Minkowski空間Mn里4個(gè)區(qū)域Mn(i)中定義序關(guān)系i，i=1，2，3，4，ω1iω2?ω2-ω1∈Mn(i)，i=1，2，3，4.

引理1n維Minkowski空間Mn的子集Mn(1)，Mn(3)對于“+”是半群.

證明只證明n維Minkowski空間的子集Mn(1)對于“+”是半群，類似可以證明Mn(3)對于“+”是半群.

設(shè)ω1=γ1+x1nen，ω2=γ2+x2nen是Mn(1)的任意兩個(gè)向量，其中‖γ1‖E≤x1n，‖γ2‖E≤x2n.因?yàn)棣?+ω2=γ1+γ2+(x1n+x2n)en，‖γ1+γ2‖E≤‖γ1‖E+‖γ2‖E≤x1n+x2n，所以n維Minkowski空間Mn的子集Mn(1)對于“+”是封閉的.容易驗(yàn)證Mn(1)對于“+”滿足結(jié)合律，因此Mn(1)為半群.

因?yàn)樵贛n(1)，Mn(3)中每一非零元沒有逆元，所以Mn(1)，Mn(3)不是群.

定理1n維Minkowski空間Mn的子集(Mn(1)，+)關(guān)于序1，(Mn(3)，+)關(guān)于序3都為格序半群.

證明只證明半群(Mn(1)，+)關(guān)于1為格序半群，類似地能夠證明半群(Mn(3)，+)關(guān)于3也為格序半群.

在Mn(1)中，設(shè)ω1=γ1+x1nen，ω2=γ2+x2nen為任意兩個(gè)向量，其中‖γ1‖E≤x1n，‖γ2‖E≤x2n.當(dāng)ω1，ω2有偏序關(guān)系時(shí)，不妨假設(shè)ω11ω2，構(gòu)造ω1∧ω2=ω1，ω1∨ω2=ω2.當(dāng)ω1，ω2沒有偏序關(guān)系時(shí)，構(gòu)造于是Mn(1)是格.經(jīng)驗(yàn)證知：

ω1+(ω2∧ω3)=(ω1+ω2)∧(ω1+ω3)，

ω1+(ω2∨ω3)=(ω1+ω2)∨(ω1+ω3).

通過引理1可知Mn(1)為半群，因此半群Mn(1)為格序半群.

推論1 半群(Mn(1)，+)關(guān)于序1，(Mn(3)，+)關(guān)于序3都構(gòu)成實(shí)數(shù)域上格序半線性空間.

設(shè)ω0=γ0+x0nen是n維Minkowski空間Mn中的已知向量，令：

(1)Mn(1，ω0)={ω|ω-ω0=γ+xnen，‖γ‖E≤xn}；

(2)Mn(2，ω0)={ω|ω-ω0=γ+xnen，‖γ‖E≥xn，xn>0}；

(3)Mn(3，ω0)={ω|ω-ω0=γ+xnen，‖γ‖E≤-xn}；

(4)Mn(4，ω0)={ω|ω-ω0=γ+xnen，‖γ‖E≥-xn，xn<0}.

上面式子中γ=x1e1+…+xn-1en-1.

推論2n維Minkowski空間的子集(Mn(1，ω0)，+)關(guān)于序1，(Mn(3，ω0)，+)關(guān)于序3為實(shí)數(shù)域上格序半線性空間.