挖掘教材題根 引領思維生長
——以2021年新高考Ⅰ卷19題為例

廣東 蔣海榕

(作者單位：廣東省中山市實驗中學)

教材是教師與學生最重要的學習資料.各類考試的題目通常來源于教材中的例題、習題的改編.我們把某一類型題目的來源稱作題根.在新課標背景下，2019年人教A版新教材投入使用.挖掘新教材中的題根，以題根展開教學，來尋找解題思維入口；通過題根的變式拓展探求不同思路，幫助學生理解問題內涵和總結歸納，對提升學生思維有著重要意義.解三角形是高考中必考的一個知識點，它在考查基礎知識的同時，還考查了數形結合、化歸與轉化、函數與方程等數學思想方法.本文以2019年出版的人教A版數學必修第二冊的一道課后習題為題根，對解三角形的題根教學進行相關探討.

一、挖掘題根，夯實思維基礎

思路1:取BC邊上的中點D，連接AD,如圖，在△ABC中，∠ADB=π-∠ADC，

所以cos∠ADB=-cos∠ADC.

在△ABD和△ADC中，分別由余弦定理得，

思路3：如圖，取AB，BC邊上的中點E,D，連接DE,AD.

這是2019年人教A版必修二第53頁的一道課后題.此題已知三角形三邊，求三角形中線的長度.本文給出了五種解題思路：思路一是從幾何圖形中得到兩個角互補的關系，得出余弦值互為相反數的結論，進而利用余弦定理化簡求解；思路二是利用同一個角在不同的兩個三角形中的余弦值相等求解；思路三是利用三角形中位線構造新的三角形，在新的三角形中利用余弦定理求解；思路四是在已有圖形的基礎上，將三角形補成平行四邊形，再利用平行四邊形的兩對角線的平方和等于邊長的平方和進行求解；思路五將解三角形與平面向量進行了結合，利用和向量模長來計算中線長進行求解.這道解三角形的課后題，考查的基礎知識是余弦定理，卻需要學生通過幾何圖形的特征，尋求解決問題的突破口.解題過程中滲透著數形結合、化歸與轉化、函數與方程思想;多種解題思路能夠有效地提升學生的推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力和創新能力，值得教師與學生挖掘其題根本質，進行遷移與拓展.

二、逐層變式，鞏固思維廣度

思路1：在△ABC中，

所以在△ACD中，

解：在△ABC中，由余弦定理可得

解得BC=4，

答案：4

題根中是已知三角形三邊求中線長，以題根為基礎，我們可以進行以上變式.變式1和變式2是在題根的基礎上改變條件：變式1是以三角形兩邊以及它們的夾角作為已知條件，變式2是以三角形兩邊及其中一邊的對角作為已知條件，這兩個變式都是求三角形未知邊上的中線.文中只列出最簡易直接的幾種解題思路.變式3中，交換了變式1中的條件與所求.變式4中，仍以三角形中線為載體，改變條件和所求.變式5又是在變式4的基礎上，將三角形中線改成一條邊上的四等分點，逐層變式.雖是不同的變式，但是都可以在題根的模型基礎之上，從幾何圖形中角的互補關系、同一角在不同三角形中的余弦值表示、平行四邊形對角線與邊長的關系、向量的模長等四個角度進行處理.5個變式，鞏固了學生在解三角形解題過程中思維的多面性.

三、鏈接真題，提升思維高度

(2021·新高考Ⅰ卷·19)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BD·sin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

這是2021年新高考Ⅰ卷中的第19題，我們主要探討第二問.與文中題根對比，相似的是平面圖形的幾何特征，也可以理解為是相似的幾何模型.所以題根中的四種解法都可以得到遷移應用.不同的是，題根與變式中，4個條件中AB，BD，BC，∠ABC都是已知3個，通過計算可以具體求出另外一個；而此題中4個條件中，僅知道BD=b，b2=ac，所以需要再列一個方程找到a，c的關系，通過聯立才能具體求出cos∠ABC.此題源于題根，卻高于題根；在題根的基礎上，更強化了化歸與轉化思想.在解決這一系列問題的過程中，我們可以將以上內容進行拓展，得到兩個一般性結論.

所以在△AED中，

《中國高考評價體系》明確指出，高考以“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”為考查內容，即“四翼”.解三角形作為高考重點考查內容之一，在正弦、余弦定理的基礎上，利用圖形的幾何特征，找尋解決問題的思路，這類題型既能考查學生基本必備知識，又能考查學生直觀想象、數學建模、邏輯推理與數學運算核心素養.解題過程中蘊含了數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，所以我們在復習過程中，應當重視這部分內容對于提升學生思維的作用.教材中出現的例題與課后習題凝聚了眾多專家的智慧，具有非常強的指導性.教師應該充分挖掘教材中的題根，從題根入手，通過變式與拓展不斷增加思維的廣度與深度，讓學生在符合自身發展的探究中，理解問題內涵，體會一題多解、多題歸一，以求達到真正促進學生思維再生長的效果.