傅里葉變換微積分性質(zhì)的區(qū)別、聯(lián)系及應(yīng)用

陳 軍，汪 璞，安成錦，曾瑤源

（國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073）

0 引言

傅里葉變換是“信號與系統(tǒng)”課程中非常重要的一種數(shù)學(xué)工具，它建立了時(shí)域與頻域之間的一一對應(yīng)關(guān)系。若信號的傅里葉變換存在，則

理論上，利用式（1）（2）中的積分可以實(shí)現(xiàn)傅里葉變換和反變換的計(jì)算。但許多情況下，利用定義式計(jì)算不僅煩瑣，而且有時(shí)候積不出來。我們更傾向于記住常用信號的傅里葉變換，再利用傅里葉變換性質(zhì)來求解。但是利用性質(zhì)計(jì)算傅里葉變換過程中，往往容易用錯(cuò)性質(zhì)，尤其是時(shí)域微積分性質(zhì)。下面將從這兩條性質(zhì)的定義出發(fā)，說明二者的區(qū)別和聯(lián)系。

1 微分、積分性質(zhì)的內(nèi)容

1.1 微分性質(zhì)

1.2 積分性質(zhì)

2 微分、積分性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系

3 時(shí)域微分性質(zhì)時(shí)需要注意的問題

圖1 的各階微分結(jié)果

圖2 信號的波形

確。總的來說，若信號微分結(jié)果的面積為0，可以直接將微分結(jié)果的頻譜除以，即可得信號本身的頻譜；若微分結(jié)果的面積不為0，一定要用積分性質(zhì)，也就是除以后，還要再加上一項(xiàng)。

4 微積分性質(zhì)的應(yīng)用舉例

對例2、例3的求解也為計(jì)算分段線性信號的頻譜提供了思路：依次對信號進(jìn)行求導(dǎo)，直到微分結(jié)果出現(xiàn)沖激；計(jì)算最后一個(gè)微分結(jié)果的傅里葉變換；最后利用微積分性質(zhì)得到分段線性信號的頻譜。能否用微分性質(zhì)取決于微分信號的面積是否為0。

5 微分性質(zhì)在系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

微分性質(zhì)還可以用于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析與求解。在時(shí)域求解微分方程，尤其是高階微分方程的零狀態(tài)響應(yīng)是非常復(fù)雜的。借助傅里葉變換的微分性質(zhì)，就可以將方程從時(shí)域復(fù)雜的微分方程變到頻域相對簡單的代數(shù)方程，將大大簡化系統(tǒng)的分析和計(jì)算。

圖3 的各階微分

6 結(jié)論

本文首先說明了傅里葉變換時(shí)域微積分性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系；然后通過例題說明了在使用微分性質(zhì)時(shí)容易出現(xiàn)的問題，在利用的傅里葉變換求解頻譜的時(shí)候，只有當(dāng)?shù)拿娣e為0時(shí)，才能直接用微分性質(zhì)，否則要用積分性質(zhì)；最后通過典型例題給出了求解分段線性信號頻譜的通用方法。