線性代數(shù)課程教學(xué)如何適應(yīng)智能時代的人才培養(yǎng)需求

張月蘭，康七好

（長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 長沙 410114）

線性代數(shù)是高等院校非數(shù)學(xué)類理工科專業(yè)必修的公共課程，是處理矩陣和向量空間的數(shù)學(xué)分支科學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、抽象思維能力和計算能力的重要基礎(chǔ)課程，是培養(yǎng)新世紀(jì)科技創(chuàng)新與應(yīng)用型人才的數(shù)學(xué)能力與計算技能的核心課程之一；基于線性代數(shù)是大學(xué)生在高中幾何之后遇到的最為嚴(yán)密與抽象的教學(xué)課程，為了使線性代數(shù)課程教學(xué)實現(xiàn)其應(yīng)用價值和數(shù)學(xué)素質(zhì)的雙重培養(yǎng)價值，實現(xiàn)課程建設(shè)遵循解析工程教育專業(yè)認(rèn)證的成果導(dǎo)向理念(OBE理念)，實現(xiàn)培養(yǎng)出能適應(yīng)國家、地方與行業(yè)發(fā)展需要的高質(zhì)量復(fù)合型人才成為智能時代發(fā)展的要求，本文擬定如下教學(xué)建議以解除學(xué)生對線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)的困惑。

1 注重數(shù)學(xué)文化的滲透，側(cè)重培養(yǎng)高階思維能力

線性代數(shù)課程內(nèi)容包括行列式、矩陣、向量空間、線性方程組、特征值與特征向量、二次型六個章節(jié)，其中不乏抽象概念與定理冷冰冰得讓人生畏，干巴巴得毫無吸引力，致使部分學(xué)生對線性代數(shù)的知識體系缺乏整體與清晰的認(rèn)識，從而失去學(xué)習(xí)的興趣與探究的動力；此時，教師若能潤物細(xì)無聲地引導(dǎo)和啟迪學(xué)生去“發(fā)現(xiàn)”線性代數(shù)知識體系就成為解除學(xué)生對課程知識學(xué)習(xí)困惑的關(guān)鍵因素；因此，教師除了在教學(xué)方法上不斷總結(jié)和改進外，在教學(xué)內(nèi)容安排上也應(yīng)注重課程知識的系統(tǒng)性與邏輯性，做到由淺入深、循序漸進地講清知識點的來龍去脈以降低線性代數(shù)課程的抽象度，培養(yǎng)學(xué)生從幾何直觀的二維、三維知識向抽象的高維知識的滲透，著重講清基本概念、基本原理和計算方法，通過問題驅(qū)動、探究式教學(xué)、案例教學(xué)和多媒體教學(xué)相結(jié)合的方式，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性與自主性，使學(xué)生以主人翁角色“主動、探究、合作”融入全過程學(xué)習(xí)活動，鼓勵學(xué)生通過觀察、分析、思考、歸納獲取知識，提高學(xué)生在課程教學(xué)中的參與度、創(chuàng)新精神與高階思維能力，并掌握線性代數(shù)課程知識處理問題的技巧與方法。

（3）利用小視頻賞析啟發(fā)學(xué)生探究抽象概念的核心，比如經(jīng)典小游戲俄羅斯分塊通常是由七種小方塊組成的不同形狀的板塊陸續(xù)從屏幕上方落下來，玩家通過移動、旋轉(zhuǎn)、下落和擺放游戲自動輸出的各種方塊，使之排列成完整的一行或多行并且消除得分，而沒有被消除掉的方塊不斷堆積，一旦方塊堆積到屏幕頂端，游戲結(jié)束；此游戲的精髓在于從混亂中尋找秩序的拼圖過程與獲得的成就感，七種基礎(chǔ)小方塊是這個游戲中的變化中的不變核心，思考題：

結(jié)論：（1）向量組一定存在向量個數(shù)最多的線性無關(guān)組，即向量組的最大線性無關(guān)組，它是向量組中的變化中的不變核心；（2）向量組的最大線性無關(guān)組不一定是唯一的，且向量組與其最大線性無關(guān)組是等價的關(guān)系；（3）解決復(fù)雜問題通過抓住關(guān)鍵核心可以簡化方案，提高效率。

