人教版和北師大版數學教材例題設計的比較
——以小學高年級為例

文∣林芝蘭 伍曉琪 黃甫全

《中共中央關于制定國民經濟和社會發展第十四個五年規劃和二○三五年遠景目標的建議》提出，“十四五”時期要全面貫徹黨的教育方針，深化教育改革，建設高質量教育體系。2021年全國教材工作會議也提到，要加快建設高質量教育體系進程，以全面提高教材質量為重點，打造適應時代要求的精品教材。由此可以看出，在建設高質量教育體系進程中，全面提高課程質量尤其是教材質量顯得至關重要。

小學數學教材主要由正文、例題和習題構成。其中，例題作為重要構成之一，能夠向學生傳遞數學知識的內涵，引導學生探索數學規律，為學生演示問題解決過程，是將所學知識轉化成自身能力的重要腳手架。[1]許多研究者開始關注數學教材中例題的重要地位。基于此，本文從知識領域分布、結構設置、問題表述、難度水平等四個方面對人教版和北師大版教材例題設計進行分析與比較，以期為教材例題的編寫和教育教學提供參考和改進建議。

一、研究設計

(一)研究對象

小學五、六年級是學生進入初中數學學習前十分重要的過渡期，而初中數學內容對學生的邏輯思維能力和運算能力要求較高。因此，研究小學高年級數學教材的例題編排，不僅能從比較研究中得到啟示，也能與初中數學學習要求相聯系，更好地探究數學教材編寫如何實現學生學習水平銜接的適切性。本文選取人民教育出版社、北京師范大學出版社2013年出版的小學五、六年級的數學教材共8冊，以其中全部例題為研究對象。

(二)研究方法及過程

本文主要采用內容分析法，對人教版和北師大版五、六年級教材的每一道例題進行分析，按照以下三個步驟操作。

1.確定一道例題的劃分標志

2.構建分析框架

在已有研究基礎上，結合課程標準對教材編寫的要求和建議，構建包含例題的知識領域分布、結構設置、問題表述以及難度水平等比較維度的文本分析框架，如表1所示。

表1 小學數學教材例題的比較框架

表2 數學例題綜合難度模型

在例題的難度水平方面，王建磐和鮑建生在2014年提出了數學習題綜合難度模型。[3]而陽宇茜在對中國、新加坡兩國的初中教材例題進行比較時完善了該難度模型。她認為數學例題不能脫離情境而存在，因此將王建磐等人的數學習題綜合難度模型的“背景”因素改為“情境”因素，其中的“無背景”水平改為“數學情境”水平。[4]該模型是本文比較例題難度水平的主要研究工具，修正后的數學例題綜合難度模型如表2所示。

3.編碼標準說明

在對例題進行編碼分析過程中，首先由兩位研究者依據比較框架對同一單元的例題進行獨立的編碼分析，對照分析結果討論并協商。然后邀請第三位研究者對同一內容進行編碼，對編碼不一致的部分由三位研究員進行討論，最終確定統一的編碼標準。最后，依據確定的編碼標準對8冊教材的研究數據進行統計、分析，結合教師提問的課堂情境考查，得出研究結論。

二、研究結果

人教版和北師大版的五、六年級的教材中例題共計545道，其中人教版教材包含例題193道，占所研究例題的35.4%，北師大版教材包含例題352道，占全部例題的64.6%。

(一)例題所屬知識領域的數量分布比較

人教版教材的例題分布在數與代數、圖形與幾何、統計與概率、數學思想方法等四個知識領域的數量分別為111道、65道、7道、10道，北師大版教材例題在四大知識領域的數量分布為147道、139道、27道、39道。

可見，在不同版本的數學教材中，四個知識領域的例題所占比例各不相同，人教版在“數與代數”中的例題占比高于北師大版，為57.5%；而北師大版教材在“圖形與幾何”“統計與概率”“數學思想方法”中的例題占比均高于人教版，分別為39.4%、7.7%和11.1%。盡管如此，人教版和北師大版不同領域的例題編排還有一些相似的特點。第一，分布在“數與代數”中的例題占比最高，在40%以上；第二，“數學思想方法”中也有一定數量的例題，占例題總數的9%；第三，“統計與概率”中的例題占比都是最低的。

(二)例題結構的比較

從例題的結構設置上看，人教版數學教材的193道例題在六大類結構中分布較為均勻，而北師大版的352道例題則在六大類結構中分布差異較大，其中出現最多的結構是“問題+解答”。北師大版的數學教材雖然例題數量多，但將近50%的例題都只采用了“問題+解答”這類較為單一簡單的結構，不能很好地發揮例題的啟發和示范作用。同時，北師大版的例題在LC5和LC6兩類例題結構中分布較少，分別只占了北師大版例題的6.0%和12.2%，需要進行適當的變化，實現例題形式和功能上的改進。而在人教版的教材中，LC6的例題結構占比高達23.8%，尤其是利用新知識解決應用問題時多會設置LC6的例題結構，如人教版五年級上冊16頁例題。

