基于正交試驗的雙圓弧齒輪約束模態模型研究

楊樹峰，禹文濤，王東飛，王峰，劉世軍

(1.鄭州機械研究所有限公司，河南鄭州 450052；2.中原工學院機電學院，河南鄭州 450007)

0 前言

齒輪旋轉嚙合過程中會引起齒輪系統的振動，若齒輪的固有頻率與嚙合頻率重疊或相近，會產生共振現象。共振可在齒根產生較大的動應力，加速齒輪的疲勞斷裂，尤其在高速工況下，共振失效已成為齒輪主要的失效形式。因此，在設計和試制中要提前掌握其固有頻率和振型，力求齒輪的固有頻率避開嚙合振動頻率。模態分析是研究產品結構動力特性的一種方法，在機械、土木等領域廣泛應用，旨在提取產品結構的固有屬性，包括固有頻率、阻尼比和振型，認知系統結構參數、幾何參數與固有頻率、振型的關系，為結構設計、振動故障診斷和結構優化提供參考。

國內外學者對齒輪傳動系統固有特性進行了大量的研究。WANG建立了行星齒輪系統的動力學模型，采用模態分析方法計算固有頻率對嚙合剛度的靈敏度，利用耦合因子判斷過渡的發生，采用多尺度方法分析嚙合剛度變化引起的參數失穩，得到了模態特征值靈敏度、模態轉移準則和符合度變化不穩定性的變化規律。LIN和 PARKER研究了不同行星輪個數的單級行星輪系的模態振動問題，詳細分析了多種狀態下的固有頻率和振動模式，分析了系統固有特性對幾何參數、嚙合剛度、轉速等因素的靈敏度。宿博康等建立了匯流行星排齒輪系統的動力學仿真計算模型和時、頻域測試試驗臺，進行固有特性研究，確定了系統共振頻率范圍，得出行星排齒輪系統的固有頻率隨著嚙合剛度的增加而發生不同的變化，轉速增加、振幅增大。莫帥等人應用集中參數法建立了面齒輪-行星傳動串聯系統的平移-扭轉耦合動力學模型，求解了系統的固有頻率，研究了嚙合剛度、支撐剛度、扭轉剛度和構件質量對固有頻率的影響。張小萍等利用有限元分析法對雙典型法向圓弧齒輪進行模態分析，計算了不同齒數、模數、傳動比情況下的固有頻率，得出小齒輪的固有頻率對模數和齒數呈現較大的起伏變化，大齒輪則較為平緩。張蘭對漸開線直齒輪和雙圓弧齒輪進行了約束狀態下的模態分析，得出雙圓弧齒輪固有頻率大于直齒輪，軸的有效慣量對振型的影響最大，且直齒輪的有效慣量明顯大于斜齒輪。

上述研究成果分別采用有限元法和試驗模態法研究了幾何參數、系統剛度對直齒輪、斜齒輪、行星輪系等齒輪傳動系統固有特性的影響，但相關研究大多定性地分析幾何因素的變化對固有頻率的影響，缺乏定量地研究影響固有頻率的因素的主次順序，鮮有對雙圓弧齒輪固有頻率數值簡化計算模型進行求解。因此，如何能夠定量確定幾何因素對固有頻率的影響，歸納出雙圓弧齒輪固有頻率簡化計算模型，是一個亟待解決的實際問題。本文作者采用統計學理論，基于有限元法模態分析理論，建立以雙圓弧齒輪幾何參數(模數、齒數、螺旋角、齒寬)為自變量，約束模態固有頻率為應變量的四因素四水平的正交試驗模型，定量分析幾何參數對固有頻率的影響，并根據值進行影響度排序，利用中心化一次非線性回歸模型，建立雙圓弧齒輪約束模態低階頻率回歸方程。

1 雙圓弧齒輪模態分析

1.1 模態分析相關理論

將多自由度的模態分析求解簡化為微小位移的自由度線性彈性系統，忽略非線性因素，如阻尼、非線性接類型。其無阻尼自由振動方程為

(1)

式中:為廣義坐標列陣,=[,,…,];、分別為系統的質量矩陣和剛度矩陣，均為對稱矩陣。對于線性系統，其振動方式為簡諧振動

=cos()

(2)

式中:為第階振型的特征向量;為第階的固有頻率。將式(2)代入式(1)，可得矩陣方程

(3)

方程(3)有非零解的條件是其系數矩陣的行列式為零，即:

(4)