2 課程內(nèi)容知識講解、例證呈現(xiàn)與實際應(yīng)用巧妙結(jié)合，全方位培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

線性代數(shù)是運用代數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一個強有力的工具學(xué)科，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、工程技術(shù)、國民經(jīng)濟、生物科技與航天工程等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，人類社會邁向數(shù)字化與智能化的新時代，以線性代數(shù)作為其部分理論和算法基礎(chǔ)的計算機圖形學(xué)、計算機輔助設(shè)計、密碼學(xué)與虛擬現(xiàn)實等先進科技走進了人們的世界，給予我們更加美好的生活體驗；因此，利用與生活息息相關(guān)的問題引入線性代數(shù)課程知識內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識再解決已知問題的案例教學(xué)法，既能促進學(xué)生對知識的深入理解與掌握，又能開拓他們的思路與視野，激發(fā)其求知欲與探索欲，提高其實際應(yīng)用能力和科技創(chuàng)新能力。

例如方陣的特征值與特征向量的講解：通過觀看小視頻《搜索引擎的秘密》，讓學(xué)生了解搜索引擎的排位原理與排位中存在的主要問題，并思考如何運用數(shù)學(xué)方法抽象一個典型的網(wǎng)絡(luò)鏈接關(guān)系教學(xué)案例圖，嘗試使用矩陣運算表示網(wǎng)頁搜索中的鏈接排序的變化，發(fā)現(xiàn)計算的復(fù)雜性并找到解決問題的辦法，由此引導(dǎo)出方陣的特征值與特征向量的概念，并利用數(shù)乘向量的幾何意義幫助學(xué)生理解二階矩陣特征值與特征向量的幾何意義和內(nèi)涵，啟發(fā)學(xué)生探索出特征值與特征向量的求解思路與解題步驟，例題講解與知識點應(yīng)用求解已給網(wǎng)絡(luò)鏈接關(guān)系案例圖中的排序問題的解，并嘗試通過對比兩種算法的結(jié)果體驗算法的優(yōu)劣，完美實現(xiàn)從問題到理論，再從理論到應(yīng)用的案例教學(xué)方法，根據(jù)解決問題的需求和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，立足“提出問題-分析問題-解決問題-應(yīng)用實踐”的指導(dǎo)思想，層層遞進的設(shè)計組織教學(xué)，結(jié)合數(shù)據(jù)處理，巧妙引入課題，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究意識與精益求精的探索精神、提升學(xué)生抽象轉(zhuǎn)化問題的能力與數(shù)學(xué)建模能力，讓學(xué)生真真切切地感受生活中的數(shù)學(xué)，充分體會數(shù)學(xué)起源于生活，又回歸于生活，深化學(xué)以致用的科技創(chuàng)新應(yīng)用能力。

3 利用數(shù)學(xué)軟件為線性代數(shù)知識的學(xué)習(xí)、應(yīng)用、歸納和研究插上翅膀，提高綜合素質(zhì)

我們使用的線性代數(shù)教材涉及的知識應(yīng)用實例很少，行列式的階、矩陣的規(guī)模也很低，元素都非常簡單，而來源于實際問題的代數(shù)形式的數(shù)學(xué)模型中的情況則大相徑庭，是我們僅僅依靠使用筆和紙的手算方法不可能實現(xiàn)的任務(wù)；因此，利用數(shù)學(xué)軟件和信息化教學(xué)手段增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展行列式與矩陣中的數(shù)字、階與規(guī)模成為線性代數(shù)課程教學(xué)發(fā)展的時代趨勢與需求，計算軟件MATLAB的運算功能與簡單的繪圖功能既能實現(xiàn)理論推導(dǎo)、數(shù)值計算與計算機之間的相互結(jié)合，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力與探索興趣，為學(xué)生的后續(xù)相關(guān)課程的學(xué)習(xí)與研究工作打下堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高其計算能力與綜合素質(zhì)，例如線性方程組的解的結(jié)構(gòu)可使用如下例題：例如線性方程組的解的結(jié)構(gòu)的講解可使用城市交通問題如下：