在解題分析過程中，人教版的例題會將題目中的條件進行適當解釋，分析已知和求解的聯系，啟發學生獲取解決問題的思路和方法。最后通過小精靈的引導，進行解題過程的總結與反思，呈現了比較完整的例題結構。事實上，教材中不同功能的例題應該采用合適的結構，對于綜合性較強的應用題解題步驟可以加入總結性內容，使學生的學習取得事半功倍的效果。

(三)例題的問題表述

例題的問題表述特征包含了“提出問題的句式”和“提出問題的類型”兩個方面。不同的問題表述方式能夠在一定程度上體現數學例題的設計特點。

1.例題提出問題的句式

兩個版本的545道數學例題中，問題句式為陳述句的例題有165道，占例題總數的30.3%；問題句式為疑問句的例題有380道，占例題總數的69.7%。人教版和北師大版數學教材中例題提出問題的句式為疑問句的例題占比均接近70%。這表明，疑問句是教材例題設計的主要問題句式，旨在激發學生主動思考和積極探索的數學學習意識。兩個版本數學教材在例題提出問題的句式設計上所占比重較為相似。例題中不同的問題句式指向相應的課堂教學活動，是教師進行教學活動設計的重要依據。多樣的教學活動能讓學生在小組合作中發展協作交流的能力，獲得多樣的數學活動經驗。

2.例題提出問題的類型

在人教版和北師大版數學教材的545道例題中，有316道例題提出的問題為封閉型問題，占例題總數的58.0%；有229道例題提出的問題為開放型問題，占42.0%。其中北師大版教材的封閉型問題和開放型問題所占比例相近，分別為46.5%和53.5%；而人教版教材中，封閉型問題占例題總數的比例高達78.8%，開放型問題只占21.2%。這表明，北師大版教材在例題的設計上更注重問題的開放性，其編排更能夠激發學生的學習積極性，培養學生創新思維，較好地融入了“教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展”的課程理念。

(四)例題難度五因素的比較

以數學例題綜合難度模型為研究工具，對兩個版本小學數學教材中的例題的難度五種因素進行編碼，根據表2中的難度因素及劃分的不同水平給予賦值；再利用下列公式進行計算得到每個因素上的加權平均值di。

①

其中，dij表示第i個難度因素中第j個水平的權重，之后采取等級權重進行賦值；nij表示的是每版教材中屬于第i個難度因素中的第j個水平的例題個數，n則表示每版教材的樣本總數。[11]且對于任意的i，都有②式。

∑fnij=n(i=1,2,3,4,5;j=1,2…)

②

經過統計、分析后得到的例題難度五種因素在其難度因素上的加權平均值分布如表3所示。

表3 兩版本教材數學例題綜合難度因素的量化指標統計

本研究分別對五種難度因素進行量化，對人教版和北師大版數學教材中的例題難度特征進行了比較，計算所研究的例題在各難度因素上的加權平均值，并據此作出了人教版和北師大版例題綜合難度比較雷達圖，如圖1所示。

圖1 兩版本教材數學例題綜合難度比較雷達圖

從圖1可以看出，人教版數學的教材例題在情境水平、運算水平、知識綜合水平上均高于北師大版的教材例題，而在數學認知水平和推理水平上與北師大版教材例題相差不大。從圖形的整體態勢來看，人教版的數學例題在五個難度因素上的整體態勢相對來說較為平衡，而北師大版教材例題的情境水平和運算水平偏低。不過，兩個版本的教材例題對應的圖形都有橫向延伸的趨勢，說明兩版教材對學生的綜合運用知識能力和認知能力發展較為重視，但是例題的情境水平都偏低。

三、研究結論與改進建議

(一)研究結論

通過對人教版和北師大版小學數學教材例題設計特點的比較研究，得出了以下結論。

1.在所屬知識領域上，兩版教材中數與代數領域的例題占比最多

人教版五、六年級的教材在數與代數、圖形與幾何、統計與概率、數學思想方法四大知識領域的分布比例分別為57.5%、33.6%、3.6%和5.1%；北師大版教材在這四個知識領域中的分布比例分別為41.7%、39.4%、7.7%和11.1%。數與代數作為方程與不等式、函數學習的基礎，對學生的數學能力的發展有著重要的作用，這也是數與代數領域例題占比最多的原因之一。

2.在結構設置上，北師大版教材中多層次結構的例題占比偏低

通過對人教版和北師大版的小學數學高年級教材例題進行數據統計及對例題結構設置進行分析，發現人教版小學數學教材例題中含“問題+分析+解答+總結”(LC6)的比重稍高一些，為23.8%；而北師大版小學教材例題為多環節結構的占比偏低，其中LC6階段最少，只占例題總數的5.9%。在例題中增加多層次的例題結構有助于學生更好地掌握數學知識，也能培養學生良好的審題解題習慣。

3.在問題表述上，都以疑問句式為主，但人教版例題的開放性偏低

研究發現，兩版教材的例題提出問題的句式更多是疑問句，占例題總數的69.7%。由此看出，教材試圖通過“疑問句問題”來激發學生的求知欲和學習興趣。在問題提問類型上，北師大版教材中開放型問題所占比例為53.5%，而人教版教材中開放型問題占比只有21.2%。可見北師大版教材在問題開放性上做了更多的嘗試和設計，而人教版教材的數學例題整體上開放型問題設置得較少。