可求得個特征值，其中為各階的固有頻率，可求得對應的特征向量，即為模態振型。

1.2 雙圓弧齒輪約束模態分析

按照GB/T 12759—1991標準齒形幾何關系，依據齒輪參數(=51、=4 mm、=24°、=20.263°、=60 mm)，采用Croe軟件建立雙圓弧齒輪參數化實體模型。將幾何模型導入Workbench軟件中，定義模型材料為軟件默認的結構鋼，由于低階頻率表現為網格無關性，即網格類型和疏密對模態分析中低階頻率和振型結果影響不大，故對模型采用四面體大尺寸快速劃分網格。根據齒輪運動副的實際運動約束狀態，對齒輪內孔面的徑向、軸向、法向的位移和轉動分量進行全約束設置。不考慮外在激勵的影響，提取前6階模態。雙圓弧齒輪前6階模態特性如表1所示，前6階模態振型如圖1所示。

表1 雙圓弧齒輪前6階模態特性

圖1 雙圓弧齒輪前6階約束模態振型

2 正交試驗

正交試驗是一種研究多因素試驗的重要數理統計方法。利用正交表可快速找出試驗因素的最佳水平組合，了解試驗因素的重要程度及交互作用情況，實現試驗因素的合理、有效安排，最大限度地減少試驗誤差，具有高效、快速、經濟的顯著特點，廣泛應用于化工和國民生產的各個領域。

2.1 試驗設計

試驗采用4因素4水平的正交試驗設計，采用Workbench中的Model選項求解雙圓弧齒輪的約束模態。分別選擇雙圓弧齒輪的齒數、模數、螺旋角、齒寬作為研究對象，每個自變量分別由4個水平組成，試驗順序采用拉丁方順序進行，避免產生順序效應。根據上述的雙圓弧齒輪模態振型及頻率，可知第2階與第3階、第5階與第6階振型和頻率相差較小，固有頻率越低，越容易被外界激勵，故在模態分析中應對齒輪低階固有頻率的影響因素進行分析。因此，后期對1階固有頻率進行回歸分析。

在小學階段的語文教學中，最終的教學目標，就是鍛煉學生的讀、寫、聽、說等能力，使其具有相應的基礎能力，為后續的學習打下有利基礎。而通過小組合作學習這一模式的引入，不僅有助于該目標的達成，也能進一步地增強學生的合作意識、集體精神、學習能力等，使其獲取到更加完善、健全的發展，將學科價值全方位地展現出來。

2.2 試驗方案

采用L(4)的正交試驗表，其中L為正交符號，16為正交表橫行數，4為因素水平數，5為正交表縱列數。將自變量的各因素安排在正交表對應的位置上，一般1個因素占1列，不同因素占不同的列。如表2所示，A代表齒數，B代表模數，C代表螺旋角，D代表齒寬，E代表空列，表中的1～4分別看作各個因素的水平數，正交表對應的每1行為1個試驗方案，即各因素水平組合，空白列對試驗沒有影響，主要是考察試驗誤差。

表2 約束模態正交試驗方案及結果

3 結果分析

3.1 方差分析

將正交試驗的自變量和應用Workbench軟件求解的雙圓弧約束模態的固有頻率數值匯總，運用SPSS軟件進行正交試驗，對雙圓弧齒輪約束模態的第1階固有頻率作方差分析，結果如表3所示。根據表中值，可確定影響雙圓弧齒輪約束模態固有頻率的變量的重要性由大到小依次為B、A、C、D，即模數對約束模態固有頻率的影響最大，其次是齒數，然后是螺旋角和齒寬。因素B的顯著性概率=0.017，因素A的顯著性概率=0.029，均小于0.05，因素C、D的顯著性概率均大于0.05，表明因素A、因素B對試驗結果有顯著影響，因素C和D對試驗結果影響不顯著。

表3 1階頻率正交試驗方差分析

不同齒輪參數組合的1階固有頻率趨勢如圖2所示。可知：固有頻率在齒數為41時最高，齒數為71時最低，隨著齒數的增加，固有頻率下降的趨勢變緩；隨著模數的增加，固有頻率呈下降趨勢；螺旋角從16.263°增至22.263°時，固有頻率整體呈下降趨勢，但是頻率變化區間小于不同齒數和模數時頻率的變化區間；齒寬從50 mm增至60 mm時，固有頻率下降明顯，但是從60 mm增至70 mm時，固有頻率不降反增，從70 mm增至80 mm時，固有頻率為下降趨勢。綜上可知，雙圓弧齒輪約束模態1階固有頻率整體上隨著自變量的增加呈下降趨勢。

