圓錐曲線中易錯(cuò)問(wèn)題致誤剖析

陜西 劉正章

(作者單位：陜西省漢中市四○五學(xué)校)

解析幾何的基本思想是運(yùn)用代數(shù)法解決幾何問(wèn)題，由于其運(yùn)算較煩瑣，易出現(xiàn)失誤，故解題時(shí)盡量運(yùn)用幾何問(wèn)題中蘊(yùn)含的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算，但由于幾何圖形靈活多變，稍有不慎就會(huì)出現(xiàn)漏洞.因此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要強(qiáng)化易錯(cuò)問(wèn)題的教學(xué)與練習(xí)，下面簡(jiǎn)要談?wù)剤A錐曲線中的易錯(cuò)問(wèn)題及其應(yīng)對(duì)策略.

一、未能正確運(yùn)用圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程致誤

“通過(guò)方程研究曲線的性質(zhì)”是解析幾何的兩大基本問(wèn)題之一，屬于高考的必考點(diǎn).因?yàn)槲覀冄芯繄A錐曲線性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)主要是基于其標(biāo)準(zhǔn)方程，所以忽視圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握和正確運(yùn)用，必將導(dǎo)致解題失誤.

【錯(cuò)解】由雙曲線方程得a=1，b=m，

【剖析】本題主要考查的是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.但標(biāo)準(zhǔn)方程中x2，y2的分母是a2或b2，錯(cuò)解中馬虎大意，將y2的分母當(dāng)成b，造成失誤.

【正解】依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a2=1，b2=m，

故應(yīng)填2.

【評(píng)注】在圓錐曲線方程研究其幾何性質(zhì)時(shí)，要將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，先“定位”，再“定量”.如焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線，哪些量表示a2，b2，解題時(shí)必須弄清，另外還要注意a，b，c的關(guān)系，若是雙曲線，則c2=a2+b2；若是橢圓，則a2=b2+c2，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

二、未能正確運(yùn)用圓錐曲線的定義致誤

定義是辨析圓錐曲線的類型和推導(dǎo)其方程的根本，也是研究相應(yīng)曲線上的點(diǎn)與其焦點(diǎn)距離有關(guān)問(wèn)題的一把利器.但在運(yùn)用定義時(shí)切莫忽視定義的前提條件，否則極可能出錯(cuò).

A.直線B.拋物線

C.雙曲線 D.橢圓

【錯(cuò)解】由條件知，點(diǎn)P到點(diǎn)(1，2)的距離與它到直線l：3x+4y-11=0的距離相等，根據(jù)拋物線定義知，點(diǎn)P的軌跡是拋物線，故選B.

【剖析】利用圓錐曲線的定義解題時(shí)，忽視了點(diǎn)(1，2)在直線l：3x+4y-11=0上的隱含信息，而只有當(dāng)定點(diǎn)不在定直線上，兩距離相等時(shí)軌跡才為拋物線.

【正解】由于點(diǎn)(1，2)在直線l：3x+4y-11=0上，且點(diǎn)P到點(diǎn)(1，2)的距離與它到直線l的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡是過(guò)點(diǎn)(1，2)且垂直于直線l的直線.故應(yīng)選A.

【評(píng)注】利用圓錐曲線定義求軌跡是非常簡(jiǎn)潔的方法，但使用時(shí)需注意兩個(gè)方面：一方面是定義的前提條件，如橢圓2a>2c，而雙曲線不僅要滿足2a<2c，還需關(guān)注是否有“2a>0”及“差的絕對(duì)值”；另一方面是數(shù)形結(jié)合時(shí)需考慮全面，否則易漏解致誤.

三、未正確處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系致誤

直線與圓錐曲線的位置有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，在處理含參數(shù)的直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，若忽視對(duì)參數(shù)，即直線與曲線位置關(guān)系的討論，極易造成錯(cuò)解.

【例3】若過(guò)點(diǎn)(0，-2)的直線l交拋物線y2=8x于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則直線l與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為________.

又因?yàn)閥1=kx1-2，y2=kx2-2，x1+x2=4，

所以y1+y2=k(x1+x2)-4=4k-4，

于是k(4k-4)=8，解得k=-1或k=2，

所以l：y=-x-2，或y=2x-2.

【錯(cuò)解2】設(shè)l：y=kx-2，代入y2=8x，

得k2x2-4(k+2)x+4=0 ①，

又因?yàn)锳B中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，所以x1+x2=4，

【剖析】錯(cuò)解1“點(diǎn)差法”默認(rèn)了直線與曲線相交，反之則不然.事實(shí)上已知點(diǎn)不是弦的中點(diǎn)，按“點(diǎn)差法”也可求出弦所在直線的斜率，故運(yùn)用“點(diǎn)差法”求中點(diǎn)弦須檢驗(yàn).錯(cuò)解2“根系法”默認(rèn)方程①有兩解，但該方程當(dāng)k=0時(shí)，為一次方程；當(dāng)k<-1，即Δ<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，這兩種情況均不能使用韋達(dá)定理；當(dāng)k=-1，即Δ=0時(shí)，雖能使用韋達(dá)定理，但此時(shí)直線與拋物線相切，與題意不符.故當(dāng)k>-1，且k≠0，即Δ>0不可忽略.

