轉化思想在高中數學解題中的應用探究

江蘇 王恩普

(作者單位：江蘇省淮陰中學教育集團 淮安市新淮高級中學)

數學思想方法是數學的靈魂及數學學科核心素養的重要內涵，作為數學教學的重要組成部分，不僅能夠幫助學生更好地獲得解題思路，還能夠提高學生的解題能力，發展學生的數學思維，提高學生的數學素養.轉化思想作為數學思想的重要組成部分，屬于數學思維里的精髓部分，在數學學習過程中，轉化思想能夠將煩瑣、困難和生疏的問題轉化為簡單、容易和熟悉的問題來解決，是學生在新知識的學習和數學解題過程中不可或缺的重要思想，文章將從以下幾個角度談談轉化思想在高中數學解題中的應用.

1.數形轉化，發展學生直觀素養

數形轉化是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過建立數與形之間的聯系，使抽象的數學直觀化、復雜的問題簡單化、表面的問題理性化，讓學生的思維更加敏捷、靈活，更有判斷力，更具深刻性，不僅能夠發揮學生的想象力，提高學生的思維能力，更有助于學生把握數學問題的本質，提高思維能力和數學素養.

分析：初看此題，如果從函數的角度出發，會發現問題很棘手，就算是運用導數工具，也無從做起，因此要學會換個角度，從“形”的角度也就是幾何意義上尋求突破.

評注：本題中，從函數角度的“復雜”到幾何意義角度的“直觀”，完美體現了數形轉化的優勢所在，也更容易感悟到問題的本質.

A.c

C.a

且當x∈(0,x0)時，f(x)單調遞增；

在同一坐標系里畫出兩個函數的圖象：

評注：本題是比較大小問題，直接比較有難度，同時構造函數不太明顯，通過發現一些隱性條件構造出函數以后，研究又遇到了困難，由于同時涉及三角函數與一次函數，無論是借助放縮，還是隱零點代換，都不易處理，而如果同時在坐標系中畫出兩個函數的圖象，問題便迎刃而解了，充分體現了數形轉化思想的美妙.

2.模型轉化，提升建模意識

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的核心素養，在平時的學習過程中，除了建立數學模型來解決實際問題，也要能夠借助于一些特定的、熟悉的數學模型解決數學問題，甚至，還可以把常規的數學問題轉化為實際模型來解決，進一步促進數學建模素養的提升.

分析：該題源自蘇教版2019選擇性必修第二冊82頁問題與探究，在探究中給出的解釋是從“算兩次”的角度進行研究，可以引導學生繼續探索，同時培養學生探究的興趣，但是如果“算兩次”方法的介紹，學生不易想到，而如果把組合數恒等式與實際模型聯系在一起，問題會變得格外親切，同時又易于理解.

解析：根據題目的特點，左邊是組合數的平方，也就是組合數的乘積，我們可以構造取球模型，而乘法可以構造相互獨立事件同時發生的情況，于是建立如下模型：

一個盒子中有2n個球，白球n個，黑球n個，那么從中取出n個球共有多少種結果？

方案一：

方案二：

我們可以把取出的n個球進行分類：

…

評注：數學建模作為數學六大核心素養之一，在數學學習過程中顯得尤其重要，而構造實際模型來解決數學問題既可以輕松的解決問題，又避免了一些可能遇到的煩瑣的運算過程，同時培養了學生的建模意識.如果能夠堅持帶著這樣的思維來思考問題，尤其是主動建模的意識，定會促進數學實踐能力和創新意識的發展，從而感悟數學的應用價值.

評注：平面截球的模型在立體幾何中是必須掌握的基礎知識，學生掌握的相對較少，但是得分結果告訴我們，如果把該模型放在一個具體的情境中，或許會把問題考慮的相對復雜，相反，如果能夠把問題轉化為基本的常見模型，問題的解決將起到事半功倍的效果.

3.邏輯轉化，增強思維創新

在現階段高中數學學科的教學中，學生邏輯思維的培養至關重要，不僅有助于學生知識理解能力和運用能力的提升，同時也有助于學生在數學學科的良好發展.在具體的問題解決過程中，不僅要學會有邏輯的思考問題，還要注重邏輯的嚴謹性，更為重要的是在邏輯思考的基礎上能否有創新.

【例5】設A∪B∪C={1,2,3,4,5,6}，且A∩B={1,2}，{1,2,3,4}?(B∪C)，則符合條件的(A,B,C)共有多少組.

分析：本題源于一道競賽輔導題，從常規角度出發，要對題中的集合A，B，C進行分類討論，分的情況比較多，而且在每一類中還要細分，學生很難通過分類討論得出正確答案，具體過程這里不再給出，讀者可以自行討論.

解析：如圖首先將集合A，B，C相交于7個區域，分別記為a，b，c，d，e，f，g可以嘗試將題目條件看作把六個數字填入集合中有多少方法.

首先，1，2，只能放在b或e中，有2×2=4種，

然后，根據{1,2,3,4}?B∪C可知，3和4不在b和e中，可能在c，d，f，g中，

有4×4=16種，

最后，根據A∪B∪C={1,2,3,4,5,6}可知，5和6不在b和e中，可能在a，c，d，f，g中，有5×5=25種，

由分步計數原理可得一共有4×16×25=1 600種，即符合條件的(A,B,C)共有1 600組.

評析：本題通過轉化邏輯的順序，避開了正面多而繁雜的討論，并不因為集合背景的增加影響排列組合的主線，借助于分步計數原理，使得解題思路變得非常清晰，自然.

4.聯想轉化，促進知識遷移

解題是對已學內容的綜合運用，涉及概念、定理、公式、技巧、方法等，如何將相關內容聯系在一起是門學問.數學解題的思維過程實質上是已知和未知之間的一系列聯想過程，其中聯想思維就是要能見微知著，展開想象，聯系有關的或是無關的各種內容，然后得出相關結論.據心理學研究發現，善于聯想思維的人們，學到的知識在他們的頭腦里組成有機的網狀，相互聯系在一起，而不是相互獨立的，更不是孤立割裂的.所以我們要自覺地發揮大腦的聯想思維功能，通過聯想進行轉化達到融會貫通.

分析：剛接觸到題目，很難想象e2x會用多項式來表示，如果粗略的搜索教材中學習過的內容，好像沒有涉及，但其實在教材的三角函數習題中曾經介紹過sinx,cosx的泰勒展開式，但是沒有給出如何研究，面對這樣的形式，我們該如何處理多項式系數呢？仔細觀察，對于展開式，可以聯想到學習過的二項式定理中的展開式的項的系數的幾種方法，經過篩選，發現借助于導數與賦值可以解決.

解析：對于第一問，在恒等式e2x=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…中，令x=0，可得a0=1，然后對恒等式e2x=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…兩邊求導，可得

2e2x=a1+2a2x+…+nanxn-1+(n+1)an+1xn+…，

則有

評注：作為高觀點下的泰勒展開式，高中教材中沒有具體提及，那么遇到以泰勒展開式為背景的問題時，需要及時聯想到學習過的二項式展開式，借助于二項式展開式中項的系數的方法，不僅使問題得到解決，還促進了知識與方法的遷移.

5.結語

在高中數學教學中，會遇到各種各樣的數學問題，轉化思想是解題中經常用到的，教師應該明確轉化思想的應用原則，借助于數形轉化、模型轉化、邏輯轉化、聯想轉化等方式，在實際的教學題中積極的滲透轉化思想，促進學生素養的提升，讓他們學會用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界.