完善數(shù)學(xué)思維模式 提升解題研題能力

四川 王昌林 羅萍雙

(作者單位：四川電影電視學(xué)院實(shí)驗(yàn)中學(xué))

思維能力是各種能力的核心，想要提升考生解題研題能力，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與完善就顯得尤為關(guān)鍵.本文介紹構(gòu)造與逆向兩種思維模式的應(yīng)用，然后以案例分析的形式呈現(xiàn)一題多解、一題多變以及歸納總結(jié)的解題研題具體步驟，最終使學(xué)生解題研題能力得到提升.

一、數(shù)學(xué)思維模式

數(shù)學(xué)思維模式是指主體在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中形成的相對(duì)穩(wěn)定的思維模式，是數(shù)學(xué)模式在主體頭腦中概括并加工的反映.因此數(shù)學(xué)思維模式是一定的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)思維方式結(jié)合而成的動(dòng)力系統(tǒng).數(shù)學(xué)思維模式的種類繁多，常見(jiàn)的有化歸、構(gòu)造、逆向、類比聯(lián)想、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等，以下是構(gòu)造與逆向兩種思維模式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

(一)構(gòu)造思維模式

類型1 構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)是指根據(jù)題目設(shè)對(duì)象，通過(guò)構(gòu)造一種新的函數(shù)關(guān)系并利用所構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.要理解和掌握構(gòu)造函數(shù)的要點(diǎn)，掌握常見(jiàn)函數(shù)模型的圖象和性質(zhì).構(gòu)造函數(shù)思想有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)從常量到變量的認(rèn)識(shí)飛躍.

(1)略；(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

類型2 構(gòu)造圖形

構(gòu)造圖形是指在解決某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的內(nèi)部聯(lián)系以及數(shù)量特征，構(gòu)造出與之相對(duì)應(yīng)的幾何圖形或函數(shù)圖象.一般來(lái)說(shuō)，代數(shù)問(wèn)題都較為抽象，若是能夠通過(guò)構(gòu)造的方式，將其合理的轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)思想，往往可以增強(qiáng)問(wèn)題的直觀性，使得解答過(guò)程事半功倍.

【例2】已知集合A={(x，y)|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________.

類型3 構(gòu)造與運(yùn)用模型

求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，針對(duì)問(wèn)題的背景、結(jié)構(gòu)與特征，在直接求解存在較大困難時(shí)，通過(guò)觀察和聯(lián)想，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造出熟知的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)研究該數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題，這是構(gòu)造與運(yùn)用模型的思想方法，是一種十分有效的解題策略.同時(shí)，構(gòu)造的過(guò)程是對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握熟練與否的具體表現(xiàn)，也是一種創(chuàng)新思維的過(guò)程和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).

評(píng)析：例3所考查的是圓錐曲線中的定點(diǎn)類問(wèn)題，也符合極點(diǎn)、極線模型的使用條件，即一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在一條二階曲線上，并且四邊形對(duì)邊不平行，則這個(gè)四邊形的對(duì)邊延長(zhǎng)線的交點(diǎn)及其對(duì)角線所組成的三角形的任一頂點(diǎn)是其對(duì)邊的極點(diǎn).雖極點(diǎn)、極線模型不能直接作為解答過(guò)程，但可以讓考生明確解答方向，合理構(gòu)造和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，既能增強(qiáng)解題效率，又能有效增加考生解答試題的自信.

(二)逆向思維模式

二、解題研題案例分析

對(duì)于數(shù)學(xué)試題的研究，既需要橫向的多角度研究，也需要縱向的多層次研究；既需要著眼于宏觀層面的研究，如命題理念和原則的研究，也需要著眼于微觀層面的研究，如一道試題的研究.其主要內(nèi)容有：試題的分析、評(píng)價(jià)與賞析；試題的“一題多解”與“多題一解”；問(wèn)題的變式、推廣；試題的創(chuàng)作與改編；試題的答題技巧與應(yīng)考對(duì)策等.學(xué)生受自身限制，可將解題研題的過(guò)程簡(jiǎn)化為“解—變—結(jié)”三步驟，即對(duì)試題一題多解、一題多變與歸納反思，最終實(shí)現(xiàn)做一道題會(huì)一類題.

答案：C

評(píng)析：本題為雙動(dòng)點(diǎn)下的向量數(shù)量積最小值問(wèn)題，是成都市2021年第三次診斷考試文科選擇壓軸.在高考題中，與其類似的有2018年上海卷第8題，天津卷第8題，2020年天津卷第15題等.案例有所不同的是定長(zhǎng)線段AB是在圓上運(yùn)動(dòng)，而不是在直線上運(yùn)動(dòng)，例5更具有可研究性.

(一)一題多解，探尋方法拓視野

視角1：基底法

解法1：如圖2，取線段AB的中點(diǎn)M，連接PM.

因?yàn)辄c(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=1，所以易得PM的最小值為2，

視角2：坐標(biāo)法

解法2：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，取線段AB的中點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M(x0，y0).

則x1x2+y1y2=-2，

解法3：因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)B皆是圓x2+y2=4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

設(shè)A(2cosθ，2sinθ)，B(2cosα，2sinα)，

視角3：公式法

當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|時(shí)取等號(hào).

視角4：極化恒等式法

因?yàn)辄c(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=1，所以易得PM的最小值為2，

視角5：向量中值定理法

因?yàn)辄c(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=1，易得PM的最小值為2，

評(píng)注：一題多解的最終目的是為了達(dá)到完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，養(yǎng)成多角度看問(wèn)題的習(xí)慣.向量數(shù)量積最值問(wèn)題多數(shù)學(xué)生僅會(huì)用公式法，偶有學(xué)生借助極化恒等式，例5的解答以5種視角入手，可以有效拓展學(xué)生看待問(wèn)題的視野，讓學(xué)生明白原來(lái)向量數(shù)量積最值問(wèn)題的解答也可以是多種多樣的，從而引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究問(wèn)題.

(二)一題多變，提升維度促深思

變式1：結(jié)構(gòu)變式

答案：8

變式2：條件變式

變式3：?jiǎn)栴}變式

變式4：結(jié)論變式

答案：是定值，其定值的大小由點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)決定

評(píng)注：例5中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)恰好是基于等邊三角形所設(shè)的，因此，將線段AB為邊長(zhǎng)構(gòu)造圓內(nèi)正三角形又會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？因此對(duì)例5進(jìn)行以上變式.試題的變式是指通過(guò)變式把已有試題變成多個(gè)試題.試題變式有利于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).一個(gè)好的變式是值得玩味的，更是能夠啟迪思維的.

(三)歸納總結(jié)，分析得失謀發(fā)展

對(duì)于例5中的5種視角，坐標(biāo)與基底的視角是較為容易想到的，也是解決向量數(shù)量積問(wèn)題的常用方法，合適的基底選取以及建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系可以起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用，不然只會(huì)增大運(yùn)算與思維量.例如：

解題研題匆匆忙忙，只求數(shù)量，不重歸納總結(jié)，往往事倍功半.我們可以在總結(jié)歸納過(guò)程中理解知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵、外延以及解題技巧；在總結(jié)的過(guò)程中汲取經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，從而鞏固與擴(kuò)大解題研題成果；最終做到舉一反三，解題研題效果也會(huì)事半功倍.