【評(píng)注】解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，常對(duì)交點(diǎn)運(yùn)用“設(shè)而不求”的策略以減少運(yùn)算量，但此法的前提是直線與曲線有公共點(diǎn)，因此求解過(guò)程中必須保證Δ≥0(相交于兩點(diǎn)時(shí)Δ>0).另外注意兩點(diǎn)：第一，判別式Δ=b2-4ac的使用前提是聯(lián)立、消元后的方程ax2+bx+c=0滿足a≠0，而當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于拋物線屬于直線與對(duì)稱軸平行或重合的情形，對(duì)于雙曲線屬于直線與漸近線平行的情形；第二，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，可能都在左支、可能都在右支、亦可能是一左一右，若數(shù)形結(jié)合解題需分辨清楚.

四、忽視直線斜率不存在的情形致誤

在求直線方程或研究直線與曲線位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，往往要設(shè)直線方程，通常是直線過(guò)一已知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)斜式；沒(méi)有明確的點(diǎn)、截距信息時(shí)，設(shè)斜截式.此時(shí)一定不要忘了斜率不存在的情形討論，否則會(huì)出現(xiàn)邏輯不嚴(yán)謹(jǐn)或丟解錯(cuò)誤.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：直線l過(guò)定點(diǎn).

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)及直線l的方程為y=kx+m(m≠1)，將直線與橢圓的方程聯(lián)立，

得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，

而-1=kP2A+kP2B

即(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0，將①代入，

【剖析】第(2)問(wèn)默認(rèn)直線l的斜率存在，直接設(shè)其方程為y=kx+m(m≠1)，而忽視l⊥x軸時(shí)的情形，盡管經(jīng)討論與題設(shè)不符，但作為解答題必須要展示嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕鉀Q問(wèn)題過(guò)程.

【評(píng)注】證明直線過(guò)定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過(guò)一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系式，從而判斷過(guò)定點(diǎn)的情況.在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中未告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況，接下來(lái)的通法是聯(lián)立方程組，求判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn).若已知直線不與y軸垂直，可設(shè)在x軸上的截距式x=ty+n來(lái)避免對(duì)斜率是否存在的討論.特別提醒，此類問(wèn)題歸根結(jié)底屬于待定系數(shù)法求方程的易錯(cuò)點(diǎn)，設(shè)方程時(shí)必須考慮所設(shè)方程的適用條件，不確定時(shí)切勿忽視對(duì)不適用情況的討論.

(1)求橢圓C的方程；

五、忽視圓錐曲線的取值范圍致誤

【例5】如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上.

(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；

【評(píng)注】圓錐曲線中求范圍問(wèn)題，一般有兩大類：

第一類是利用條件將目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)一元函數(shù)問(wèn)題，再根據(jù)函數(shù)形式，選用方法求值域，如二次型利用對(duì)稱軸與定義區(qū)間位置關(guān)系，分式型可以利用基本不等式，復(fù)雜或復(fù)合型可以利用導(dǎo)數(shù)，先研究單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定值域.此時(shí)一定要注意自變量的取值范圍，若自變量是已知曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，則注意曲線的范圍；若是關(guān)于動(dòng)直線或曲線相交的參變問(wèn)題，則注意判別式大于或等于0；若是已知參數(shù)，則注意相關(guān)約束條件.

第二類是建立目標(biāo)問(wèn)題的不等式，通過(guò)解不等式求解.該不等式來(lái)源于已知不等式關(guān)系(參數(shù)的范圍、給定的不等式)、隱含的不等式(圓錐曲線的幾何性質(zhì))、判別式等.

(1)若三角形ABF2可以是邊長(zhǎng)為4的正三角形，求此時(shí)Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若存在直線l，使得AF2⊥BF2，求Γ離心率的取值范圍.

圓錐曲線內(nèi)容較多，應(yīng)用靈活多變，引起失誤之處除上述常見五種情況外，還有如審題不嚴(yán)、概念混淆、計(jì)算出錯(cuò)、忽視隱含信息、忽視軌跡與方程的等價(jià)性、忽視參數(shù)的分類討論、消參時(shí)忽視參數(shù)的制約條件等.限于篇幅，這里不再一一舉例.

綜上剖析，雖然有的失誤影響較小，但大多失誤卻是“千里之堤，毀于蟻穴”，因此針對(duì)錯(cuò)誤希望做到，有則改之無(wú)則加勉.只有在復(fù)習(xí)備考中有目的地強(qiáng)化圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、直線方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)的理解，掌握解決相關(guān)問(wèn)題的思想、方法，形成良好的思維品質(zhì)和解題習(xí)慣，才能盡量避免誤入“雷區(qū)”！