例談“三多”在共線向量與圓錐曲線交匯問題中的應用

河北 郭天總 王紅波

(作者單位：邯鄲市永年區第二中學)

新高考重視能力立意、情境命題，尤其是在知識網絡的交匯點上設計試題，而平面向量與圓錐曲線結合的這類問題能有效的考查學生的數形結合思想、化歸與轉化思想、分析法與綜合法等數學思想和方法，能加強高中數學知識各分支之間的聯系，開拓解題視野，提高學生數學解題能力和水平.因此，圓錐曲線與平面向量的融合交匯是新課程高考命題改革的發展方向和創新的必然趨勢.而學生對這部分內容普遍感到不適應.那么，在解析幾何復習時,該如何融合平面向量的基礎、滲透平面向量的基本方法提高復習效率呢？

筆者認為“一題多解”“一題多變”“多題一解”是一種高效的復習方法，“一題多解”即一道題有多種解法，該方式可以鍛煉學生的發散思維，開闊學生的思路；“一題多變”即對一道題從問題情境、問題的方式等方面進行改變，達到觸類旁通、舉一反三的效果；“多題一解”即某類問題用的是一種解題思想或考查的是同一個知識點，該方式可以幫助學生歸納總結題型，避免題海戰術，達到跳出題海的目的.總之，用“三多”的模式去復習，可以大大提高復習的效果，達到事半功倍的效果.

本文以共線向量與圓錐曲線交匯的問題為例，探析在復習中如何做到以上所說的“三多”，希望能起到拋磚引玉的作用.

一、母題探究

【分析】看問題：求直線l的斜率.

想方法：求直線斜率的基本方法：

(1)通性通法：屬于求值問題，考查方程思想，找出等量關系建立關于直線l斜率的方程去求解.

定義法：k=tanα(α≠90°).

(2)過F的直線l交拋物線于A，B兩點，由此可得：

①想坐標可知，A，B兩點坐標滿足拋物線及直線AB的方程；

②想定義可得，A，B兩點到焦點F的距離等于到準線的距離；

定措施：方法一：由①④可得A，B兩點的坐標，故可用公式法求斜率；

方法二：由③④可知利用韋達定理建立直線l的斜率的方程去求斜率；

方法三：由③⑤可知能用定義法求斜率；

方法四：由②⑤可知能用定義法求斜率.

【解析】方法一：由題知p=1，則拋物線方程為y2=2x，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

代入拋物線方程得y2-2my-1=0，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由韋達定理得y1+y2=2m，y1y2=-1，

圖1

圖2

二、方法總結

上面通過“十二字分析法”，即“看問題、想方法、看條件、定措施”，對母題進行了分析，得到了四種解題方法，其中方法一、方法二屬于通性通法，方法三利用了拋物線焦點弦的性質、方法四利用了拋物線的定義，都屬于專題專法.

“十二字分析法”可以把解題的分析過程、思考過程完全展現給學生，真正做到授之以漁，使學生不但知其然而且知其所以然.“十二字分析法”也可以提高學生分析問題解決問題的能力，有利于培養學生的程序性思維，有利于培養學生一題多解的思維意識.但要想能夠熟練地使用“十二字分析法”，需要學生對高中數學基本題型的解題方法熟記于心，比如求軌跡方程的基本方法有待定系數法、定義法、直譯法、代入法(相關點法)、參數法.當遇到求軌跡方程的問題時，首先要想到這些基本方法，然后再分析條件，結合條件選擇合適的方法去解決問題.如果基本方法沒掌握，那做題時就會像無頭蒼蠅，沒有明確的解題思路.

三、解題心得

在有關直線與圓錐曲線的問題中，幾乎都有“點在圓錐曲線上”這樣的一個條件，對于這個條件一般可以從兩個角度去思考：一是想定義，即想圓錐曲線的定義；二是想坐標，即該點的坐標要既滿足圓錐曲線的方程，也滿足直線的方程.一般情況是選擇填空題想定義，即利用定義去解題；解答題想坐標，即聯立直線與圓錐曲線的方程再結合韋達定理去解題.在母題講解中，方法一、方法二利用的是坐標，方法三用的是拋物線焦點弦的性質，方法四用的是定義.

在有關共線向量與圓錐曲線交匯的問題中，對于“共線向量”這一條件一般從兩個角度去出發：一是想向量的模，即根據該條件得到已知向量模的關系，利用這一關系或利用向量模所隱藏的幾何關系去解題；二是想坐標，即根據該條件得到已知兩向量起點終點坐標的關系，再與韋達定理相結合去解題.

四、變式拓展

(一)以“變換問題情境”為指導思想進行變式

橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線，它們有很多相似的幾何性質，因此把三者進行互換，可達到改變問題情境的目的，以此進行一題多變，開展變式教學.

【分析】看問題：求直線AB的斜率k(屬于求值問題).

想方法：求直線斜率的基本方法：

(1)通性通法：屬于求值問題，考查方程思想，找出等量關系建立關于直線l的斜率的方程去求解.

定義法：k=tanα(α≠90°).

(2)過右焦點F的直線交橢圓C于A，B兩點，設A(x1,y1)，B(x2,y2)，由此可得：

①想坐標可知，A，B兩點坐標滿足橢圓C及直線AB的方程；

②想橢圓的定義.

⑤想共線向量可知，A,F,B三點共線.

定措施：方法一：由①④結合韋達定理建立關于k的方程去求解；

方法二：由①④結合點在橢圓上關于k的方程去求解.

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

【分析】看問題：求a的值(屬于求值問題).

想方法：求值問題考查方程思想，找出等量關系建立關于a的方程去求解.

①想坐標可知，A，B兩點坐標滿足雙曲線C及直線AB的方程.

④想共線向量可知，A，P，B三點共線.

定措施：方法一：由①②結合韋達定理建立關于a的方程求解；

方法二：由①②結合點在雙曲線上建立關于a的方程求解.

由于x1,x2是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的兩根，且1-a2≠0，

方法二：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，

【點評】變式1是根據母題把拋物線改成了橢圓，但弦還是焦點弦，由于橢圓的焦點弦沒有拋物線焦點弦類似的結論，所以只能從坐標的角度去解決問題；變式2是根據母題把拋物線改成了雙曲線，弦也不是焦點弦了，也是從坐標的角度去解決問題，這也說明了用坐標法是解決共線向量與圓錐曲線問題的通性通法.

(二)以“變換所求量”為指導思想進行變式

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【答案】C

【答案】A

【點評】變式3，4，5是針對母題，通過改變所求量或曲線的方程得到的變式.希望讀者可以自己嘗試著用“十二字分析法”去探索這些變式的解法.變數據、變問法、變情境是進行一題多變的基本策略，尤其對于以共線向量與圓錐曲線為情境的交匯問題，可依據這三種策略進行一題多變，開展變式教學.

五、結語

以上的母題也好，變式也好，都是以共線向量與圓錐曲線為情境的交匯問題，這些題的解題思路與解題方法基本一致，把這些題目作為一個專題進行復習，這就是所說的多題一解，這樣可使學生學會歸納總結，少做題，提效率，起到事半功倍的效果，達到跳出題海的目的.