某城市的部分街道的交通流量如圖所示，假設(shè)：

（1）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出的流量。

（2）全部流入某個節(jié)點的流量等于全部流出此結(jié)點的流量。

建立數(shù)學(xué)模型并確定該交通網(wǎng)絡(luò)中未知部分的具體流量。

4 課程思政建設(shè)實現(xiàn)學(xué)科知識與核心價值的雙重培養(yǎng)，實踐立德樹人

圍繞著“數(shù)學(xué)之史” “數(shù)學(xué)之美” “數(shù)學(xué)之思” “數(shù)學(xué)之用”和社會主義核心價值觀以及唯物主義辯證法三條主線尋找豐富的課程思政元素，將“思政寓于課程、課程融入思政”貫穿于教學(xué)始終，實現(xiàn)“通識教育+專業(yè)融入+思政教育”的三育人目標(biāo)，幫助學(xué)生運用線性代數(shù)學(xué)科知識認(rèn)識、分析和解決現(xiàn)實問題，提升綜合素質(zhì)，著力發(fā)展核心素養(yǎng)，特別是社會責(zé)任感、創(chuàng)新精神和實踐能力，助力學(xué)生的未來發(fā)展需求，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感，培養(yǎng)學(xué)生的追本溯源精神、哲學(xué)思辨精神、職業(yè)道德精神和批判反思精神，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用線性代數(shù)的思想、原理和方法去解決實際問題的能力，培育學(xué)生理性、全面認(rèn)知問題的能力與辯證唯物主義思想。

線性代數(shù)發(fā)展簡史讓學(xué)生了解中國古代在線性代數(shù)上所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，增強學(xué)生的民族自豪感，也讓學(xué)生了解中國近現(xiàn)代在線性代數(shù)研究方面與西方國家之間的差距并思考其中的原因。通過對線性方程組、矩陣、行列式和二次型等概念的教學(xué)，讓學(xué)生掌握“于現(xiàn)象中抓住本質(zhì)”的抽象概念建立的方法,培養(yǎng)學(xué)生“于變化中保持不變”的辯證統(tǒng)一思想；在線性方程組的高斯變換、矩陣的初等變換和相似變換的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生“形變而質(zhì)不變”的辯證統(tǒng)一思想；在線性方程組、矩陣的初等變換和向量組的線性相關(guān)性的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生“事物是相互聯(lián)系的”辯證統(tǒng)一思想；通過線性方程組的有解與無解、矩陣的可逆與不可逆及正交與非正交、二次型的正定與非正定、向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對于“對立統(tǒng)一規(guī)律”的理解和認(rèn)識等。

線性方程組的解的結(jié)構(gòu)講解可通過“交通網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化設(shè)計”案例展現(xiàn)看問題、想事情一定要用科學(xué)理性思維去辯證地看和思，不能想當(dāng)然的感覺是什么就認(rèn)為是什么，更不能以偏概全，下結(jié)論以及做出判斷之前要全方位思考，邏輯要縝密，不能絕對化，解決問題的方式要有創(chuàng)新意識、敢于突破的決心；通過極大線性無關(guān)組的幾何特性，與學(xué)生分享解決問題一定要專注關(guān)鍵核心，憑借對事業(yè)的執(zhí)著力、專注力及敬業(yè)精神，不可能的夢想也一定會成功實現(xiàn)；運用數(shù)學(xué)思想的科學(xué)性、邏輯性和辯證性，通過“特殊時期中藥藥方的成功應(yīng)用”案例展現(xiàn)大數(shù)據(jù)時代“不懼難題、奮斗愛國，自強不息”的情懷和擔(dān)當(dāng)，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷和科技強國意識，拓展學(xué)生的環(huán)球視野，鼓勵學(xué)生拓廣學(xué)習(xí)范圍，樹立正確的學(xué)習(xí)觀、人生觀和世界觀，形成具有嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)風(fēng)、敢于創(chuàng)新和守正不撓且胸懷天下的社會新人。

5 結(jié)語

線性代數(shù)是培養(yǎng)學(xué)生掌握處理問題的代數(shù)學(xué)方法與探索科學(xué)技術(shù)的思辨能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要課程，數(shù)字化的科技創(chuàng)新與智能時代的到來給線性代數(shù)課程教學(xué)提出了更高的人才培養(yǎng)方案，也給教學(xué)工作者們提供了培養(yǎng)新世紀(jì)應(yīng)用創(chuàng)新型人才的機會與舞臺。

注釋：本文為2021長沙理工大學(xué)線性代數(shù)金課。