與球有關(guān)的綜合問(wèn)題探究

江蘇 陳 敏 張啟兆

(作者單位：無(wú)錫市第六高級(jí)中學(xué) 無(wú)錫市青山高級(jí)中學(xué))

與球相關(guān)的綜合問(wèn)題是近年高考命題的熱點(diǎn)之一，而球與幾何體的切、接、截問(wèn)題是與球相關(guān)的綜合問(wèn)題中常見的題型，從“幾何作圖”和“分析圖形”兩個(gè)角度考查直觀想象核心素養(yǎng)，考查考生的空間想象能力和推理論證能力，同時(shí)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也是考試的難點(diǎn).下面談?wù)勁c球有關(guān)的綜合問(wèn)題的解題方法與策略.

1.補(bǔ)形法，轉(zhuǎn)化為熟悉模型

全國(guó)卷一直注重對(duì)球體的考查，尤其是和其他幾何體的組合，涉及切、接、截時(shí)相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，求解這類問(wèn)題時(shí)，要善于將問(wèn)題向熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化，往往可以通過(guò)補(bǔ)形將球體放置在更為特殊的幾何體中研究，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.

與球有關(guān)的切、接問(wèn)題中，有以下常用結(jié)論：

圖1

圖2

圖3

(2)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.

【分析】先畫出圖形，如圖，由題意可知，利用條件直接求解a，難度較大，但此四面體的對(duì)棱相等，故該四面體可以通過(guò)補(bǔ)形，補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，將四面體的外接球問(wèn)題轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)與其外接球半徑之間的關(guān)系.設(shè)出長(zhǎng)方體過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)，由已知求出三條棱長(zhǎng)，則a可求.

【規(guī)律方法】(1)知識(shí)儲(chǔ)備：球和長(zhǎng)方體切、接問(wèn)題是最典型的組合體問(wèn)題，平時(shí)多加研究總結(jié)，吃透處理這類問(wèn)題的方法;

(2)轉(zhuǎn)化意識(shí)：當(dāng)遇到不規(guī)則的幾何體與球切、接問(wèn)題時(shí)，多聯(lián)想發(fā)散，不規(guī)則的幾何體從哪來(lái)？通過(guò)空間想象，找到它的源，嘗試將其置在規(guī)則的幾何體中認(rèn)知，問(wèn)題便不難解決;

(3)方法技巧：如果一個(gè)三棱錐的三對(duì)對(duì)棱長(zhǎng)度分別相等，則可將其置于長(zhǎng)方體中，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別位于長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)上，六條棱分別位于長(zhǎng)方體的六個(gè)面對(duì)角線上，即“對(duì)棱相等”模型.

【易錯(cuò)提醒】(1)不注重積累，缺乏對(duì)常見基本組合體的認(rèn)識(shí)和研究，讓轉(zhuǎn)化無(wú)“源”；

(2)沒(méi)有厘清原組合體的點(diǎn)線面之間的關(guān)系，在補(bǔ)形時(shí)張冠李戴，補(bǔ)錯(cuò)形.

【分析】首先要根據(jù)題意準(zhǔn)確作出圖形，根據(jù)該三棱錐底面△ABC的各邊長(zhǎng)及中線長(zhǎng)特征，將下底面補(bǔ)形成平行四邊形ABO1C，且O1為△ABC的外心，三棱錐V-ABC外接球的球心必在VO1上.

【規(guī)律方法】(1)補(bǔ)形法適用于特殊的棱錐;

(2)若三棱錐具有三條棱兩兩垂直或三個(gè)平面兩兩垂直的特征，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模，構(gòu)建“兩兩垂直”模型，即“墻角”模型，如圖所示，將三棱錐放入伴隨長(zhǎng)方體中，將棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球，不用找出球心的具體位置，這是處理此類問(wèn)題的簡(jiǎn)潔途徑.也可以推廣到直四棱柱;

(3)對(duì)于一側(cè)棱垂直于底面且底面是非直角三角形的四面體的外接球半徑問(wèn)題，可以將四面體補(bǔ)形，補(bǔ)成直四棱柱(或直六棱柱)，使得三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)與直四棱柱(或直六棱柱)的頂點(diǎn)重合，因?yàn)樗鼈兊耐饨忧蛳嗤士衫弥彼睦庵?或直六棱柱)的外接球半徑公式求出三棱錐的外接球半徑.

【易錯(cuò)提醒】注意聯(lián)系三棱錐的棱長(zhǎng)和位置特征，識(shí)別三棱錐類型，找準(zhǔn)球的直徑和三棱錐關(guān)聯(lián)的棱長(zhǎng)，以防錯(cuò)位.

