追根溯源探本質(zhì) 變式拓展提能力
——一道三角函數(shù)圖象與性質(zhì)真題的本質(zhì)與變式研究

廣東 雷雄軍 朱廣智

(作者單位：東莞市第六高級中學(xué))

三角函數(shù)作為基本初等函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高考考查的熱點(diǎn)模塊.筆者研究2019—2021年高考全國卷發(fā)現(xiàn)，此模塊知識主要以小題形式考查，通常一道客觀題或者兩道客觀題，難度中等偏易.同時(shí)也發(fā)現(xiàn)三年中加強(qiáng)了對三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查：如2021年全國乙卷理科選擇題考查了三角函數(shù)圖象的變換；2021年全國甲卷填空題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)；2020年高考全國卷Ⅰ理科考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ，卷Ⅱ理科選擇題都考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對三角函數(shù)圖象變換中常見的“先平移后伸縮”和“先伸縮后平移”兩種類型題目不能很好地作答.主要根源還是教師在平常的教學(xué)中沒有注重知識本質(zhì)的講解，不會(huì)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖兪?，化多為少，以一?dāng)十，讓學(xué)生觸類旁通，舉一反三.現(xiàn)以2021年全國乙卷理科選擇題第7題為母題，探究三角函數(shù)圖象變換的本源，即通過四個(gè)恰當(dāng)?shù)淖兪?，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的知識，提升學(xué)生的解題能力和思維能力.

一、母題的選取及分析

故選B.

課堂給學(xué)生做的過程中發(fā)現(xiàn)有部分考生出現(xiàn)了以下的錯(cuò)解：

二、母題本源深入探究

出現(xiàn)上面的錯(cuò)解的源頭就是未能對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b中參數(shù)ω，φ的意義理解透徹.舊教材中只對四個(gè)字母的幾何意義進(jìn)行了解釋，A變換的幾何意義是縱坐標(biāo)的伸縮變換，ω變換的幾何意義是橫坐標(biāo)的伸縮變換，φ變換的幾何意義是圖象的左右平移，b變換的幾何意義是圖象的上下平移.但是幾何意義理解比較抽象，學(xué)生掌握起來比較困難.新教材在此章節(jié)上對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)安排了專門的一小節(jié)內(nèi)容，繞開了抽象的幾何意義而是從具體的物理意義的角度解釋A,ω，φ,b，x,y這六個(gè)變量，學(xué)生掌握起來比較容易.新教材以古代的一種水利灌溉工具筒車為具體背景，抽象出數(shù)學(xué)模型如圖所示：

得到盛水筒P距離水面的高度H與時(shí)間t的關(guān)系式：H=rsin(ωt+φ)+h，r的物理意義是振幅即筒車的半徑，ω的物理意義是筒車旋轉(zhuǎn)的角速度，t的物理意義是運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，φ的物理意義是盛水筒的初始位置，h的物理意義是筒車中心到水面的距離.由正弦函數(shù)圖象y=sinx變換到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b圖象過程中，學(xué)生理解的難點(diǎn)在參數(shù)的ω，φ變換上.下面從物理意義直觀理解先變?chǔ)蘸笞儲(chǔ)嘏c先變?chǔ)睾笞儲(chǔ)盏膮^(qū)別(假定ω>0,φ>0).

先變?chǔ)蘸笞儲(chǔ)兀?/p>

=sin(ωx+φ)

先變?chǔ)睾笞儲(chǔ)眨?/p>

三、母題的變式拓展探究

有了上述對參數(shù)的具體物理意義的理解，學(xué)生對這個(gè)題目可以輕松解答.我們都知道高考真題是經(jīng)典的數(shù)學(xué)試題，為了發(fā)揮其應(yīng)有的價(jià)值，在教學(xué)過程中我們就要注重對其進(jìn)行變式拓展延伸，這樣不僅能夠幫助學(xué)生深入理解要學(xué)的知識，還有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，創(chuàng)新能力，提升學(xué)生的應(yīng)變能力，讓課堂教學(xué)成為真正的高效課堂.筆者從以下四個(gè)方面對此題進(jìn)行了變式.

變式一：如圖，一個(gè)摩天輪的半徑為10米，輪子的最底部距離地面2米，如果此摩天輪按照逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，每4分鐘轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點(diǎn)P處(點(diǎn)P與摩天輪中心高度相同)時(shí)開始計(jì)時(shí)，則經(jīng)過1分鐘后此人相對地面的高度為______米；在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，此人相對于地面高度不低于17米的時(shí)間為________秒.

四、結(jié)語

變式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中具有非常重要的意義，上面由一個(gè)看似簡單的三角函數(shù)圖象變換的高考真題出發(fā)，通過對其參數(shù)具體物理意義的本源探究，及其對題目多角度層層遞進(jìn)的變式探究，有效地深化了對三角函數(shù)圖形變換知識的理解與掌握，突破了三角函數(shù)圖形變換中的難點(diǎn)，開拓了學(xué)生的解題思維，有效促進(jìn)了學(xué)生思維品質(zhì)的改善和創(chuàng)新能力的提升.盡管高考試題不斷地推陳出新，但其原型還是來源于我們的教材，來源于我們平時(shí)做的習(xí)題，所以我們教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，要注重對學(xué)生所學(xué)的知識點(diǎn)，所做的題目進(jìn)行有目的的變式訓(xùn)練.新授課時(shí)，變式教學(xué)要注重對情境問題進(jìn)行變式探究，如本課試題可以將筒車變式為學(xué)生熟悉的摩天輪，然后設(shè)置相關(guān)問題，通過情境問題變式，增加學(xué)生對問題的思考，進(jìn)而更好地理解即將要學(xué)的新知識.習(xí)題課時(shí)，對題目的變式要注重立足于原有的題目(不能脫離原有的題目)，通過對題目中的條件、結(jié)論多角度、多視角切入變式探究，真正做到“一題多思”“一題多問”“一題多變”.巧妙地把題目中豐富的知識底蘊(yùn)充分挖掘出來，形成一個(gè)有效的知識網(wǎng)絡(luò)體系，真正提升學(xué)生解題能力，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用.