基于量子粒子群的定模動輥裝備系統動力學優化

李傲然，李強

(北方工業大學機械與材料工程學院，北京 100144)

0 前言

變截面輥彎成形構件可以根據載荷情況確定截面幾何形狀，實現等強度設計，有效減少零件質量。對于超高強鋼等傳統沖壓工藝難以成形的材料，變截面輥彎漸進成形技術有著獨有的優勢，可以有效減少缺陷，實現復雜構件成形。變截面輥彎成形的工作原理：以多個道次成組運行，每一個道次承擔預先計算好的成形量，通過各個道次的成形累加，最終實現目標零件的加工。

在汽車、高速列車、航空及航天工業中，如何保證產品強度、剛度以及輕量化制造是追求目標。為適應當代綠色制造要求，提高輥彎成形件的質量，對輥彎成形機電設備性能提出了更高要求，如何實現變截面輥彎成形過程中系統動力學性能優化是裝備研制需要解決的問題。

定模動輥成形機三維模型如圖1所示，主要由向運動大機架、5個向運動小機架、模具、實現模具開合的液壓氣動元件等組成。向驅動電機通過齒輪齒條驅動向運動機架，帶動5個道次整體向前運動，軋輥驅動電機驅動軋輥旋轉。向電機負責調整軋輥垂向位置。成形板料靜止于模具，5個道次軋輥組依次沿模具滾動，每個道次角度分別為30°、50°、70°、84°、84°。

圖1 定模動輥成形機三維模型

本文作者基于5個道次的定模動輥成形裝備設計的理論問題，以提高裝備動力學特性為目標，選擇量子粒子群優化算法對其實體裝備各零部件的設計參數進行優化，使它在運動過程中獲得更小的動態響應加速度。

1 量子粒子群優化算法改進設計

本文作者所研究的最優化問題計算規模龐大，為提高優化效率，探索改進的量子粒子群優化算法成為需要解決的問題。

1.1 基于改變粒子勢阱方程的異步尋優策略

標準的量子粒子群優化算法是受粒子群算法的啟發，通過仿照量子力學中勢場中的粒子從高勢能向低勢能運動所創造的尋優機制。粒子的極小值可以看為勢能最低的點，它的搜索空間可以模擬為量子力學中的勢阱，搜索過程可以視為高勢能向低勢能運動的過程。現有的量子粒子群優化算法采用如下方程進行位置更新：

,(+1)=,±ln[1,()]|()-,()|

(1)

標準量子粒子群優化算法的問題在于隨著優化迭代次數的增加,勢阱中心的引領作用逐漸減小，粒子信息過于單一，導致求解容易陷入局部最優解、求解效率不高等問題。為此，本文作者提出改進的量子粒子群優化，其改進的主要策略是針對位置更新方程中的勢阱長度方程部分進行設計的，具體改進方案如下：

首先，取量子粒子群優化算法中粒子群的平均粒子極值，即在第次迭代中對所有粒子的適應度求和取平均值，其表達方程如下：

(2)

以上述平均粒子極值為界，根據粒子當前適應度對其分類，將適應度()>()的粒子稱作劣等粒子，將()<()的粒子稱作優等粒子。

對于這兩類粒子，分別采用不同的勢阱方程進行位置尋優。具體的異步尋優策略：對劣等粒子來說，在尋優過程中應更多地借鑒粒子群中其他粒子的經驗來引導飛行，在勢阱方程的設計上由粒子平均最優位置avr，()替代當前粒子全局最優位置()來引導飛行，充分分享粒子個體最優位置,()和種群平均最優位置avr,()的位置信息，強化種群當中粒子的協作能力，使更多的粒子信息能夠決策劣等粒子的飛行，其位置更新方程設計如下：

,(+1)=,±ln[1,()]·

|avr,()-,()|

(3)

其中:avr()為維的平均最優位置，可表示為

()=[()+()+…+,d()]

(4)

而對于優等粒子來說，應保持自己的飛行經驗，按照標準的位置更新模型進行尋優，繼續選擇以全局最優位置()來引導粒子飛行，在勢阱方程的設計上依然采用全局最優位置信息影響個體最優位置，以保證繼續向全局最優的勢態飛行，其位置更新方程如式(1)所示。