圖2 不同齒輪參數時的1階固有頻率

3.2 回歸分析

回歸分析是一種預測性的建模技術，研究的是因變量和自變量之間的關系。此次試驗涉及4個自變量，自變量單位各不相同，給回歸方程的結構分析帶來一定困難。對于多元線性回歸，應先對數據進行中心化，以消除量綱、數量級不同的影響。在選擇回歸模型時，除了考慮兩自變量之間的交互作用，可能還需考慮三自變量或者四自變量之間的交互作用。但是大量的實踐表明，高階的交互作用常常不存在或者很小，可以忽略。因此，采用如下原則：保證各自變量的主效應，盡量估計兩兩自變量之間的交互作用。由于無法直接給出自變量間交互作用的結構，故采用中心化一次非線性回歸模型，其模型為

(5)

鑒于前文的研究成果，即幾何參數中齒數、模數對雙圓弧齒輪約束模態固有頻率影響特別顯著，而螺旋角、齒寬影響不顯著。為獲得更簡潔的固有頻率回歸方程，建立以雙圓弧齒輪齒數和模數為自變量的回歸方程。

分析表3中因變量和自變量數值可知，因變量與自變量數值差較大，若直接進行回歸分析，會導致回歸系數以及標準誤差較大、擬合度較差。分別計算1階固有頻率和齒數在原始數值、二次冪、三次冪、平方根、倒數、自然對數對應的決定系數，結果如表4所示。

表4 1階固有頻率與齒數的決定系數

決定系數用來判定回歸線的擬合度，即應用最小二乘法回歸方法產生的預計值與實際觀測數據的擬合程度,決定系數越大表明擬合度越好。在表4中，最大的決定系數0.998由雙圓弧齒輪齒數的自然對數值ln與固有頻率自然對數值ln擬合，=674.495，對應的顯著性檢驗概率為0.000，小于0.001，可知齒數的自然對數對固有頻率的自然對數影響極顯著。即最終回歸方程因變量(約束模態1階固有頻率)的形式為ln。

同理，決定系數最大額的所有自變量參數形式如下：

(6)

將表3中關于齒數、模數以及頻率的數據分別代入式(6)和回歸方程模型式(5)中，用MATLAB軟件中的Regress指令進行數據中心化的多元非線性回歸計算，決定系數=0998 9、=3 5115、=0000，繪制出響應曲面如圖3所示，確定最終的回歸方程為

圖3 響應曲面

ln=7384 5-2032 2(ln-4025 35)-

1977 7(ln-1504 08)+0555 3(ln-

4025 35)(ln-1504 08)

(7)

另取齒數=[35,60]、模數=[35，6] mm、螺旋角=20°、齒寬=45 mm，根據以上參數建立雙圓弧齒輪模型。采用數值模態方法，求解出約束模態下1階頻率，對比回歸方程的預測值，結果如圖4所示。可知：求解值與預測值誤差較小，結合回歸方程和響應曲面可知，回歸曲面擬合較好。

圖4 仿真值與預測值對比

4 結論

為快速求解雙圓弧齒輪約束模態的低階頻率，揭示齒輪主要參數對固有頻率的敏感性，運用有限元法對雙圓弧齒輪進行約束模態求解；在此基礎上，采用正交試驗法對不同齒輪參數組合進行求解及比較。對試驗結果進行方差分析和多元非線性回歸計算，并驗證回歸方程的準確性，得出以下結論：

(1)雙圓弧齒輪約束模態的前6階振型：1階為圓周振、2階和3階為1階對折振、4階為傘形振、5階和6階為2階對折振；

(2)根據方差分析結果中的顯著性概率，雙圓弧齒輪幾何參數的齒數、模數的顯著性概率均值小于0.005，得出齒數、模數對雙圓弧齒輪約束模態固有頻率具有顯著的影響；

(3)雙圓弧齒輪固有頻率與幾何參數(齒數、模數、螺旋角、齒寬)成反比，齒數、模數對固有頻率的影響較大，螺旋角、齒寬的影響較小；

此研究將有限元計算與統計分析相結合，建立了雙圓弧齒輪約束模態的首階固有頻率的計算模型。所建立的模型簡單、計算便捷，為研究齒輪參數和模態固有頻率之間的耦合關系提供了參考。該研究在約束模態正交試驗中自變量的選擇不夠全面，僅對齒輪的關鍵參數進行了試驗研究，后期試驗中應進一步擴充自變量因素，優化試驗方式，以更加全面地了解齒輪參數對固有頻率的影響。