【教學(xué)建議】重視識(shí)圖、作圖和用圖，乃至變換圖，提升空間想象能力.球和幾何體切、接、截問(wèn)題，旨在考查學(xué)生的空間想象能力.問(wèn)題往往始于構(gòu)圖，我們更要借助于圖形，行于識(shí)圖、通于析圖、善于變圖、止于用圖.要引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地親自動(dòng)手作圖，提高識(shí)圖、辨圖、畫圖、用圖、變圖的能力.解題時(shí)，題目中時(shí)常無(wú)圖，要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮空間想象能力，構(gòu)造出空間圖形，甚至于要在大腦中思考、想象，嘗試猜想點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，然后正確地作出直觀圖形，進(jìn)一步求解問(wèn)題.

2.空間問(wèn)題平面化

由于“球”是“圓”在空間概念上的延伸，所以研究球的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)注意與圓的性質(zhì)類比.球的軸截面是大圓，它幾乎含有球的全部元素，所以有關(guān)球的計(jì)算，往往可以作出球的一個(gè)大圓，化“球”為“圓”來(lái)解決問(wèn)題，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.

【分析】(1)本題沒(méi)有給出圖形，其實(shí)質(zhì)是要考查學(xué)生的空間想象能力和作圖能力，所以要準(zhǔn)確畫出圖形(如圖4)；

(3)將圖4繞棱BC所在直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°(如圖5)，再瞧瞧，問(wèn)題變得更“容易”.

【解】如圖4,

圖4

圖5

取B1C1的中點(diǎn)為E，BB1的中點(diǎn)為F，CC1的中點(diǎn)為G，

因?yàn)椤螧AD=60°，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，

所以△D1B1C1為等邊三角形，

又四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，

所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E，

因?yàn)锽B1∩B1C1=B1，所以D1E⊥側(cè)面B1C1CB，

設(shè)P為側(cè)面B1C1CB與球面的交線上的點(diǎn)，

則D1E⊥EP，

【小貼士】橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同，變換角度，找準(zhǔn)適合個(gè)人視角習(xí)慣的圖形，能讓問(wèn)題更“容易”.

【例4】(2020·新高考Ⅰ卷·4)如圖，日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為( )

A.20°B.40°C.50°D.90°

【分析】將題干所涉及的條件在圖中“翻譯”出來(lái)，通過(guò)空間想象將日晷晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角轉(zhuǎn)化成線線所成的角，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)立體問(wèn)題平面化的目標(biāo)，再運(yùn)用平面幾何知識(shí)求解.

【解】畫出截面圖，如圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線.

l是點(diǎn)A處的水平面的截線，由題意可得OA⊥l，AB是晷針?biāo)谥本€.m是晷面的截線，由題意晷面和赤道面平行，晷針與晷面垂直，

根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得m∥CD，

根據(jù)線面垂直的定義可得AB⊥m，

由于∠AOC=40°，m∥CD，

所以∠OAG=∠AOC=40°，

由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90°，

所以∠BAE=∠OAG=40°，即晷針與A處的水平面所成角為∠BAE=40°，故選B.

【規(guī)律方法】(1)處理與立體幾何有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要厘清實(shí)際背景下的條件，設(shè)法用立體幾何中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系來(lái)準(zhǔn)確刻畫，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化目標(biāo)；

(2)統(tǒng)籌條件，在圖中標(biāo)注出已知條件，尋求條件間的橋梁，盡量將條件轉(zhuǎn)移至某一平面中處理，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)立體問(wèn)題平面化，在平面中再進(jìn)一步解答.

【易錯(cuò)提醒】球和幾何體切接問(wèn)題，在審題上多思考，舍得花時(shí)間，俗語(yǔ)說(shuō)得好“磨刀不誤砍柴工”，厘清問(wèn)題的來(lái)龍去脈，問(wèn)題就能解決一大半.

3.找球心(勾股定理法)

【例5】(體積問(wèn)題)(2021·全國(guó)甲卷理·11)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC,AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為( )

【分析】先確定所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點(diǎn)，然后在Rt△ABC和Rt△AOO1中，利用勾股定理求出OO1，再利用錐體的體積公式即可求解.

【解】如圖，因?yàn)锳C⊥BC,AC=BC=1，所以△ABC為等腰直角三角形，

所以△ABC所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點(diǎn)，

OO1⊥平面ABC.

故選A.

【規(guī)律方法】結(jié)論1：正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn).

結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn).

結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn).

方法技巧：勾股定理法的關(guān)鍵是找球心，球心一定在過(guò)底面的外心與底面垂直的直線上，畫出截面圖，構(gòu)造與半徑R有關(guān)的直角三角形.

【教學(xué)建議】注重知識(shí)的積累，構(gòu)造模型，提升轉(zhuǎn)化能力.球和幾何體的切、接、截問(wèn)題看似復(fù)雜，實(shí)質(zhì)可以化歸與轉(zhuǎn)化為幾種常見模型，平時(shí)的學(xué)習(xí)中，只要我們善于梳理和積累，掌握各種模型問(wèn)題的處理策略，便可以以不變應(yīng)萬(wàn)變，另外，在處理這類問(wèn)題時(shí)心中時(shí)刻要有一種意識(shí)，即“降維”思想，將三維向二維轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)立體問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)處理.