通過以上這種異步尋優策略,可以提高種群中粒子的豐富性，促進種群之間的協作，有利于減輕陷入局部最優解的現象，提高算法尋優的性能。

1.2 基于距離權重系數動態改變粒子收縮擴張系數的尋優策略

在標準的量子粒子群算法中，線性調整收縮擴張系數是控制該系數的主要方式。這種線性的控制方式存在一定的弊端，在迭代前期發現適應度較好的粒子時，由于收縮擴張系數前期較大，導致不能在適應度較好的粒子位置進行細致搜索；而在迭代后期收縮擴張系數較小，導致適應度較差的粒子不能跳出所在的位置，所以存在陷入局部最優解、提前收斂等問題。針對以上問題，本文作者對收縮擴張系數的設計提出改進，以提高算法性能。

本文作者提出距離權重系數的概念，以有效改進收縮擴張系數。距離權重系數的表達式如公式(5)所示：

(5)

式中:為距離權重系數，∈(0,1)，且值可以用來表示當前粒子位置與最優粒子位置之間的距離，即權重系數越大，表示其間距越大；相反，權重系數越小，表示其間距越小。

根據提出的距離權重系數的概念設計收縮擴張系數，提出一種基于距離權重系數動態改變收縮擴張系數的尋優策略。設計收縮擴張系數表達式如下：

(6)

式中：為設置的收縮擴張系數的最大值；為設置的收縮擴張系數的最小值。顯然，當距離權重系數值越大時，解得的和值也會越大，即當前粒子的位置與最優位置距離較大時，需要加快當前粒子尋找到最優位置的速度；反之，當距離權重系數值越小時，解得的和也會越小，即當前粒子位置與最優位置距離較小時，需要粒子在局部空間內更為精細的尋優，以達到尋找全局最優位置的目標。基于第1.1節中提出的粒子分類策略，對收縮擴張系數的選擇策略作如下描述：

對于適應度()>()的劣等粒子，當()<()時，令收縮擴張系數=；否則=。對于適應度()<()的優等粒子，當()<()時，令收縮擴張系數=；否則=。

對于劣等粒子，當()<()時，選擇作為收縮擴張系數是因為是一個凹函數，在初期較大且變化速度快，可以更快地收斂到最優位置；對于優等粒子，當()<()時，選擇作為收縮擴張系數是因為是一個凸函數，在初期具有較大的值且變化速度緩慢，能夠在快速收斂到最優解的基礎上還可以維持算法當前的尋優能力，從而取得更好的尋優效果。此外，當()>()時，說明當前粒子所在位置較好，則選取收縮擴張系數的最小值，進行更仔細的局部搜索達到最優解。

1.3 改進量子粒子群算法流程

(1)設置種群數量、粒子維數、最大迭代次數、收縮擴張系數最大值和收縮擴張系數最小值；

(2)初始化粒子群中粒子的位置；

(3)計算步驟(2)中粒子的適應度，進而更新個體最優值與全局最優值的信息；

(4)計算種群中的平均極值，對于適應度()>()的劣等粒子，當()<()時，令收縮擴張系數=，否則=，并且用位置更新方程(3)來更新粒子的位置；對于適應度()<()的優等粒子，當()<()時，令收縮擴張系數=；否則=，并且用位置方程(5)來更新粒子的位置；再次求解全部粒子當前的適應度，然后重置個體最優值和全局最優值的信息；

(5)如果達到所設定的迭代次數，則停止程序；否則重復上述步驟(4)。

1.4 量子粒子群優化算法改進測試

為檢驗算法改進后的性能，采用如表1所示的3個經典的多峰值測試函數比較算法改進前后的性能,這3個測試函數的理論極小值都是0。

表1 3個經典的測試函數

為保證測試的客觀公正、減少實驗的偶然性，分別對3個測試函數進行30次實驗，且均采用相同的參數設置。其中，共性參數設置：種群數量設為100，迭代次數設為50，收縮擴張系數最大值設為1、最小值為0.5，分別就4維和10維情況下對改進前后的算法進行測試。

