高考數學命題中結構不良預測題的思考

浙江 余繼光

(作者單位：浙江省柯橋中學)

筆者以高中數學新教材為基礎，以高考數學命題專家課題研究結論為依據，以經典數學模型為藍本，創作高考數學命題立體幾何、圓錐曲線、函數與導數結構不良預測題，為考生精心準備一首“交響曲”，讓參加2022年高考的學子親自“彈奏”一下，體驗它的韻律.

結構不良數學試題具有選擇性、探究性，學生能綜合運用所學數學知識，進行探究，分析并最終解決問題，有些結構不良題條件封閉，需要創新結論；有些結構不良題結論封閉，條件可以創新；有些條件結論都封閉，求解策略開放的結構不良試題,但限于限時測評，目前高考數學命題給出若干個條件供考生選擇，隨著新高考數學命題改革的步步深入，在學生數學學習心理的承受范圍內，在評價操作技術科學化發展后，開放程度更大的數學題也會在高考數學命題中出現.

1.立體幾何

1.1 試題

(1)若G為PC中點，求BG與平面PAB所成角的正弦值；

(2)從下面兩個選項中任選一個探究

②在PC上是否存在一點H，使得AH⊥PD？

1.2 解析

(1)解法一：邏輯推理法

若G為PC中點，求BG與平面PAB所成角的正弦值，

如圖，過G作GF垂直平面PAB于點F，連接BF，

則∠GBF為BG與平面PAB所成角，

由VG-PAB=VB-PAG，即

解法二：空間坐標法

(2)解法一：邏輯推理法

圖1

圖2

②假設在PC上存在一點H，使得AH⊥PD，

所以符合題意的點H存在.

解法二：空間坐標法

即(2λ+2)2=(λ+1)2+3(λ-1)2+(2-2λ)2，

即λ2-5λ+1=0，

因此符合題意的點Q存在.

所以符合題意的點H存在.

1.3 命題依據

新高考數學立體幾何命題進入規范幾何圖形時期，以三棱錐與四棱錐為主要背景成為常態，探究直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系與度量關系，并且提供的選擇性比較廣泛，傳統邏輯推理與空間坐標法均可使用，設計與數學新課標和新教材教學理念吻合的命題，尤其是突出探究性與創新性，以上預測題依據《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課程標準》)評價水平二：“能夠在關聯的情境中，想象并構建相應的幾何圖形；能夠借助圖形提出數學問題，發現圖形與圖形、圖形與數量的關系，探索圖形的運動規律；能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數量之間關系的基本方法；能夠借助圖形性質探索數學規律，解決實際問題或數學問題；能夠通過直觀想象提出數學問題；能夠用圖形探索解決問題的思路；能夠形成數形結合的思想，體會幾何直觀的作用和意義；在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討數學問題.”

2.解析幾何

2.1 試題

(1)求橢圓的離心率；

求x0的值.

2.2 解析

(1)解法一：A(na，0)，B(0，nb)，設切線AC的方程為y=k1(x-na)，切線BD的方程為y-nb=k2x，于是由

解法二：設C(x1,y1)，D(x2,y2)，

把A點代入(*1)，B點代入(*2)得

解得a2=12，b2=4，

因為直線l與內層橢圓交于不同兩點M,N，

所以Δ=36m2-16(3m2-12)>0，得m2<16.

設M(x1,y1),N(x2,y2)，則x1，x2是方程(*)的兩根，

據題意知，點P為線段MN的中垂線與直線y=2的交點.

即y=-x+1.令y=2，得x0=-1.

綜上所述，x0的值為-3或-1.

綜上所述，x0的值為-3或3.

2.3 命題依據

新高考數學命題在檢測學生數學核心素養的同時，突出教育功能，承載數學文化，2022年是冬奧之年，冬奧開幕式的一片雪花在鳥巢上演，帶給全世界一個驚喜，以鳥巢為現實情境創作數學問題是一次命題創新實踐，以上預測題依據《課程標準》水平二：“能夠在關聯的情境中確定運算對象，提出運算問題；能夠針對運算問題，合理選擇運算方法、設計運算程序，解決問題；能夠理解運算是一種演繹推理；能夠在綜合利用運算方法解決問題的過程中，體會程序思想的意義和作用.”

3.函數導數

3.1 試題

已知f(x)=ax3-ex，e=2.718 28…為自然對數的底數.

(1)若f(x)是R上的單調函數，求實數a的取值范圍；

(2)當a<0時，從下面兩個選項中任選一個

①對任意x≥0；

②對任意實數x.

試問函數f(x)是否存在最大值？若存在，求出函數f(x)的最大值，若不存在，說明理由；

3.2 解析

(1)f(x)=ax3-ex，f′(x)=3ax2-ex，

當a=0時，f(x)在R上單調遞減；

當a<0時，f′(x)<0，f(x)在R上單調遞減；

當a>0時，f′(x)的正負不定，此時f(x)在R上不單調，

綜上，實數a的取值范圍是(-∞，0].

(2)由(1)知，當a<0時，f(x)在R上單調遞減，

①對任意x≥0，f(x)≤f(0)，而f(0)=-1，

所以f(x)≤-1，

故當x=0時，f(x)取得最大值-1，

所以函數f(x)存在最大值，且最大值為-1.

②對任意實數x∈R，由(1)知，當a<0時，f(x)在R上單調遞減，所以f(x)取不到最大值，因此f(x)不存在最大值.

(3)當a>1時，由f(x)有兩個正極值點x1，x2，

則x1，x2是方程f′(x)=3ax2-ex=0的兩個根，

所以9a2(x1x2)2=ex1+x2≥1+x1+x2>x1+x2，

3.3 命題依據

函數與導數結構不良題命題主方向預測是零點的綜合問題，關鍵是分析超越函數、參數范圍、函數性質之間的關系，教學中可以分層設計同一情境的不同層次、不同難度的題目，訓練學生的數學思維，2021年是如此，2022年仍將如此.以上預測題依據《課程標準》評價水平二：“能夠在關聯的情境中，發現并提出數學問題，用數學語言予以表達；能夠理解、歸納、類比是發現和提出數學命題的重要途徑；能夠對與學過的知識有關聯的數學命題，通過對其條件與結論的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準確的數學語言表述論證過程；能夠通過舉反例說明某些數學結論不成立；能夠理解相關概念、命題、定理之間的邏輯關系，初步建立網狀的知識結構.”

高考數學結構不良問題類型很多，可以預見新高考數學命題會不斷延伸，因為只有這樣，才能真正培養學生的創新意識與創造能力.

數學結構不良題解題與教學口訣：

提出問題合題意，探究意識要建立，選擇問題需謹慎，推理嚴密表達全，多向思考是基礎，結構不良需完善，有限開放是常態，無限視角是落點.