4.在難度水平上，兩版教材例題的情境水平偏低

通過對人教版和北師大版小學數學高年級教材例題中五種難度因素的統計與分析，我們可以發現，人教版數學教材例題在情境水平、運算水平、知識綜合水平上較好，在數學認知水平和推理水平上與北師大版教材例題相差不大。不過，兩個版本的教材例題相對來說更注重培養學生的綜合運用知識能力和數學認知能力，設置的例題情境水平則明顯偏低。

(二)改進建議

從研究結論上看，我國人教版和北師大版的教材例題在不同維度的設計上存在共同點，也有不同側重點，具有一定的啟示作用。因而本文提出以下幾點小學數學教材例題編寫的改進建議。

1.提高含總結環節的例題比重

在上述研究的教材例題中，兩個版本教材的結構中設置有總結環節的例題占比分別為50.1%(人教版)、25.4%(北師大版)。很顯然，北師大版數學教材不夠重視解題后的回顧與總結。心理學研究表明，如果在呈現樣例的基礎上增加主要步驟，說明能夠在一定程度上提高樣例學習的有效性。[5]在教材例題的編排中，應該重視例題的概括和小結，幫助學生建構起較為完善的數學知識體系。將其放在解答前詳細的步驟分析，能夠起到把相關的信息和知識整合到一起的作用，為整合和保持更為詳細的材料提供了理論支架；而在解答之后的步驟總結則回顧了材料，突出重要概念的作用，能夠提供更有內聚力的組織框架。[6]

在數學課堂教學實踐中，如果講解完詳細的解題過程后教師沒有進行及時回顧總結，大部分學生無法形成完整的知識體系，導致學習效果不理想。因而，教材例題應該增加含總結環節的例題比重，以幫助學生更高效地學習知識，形成系統的數學知識結構。

2.增加開放型的數學例題含量

不同的問題類型側重于培養學生不同的能力。封閉型問題的答案是確定的，能夠幫助學生掌握數學解題的基本方法，體驗數學知識的嚴謹性和科學性。而開放型問題的答案是多樣的，在滿足不同層次學生的學習需求的基礎上，教師可以為學生制訂個性化學習方案，提供發展自身個性和創造力的平臺。北師大版教材中設置開放型問題的例題占全部例題的53.5%，而人教版教材中開放型問題占比只有21.2%，略顯不足。

國際TIMSS、PISA等項目的測試題均設置了較大比例的問題開放型數學應用題，意圖通過學生的表現揭示不同文化背景下學生發散性思維和應用能力的發展。朱德全等人也認為學生對開放性問題的解決能有效促進其實踐性思維的發展。數學問題正如我們所處的客觀世界，紛繁復雜，往往沒有唯一確定的答案，結論開放的開放性問題，不僅能夠使學生擺脫僵化的思維模式，更是實現分層教學目標的有利工具。[7]《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出，數學課程要讓學生“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”，教材中的開放型問題是學生運用數學眼光和思維聯系現實世界的重要載體。因此，人教版的教材例題設計應該重視問題開放型的例題編排，將其作為教材個性化和數學開放性的重要體現。

3.加強例題與科學情境的聯系

人教版和北師大版數學教材中設置科學情境的例題分別為12道和6道，占比分別為6.2%和1.7%。由此可以看出，兩個版本的數學教材不夠重視例題與科學情境的聯系。這是當前教材編寫中亟須關注和解決的問題。學科核心素養是當前教育研究高度關注的課題。2022年頒布的課程標準確立了以核心素養為導向的課程目標，提出了小學階段的11個數學核心素養。多樣化的情境是培養學生數學核心素養的重要基礎。史寧中教授指出，只有在合適的情境中學生才能進一步感悟、理解、形成和發展核心素養。[8]國際PISA測試也是基于學生在不同現實情境中解決問題的表現進行素養評價，《PISA 2015評估和分析框架:科學、閱讀、數學、金融知識和協作解決問題》(PISA2015AssessmentandAnalyticalFramework:Science,Reading,MathematicandFinancialLiteracy)將數學情境分為個人情境、社會情境、職業情境和科學情境。其中科學情境是指“與相對抽象的科學領域相關的情境，這種情境可能涉及某一個技術過程、理論或明確的數學問題的解釋和理解”。我國《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出，基于數學學科核心素養的教學活動應該創設合適的教學情境，數學情境應包含科學情境，具體指由離學生日常生活較遙遠的科學實驗、科學運動中可能面臨的場景所構成的情境。

設置科學情境的例題，不僅能夠增加例題情境的難度水平，鍛煉學生解決復雜數學問題的能力，還能幫助學生拓寬視野，豐富其數學學習經驗。因此，小學數學教材中例題的情境設置應當注重數學知識與科學情境的聯系，豐富數學例題所關聯的學科種類，如生物學、地理學、信息技術等，促進學生應用能力的發展。