4.體積分割法

【例6】某四棱錐的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，該四棱錐內(nèi)有一個(gè)半徑為1的球，則該四棱錐的表面積的最小值是( )

A.16B.8C.32D.24

【分析】由題意知該四棱錐是正四棱錐，在正四棱錐P-ABCD中，設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為2a，高為h，由題意可知半徑為1的球是正四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球時(shí)，該四棱錐的表面積最小，利用等體積法求出a與h的關(guān)系，再將四棱錐的表面積表示成關(guān)于h的函數(shù)，再由基本不等式求解即可.

【解】因?yàn)樗睦忮F的底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形中心，所以四棱錐P-ABCD是正四棱錐.

如圖，當(dāng)半徑為1的球是正四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球時(shí)，該四棱錐的表面積最小，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，AC∩BD=O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，所以正四棱錐P-ABCD的高為PO，設(shè)PO=h，正四棱錐P-ABCD的表面積為S，

設(shè)t=h-2>0，可得h=t+2，

【規(guī)律方法】結(jié)論1：內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等.

結(jié)論2：正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.

結(jié)論3：正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不定重合.

方法技巧：體積分割法是求內(nèi)切球半徑的常用方法.

5.解析法

球和幾何體的切、接、截問(wèn)題，重點(diǎn)考查空間想象能力，涉及點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用綜合幾何法，將空間問(wèn)題平面化，“一作、二證、三求解”的步驟，把角和距離的計(jì)算化歸為三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解要求較高，若幾何體相對(duì)規(guī)則，運(yùn)用向量坐標(biāo)法，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，化為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，便可以以計(jì)算代替推理，降低思維難度.

【例7】(表面積問(wèn)題)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為________.

【視角1】求該球的表面積，就是要求球的半徑，本質(zhì)是在空間中找到一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)距離相等，再基于該三棱錐，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，就能通過(guò)設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)幾何特征建立方程組，方程獲解，問(wèn)題便迎刃而解.

A(-1,0,0)，P(-1,0,2)，設(shè)球心為M(x,y,z)，于是有MA=MB=MC=MP，則

則R2=22+12=5，表面積為4πR2=20π.

【評(píng)注】在利用解析法中，關(guān)鍵在于選準(zhǔn)坐標(biāo)系，正確寫出坐標(biāo)，建立方程.

【視角2】在本題中，如果∠BAC=90°，那么我們就可以借鑒上面的第1種方法：補(bǔ)形，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，將三棱錐與球的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體與球的問(wèn)題，但是本題中∠BAC=120°，不方便補(bǔ)成長(zhǎng)方體，于是聯(lián)想到把下底面補(bǔ)成正六邊形，從而把上述三棱錐補(bǔ)成正六棱柱，如圖，把三棱錐與球的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正六棱柱與球的問(wèn)題.根據(jù)正六棱柱的對(duì)稱性，于是得到下面的解法2.

解法2(補(bǔ)形法)：該三棱錐可以通過(guò)補(bǔ)形補(bǔ)成一個(gè)正六棱柱，如圖所示，

【評(píng)注】本題探究了三種方法：解析法，補(bǔ)形法(轉(zhuǎn)化為特殊的幾何體與球相接問(wèn)題)，找球心(轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題處理)，通過(guò)上述幾種方法比較，我們可以選擇、優(yōu)化解決立體幾何中特別是幾何體的接切問(wèn)題的方法.

【規(guī)律方法】利用向量法求解球和幾何體切接問(wèn)題時(shí)：

(1)選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系是后續(xù)解題的前提；

(2)多從方程結(jié)構(gòu)把握方程特征，注意整體思想化簡(jiǎn)和求解方程.

【易錯(cuò)提醒】因點(diǎn)、線、面位置關(guān)系不夠清晰，導(dǎo)致空間點(diǎn)的坐標(biāo)出錯(cuò).

【教學(xué)建議】發(fā)散思維，多方認(rèn)知，優(yōu)化解法，提高解題能力.處理球和幾何體切、接、截問(wèn)題的核心在于將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，在具體求解時(shí)，首先可以放眼整體觀察，將問(wèn)題置在“大背景(補(bǔ)形)”下認(rèn)識(shí)，有了“靠山”就容易求解了；其次，當(dāng)問(wèn)題要求空間想象能力相對(duì)較高，不易聯(lián)系各種條件時(shí)，可以考慮可否放在空間直角坐標(biāo)系下處理，化立體中的推理過(guò)程為代數(shù)運(yùn)算過(guò)程，平時(shí)要從不同角度解決問(wèn)題，積累經(jīng)驗(yàn)，以便在解決新問(wèn)題時(shí)，根據(jù)具體條件因地制宜，靈活選擇使用方法，提高解題能力.