根據30次的測試中得到的平均最優值和均方差對算法的性能進行評估，比較結果如表2所示。

表2 3種函數結果比較

3個函數在維數為10的情況下對應的迭代曲線如圖2—圖4所示。

圖2 Rastrigrin函數D=10 圖3 Griewank函數D=10

圖4 Ackley函數D=10時的尋優曲線

由表2和圖2—圖4可知：在30次測試中，對于3種測試函數改進后的量子粒子群優化算法獲得的最優解均更接近于理論值，說明改進后的算法具有更強的尋優性能，且維度越高時體現得越明顯；在維數=10時，相較改進前的量子粒子群優化算法，改進后的算法除Ackley函數外，收斂速度均有提升。通過以上測試，可得改進后算法的尋優效率與精度都得到較大改善，所提出的改進策略是有意義的。

2 定模動輥裝備優化設計

定模動輥裝備系統動力學優化設計可分為：(1)基于能量原理對5個道次的裝備系統進行數學建模；(2)通過動力學分析，設計優化的目標函數；(3)選擇改進后的量子粒子群優化算法對該機電設備進行優化設計；(4)分析優化結果。

2.1 建立優化模型

文中所研究的定模動輥成形機的機械結構設計已經完成，原始設計參數已經確定，為獲得更好的定模動輥裝備系統的各零部件的性能參數，可通過建立定模動輥裝備系統動力學模型來研究該系統的動力學特征。研究機電耦合相互作用規律，是目前解決大多數機電耦聯系統動力學問題的有效途徑。定模動輥成形機機電系統動力學方程為

=

=

=

2.2 確定目標函數及優化變量

定模動輥裝備系統優化主要是對其各傳動鏈中的各零部件的性能參數進行優化，使各零部件能夠合理分配，從而使裝備系統獲得更好的運動穩定性。因此，選取軋輥、傳動齒輪、聯軸器的轉動慣量，5個道次的機架質量、電機的電感以及相電阻作為優化的設計變量。即優化變量為、、、、、、、、、、…、、、…、、、、…。

以機架向運動動態響應加速度為目標函數，根據定模動輥裝備系統的動力學微分方程組，目標函數為

目標函數值通過求解第2.1節中的動力學公式獲得。文中采用龍格-庫塔法，選取合適的步長，系統初始條件為零，進行方程求解。

選定定模動輥裝備系統設計變量的取值范圍如表3所示。

表3 設計變量取值范圍

2.3 優化算法實現

利用量子粒子群優化算法求解上述優化問題。優化前，對量子粒子群優化算法的參數進行設定，設種群初始值為100，迭代次數為50，收縮擴張系數最大值為1，收縮擴張系數最小值為0.5。設置完成后，用改進的量子粒子群優化算法進行優化求解，其中優化過程中的評價函數值的變化曲線如圖5所示。

圖5 改進量子粒子群優化算法適應度值變化

迭代27次后，適應度不再變化，找到適應度最優解=4.822×10，設計變量優化求解結果如表4所示。

表4 設計變量優化結果

將表4中優化前后的設計變量分別代入第2.1節的微分方程組求解，可得到優化前后的大機架沿向運動的加速度圖像，并將兩次求解之后大機架沿向移動的加速度進行對比，如圖6所示。

圖6 優化前后大機架沿x向移動的加速度對比

優化后的大機架沿向移動的加速度較優化前整體減小，其中在5個道次的軋輥電機開始工作時即運動過程中的沖擊峰值部分減小較為明顯，優化模型整體的峰值在0～2 s內，從0.062 9 m/s降低到0.048 2 m/s。

3 結論

本文作者以定模動輥變高度輥彎成形裝備為研究對象，開展機電系統動力學優化研究，實現裝備性能優化。通過研究得出如下結論：

(1)基于改變粒子勢阱方程的異步尋優策略與基于距離權重系數動態改變粒子收縮擴張系數的尋優策略對量子粒子群算法進行改進，可以提高粒子群算法的尋優效率和速度；

(2)選擇改進后的量子粒子群算法對5個道次的定模動輥成形裝備進行優化，用改進后的量子粒子群優化算法求解出的各傳動鏈中各零部件的參數對定模裝備系統進行設計，減少其向運動過程中的最大加速度，使其在運動過程中沖擊峰值明顯減少，系統穩定性明顯提高，證明應用改進后的量子粒子群優化算法對該機電系統的加速度進行優化是有效的;

(3)由優化結果可知，改進系統設計參數后，裝備性能得到改善,研究結果可以為裝備研發提供參考。