試題命制視角下初中生“幾何直觀”能力培養探究

林碧鳳

（南安市洪新中學，福建 南安 362300）

荷蘭數學家弗賴登塔爾曾提出，幾何直觀可以告訴我們哪些屬于可能重要及有意義或者是可接近的，并能夠讓我們在課題、概念及方法的荒原上不必陷于歧途。而希爾伯特在其所著《直觀幾何》里面提到：依靠直觀想象，我們可以闡述幾何中的各類事實與問題，且在許多情況下可用幾何輪廓描述相關研究，而避免對嚴格定義實際計算的累贅闡述。《義務教育數學課程標準（2022 年版》也提到：幾何直觀重點借助圖形描述和分析問題，它能夠讓原本復雜的數學問題變得簡明而形象，幫助學習者探索解決問題的理想思路，并對結果加以預測。

一、幾何直觀的定義及價值

（一）幾何直觀的定義

幾何直觀指的是利用圖形，以及圖形的關系、變化、運動軌跡等，比較直接地理解問題本質，并得到解決問題的解決思路，產生推斷問題結論的直觀性較強的感覺及思維方式，通常其為依托與利用圖形所進行數學各項內容的思考和想象。

（二）幾何直觀的價值

數學內容普遍具有雙重性，既具有數的特征，又具有形的特征。從雙重性視角去客觀而全面地認知數學能增進學生對數學本質意義的理解。在這方面，幾何直觀能力有著獨特優勢，它能夠幫助揭示研究對象的性質與關系，讓科學正確的世界觀與方法論被學生所認可與接受。幾何直觀的價值可總結為下述四點：

1.理解價值。理解價值，即借助幾何直觀實現對抽象數學概念、定義、定理、公式等的直觀化與可視化轉化，使他們能明確數學概念、定義等的內涵、外延，并了解相關概念的異同點，且對定理、公式由來、推斷過程以及適用范圍等加以理解。

2.發現價值。可借助幾何直觀發展觀察力與分析力，有助于學習者直接發現新結論、新思路、新方法等。

3.解決價值。可通過幾何直觀整合數學問題有效信息、將其中的數學模型抽象出來，繼而找到處理問題的思路。

4.創新價值。創新價值，即在幾何直觀的幫助下，讓學生擁有創新機會，在提升抽象力的前提下發現創造性思維［1］。

二、試題命制角度的幾何直觀能力培養

（一）幾何問題原型

案例1.如圖1 所示，現在已經知道AB=12，AB⊥BC 于點B 位置，AB⊥AD 于點A 位置，且AD=5，BC=10，CD 中點是E，那么AE 長度是多少？

圖1

【解法分析】該題的命制從學生幾何直觀能力形成與應用方面提出的。首先，在學生意識到問題中給出“AD=5”“BC=10”“CD 中點是E”這些條件后，很容易想到中位線定理的知識；其次，題目中的“AB 和BC 在B 點垂直”“AB 和AD 在A 點垂直”則屬于極具典型性的平行線條件，也容易聯想到平形四邊形相關知識點。該題考查學生的幾何直觀能力，若是可以快速找出題圖與平行四邊形的聯系，如圖2 所示，該題的解答會非常簡單。

圖2

【理論分析】初中生在處理幾何試題時，若遇到稍顯復雜的問題，一般情況下會利用作輔助線的方法，而簡單輔助線并不足以支撐幾何直觀能力形成，此時教師可嘗試使學生轉換思維，借助基本圖形疊加法，讓原本復雜的圖形趨于簡單化。幾何直觀需要以特定的幾何背景為條件才能產生效果，即幾何直觀需要以幾何圖形為載體。以本題為例，題目中給出的幾個條件看似簡單，實際上恰可以充當展現幾何直觀能力的背景，也就是能夠暗示學生發掘“背景”中的內在含義、引申含義等。再者，幾何直觀對象普遍具有可視性和層次性，本題的點和線特殊位置關系巧妙之處在于：學生可利用已知垂直條件聯想到平行，再利用連接右上角部分“缺失”的做法，把圖形“補充完整”，整個過程是可視的、有層次的，最終能夠轉變為有效的“新對象”。最后，幾何直觀致力于揭示探索對象的性質與關系，在看似簡單的圖形中進行基于幾何直觀的高級、抽象空間形式轉化，本題符合這一要求，可讓圖形在重新加工后以新圖形面貌出現，從而讓題目變得直觀易解。

總之，從幾何直觀能力定義的角度看，該問題利用圖形直觀的位置關系構造平行四邊形，從而得到問題的解決思路。從試題命制的角度看，該圖形的直觀性較強，通過對中點與中位線定理之間的聯系達到對本題涉及的多個數學知識點進行合理的思考與想象，從而培養學生的數學思維能力。

（二）幾何問題拓展

除了基本問題外，中學數學教師還可以在考核學生“幾何直觀”能力的試題命制時，注意拓展問題的價值，以便給學生提供足夠豐富的研究材料。現以兩個問題為例，對幾何直觀能力價值與應用進行分析。

案例2.如圖3 所示，在矩形ABCD 中，以BC 為直徑，繪制半圓O，OE⊥OA 于點E，對角線AC 同半圓O 另一交點是P，在連接AE 后，請證明AE 為半圓O 切線，另外，若PA=2，PC=4，那么AE 長度是多少。

圖3

【案例分析】對于第一個問題，可基于構造不同幾何模型的策略，給出不同解法。例如，學生可在教師的提示下，先做輔助線OF⊥AE 于F，從“一線三直角”模型，得到△ABO∽△OCE，再引出，繼而得出△ABO∽△AOE，借助角平分線性質，便可證明OF=OB，接下來的過程可由學生自主推導，教師進行從旁的適時提醒。

對于第二個問題，相對而言難度較大，因為已知與所求間關系不是特別明顯，入手不易，此時建議學生從已知出發，考慮到BC 為直徑，P 為圓周上點，所以可以聯結BP，產生△ABP∽△ACB 的結論，順勢求出AB，從而得到BC、BO，再借助△ABO∽△AOE，順利解決問題。讓學生在此過程中感受幾何直觀能力的應用技巧，從而進一步提高學生的幾何直觀能力。

【策略歸納】本題屬于圓的綜合題，如果站在知識角度分析，可看到它比較直接地考查了切線判定與性質、矩形性質，以及相似三角形和全等三角形等方面知識，若基于思想方法進行探討，可注意其涉及轉化法和截長法、補短法等，而如果從幾何變換、幾何模型角度分析，又有對翻折變換及等腰三角形等知識點。一般而言，有效提高和拓展幾何直觀能力，不僅要從問題中的知識角度進行綜合分析，更要掌握數學思想方法的應用。

（三）幾何問題進階

案例3.圖4 中，△ABC 為等腰直角三角形，其中∠BAC=90°，如果把△ABC 繞點C 進行順時針旋轉，可產生△A'B'C，標記旋轉角α，若90°＜α＜180°，作A'D⊥AC，A'和B'C 相交點E。在∠CA'D=15°時，試作∠A'EC平分線EF，使之交BC 于點F。請寫出旋轉角α 是多少度，并嘗試求證EA'+EC=EF。

圖4

【案例分析】在原有條件下，設P 為直線A'D 上一動點，再將PA 與PF 連接起來，在AB=2 的情況下，得到線段PA+PF 最小值。原問題與拓展問題相結合，是一道既有較強綜合性，又有較大難度與較高靈活性的幾何試題。

幾何問題進階絕不是簡單直觀就可以捕捉到解題方法。只有從基本幾何模型出發，基于直觀能力添加模型常用輔助線，并做更進一步的具體分析，才能有效解決問題。

三、啟示

經對兩個綜合性較強問題的分析可知，一些試題命制非常注重考查學生對幾何基本知識與基本技能的掌握。且十分關注學生在幾何證明基本方法及對應變換方面的能力，包括圖形平移、旋轉，以及對軸對稱的利用等，其可給教師培養學生幾何直觀能力進一步啟示［2］。

其一，幾何直觀能力對于描述、分析問題很重要，對于解決問題也很重要。切實加強幾何直觀教學，可有效增強學生興趣、提高學生學習能力。優化幾何基本圖形及基本結論教學，對于幾何教學，以及代數、統計和概率教學等均可成為基礎與重點，其為培養以幾何為載體解題能力的前提。

其二，幾何變換是圖形關系研究的重要手段，是初中階段的核心數學學習內容之一。幾何變換包括全等變換與位似變換等幾何變換知識，其中全等變換中包括平移、旋轉、翻折等變換形式。

其三，在平面幾何中，像各類試題中的平行線內的M 角模型、三角形中的中點模型、角平分線中的對稱全等模型等，均可以幫助學習者處理綜合問題，快速發現突破口。因此加強數學模型意識，可以讓其幾何直觀、邏輯思維等各項能力得到潛移默化進步［3］。

其四，一題多解、一題多變以及多題一解等解題方法，可培養學生創新意識.在此過程中，多種數學思想、數學方法將得到應用，如數形結合思想、轉化思想、和差法、割補法等。

四、總結

幾何直觀能力一方面涉及數學知識探究過程，另一方面因其抽象性、動態性、模型性，有助于學生將復雜問題簡單化，促進其學習效率的提升。從試題命制角度出發培養幾何直觀能力，是一種正本清源的做法，希望能夠給相關教育工作提供一些參考。