解題中的遺漏現象導致錯解透析

楚衛華

【摘要】文章從初中數學學科四個主要課程領域出發，分析各領域學生解題中容易發生的遺漏現象.對忽略特殊值導致遺漏、忽略隱含條件導致遺漏、基本概念理解不到位產生思維遺漏以及情況分析不周全導致遺漏等情況通過典型的錯解題目進行糾正和分析，希望通過錯題剖析，幫助學生在數學學習中養成思維訓練的自覺，減少解題錯誤，提升數學學科的學習能力.

【關鍵詞】初中數學;遺漏現象;錯解透析

進入初中，數學學科的難度有了很大的提高，解題過程中會出現各種遺漏導致解題錯誤的現象.這些遺漏可能是解題中的疏忽、概念理解不到位、遺漏已知條件、隱含條件被忽視、情況分析討論不周全等造成.

初中數學由四個主要課程領域，分別是數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐，在訓練學生運算能力、分析能力的基礎上，關注培養學生對數的感覺、對符號的理解、建立空間和幾何的直觀概念以及數據分析和模型思想.每個數學領域都有因思考遺漏引起的典型錯誤，數與代數容易出現忽視特殊情況;圖形與幾何中的隱含條件經常被忽略;統計與概率有基本概念不清晰造成的錯誤;綜合與實踐常常出現情況分析不周全的疏漏.本文針對一些常見的遺漏錯解，以典型題目為例進行深入剖析，幫助學生理清思路，總結方法，提升初中數據學科的解題和思維能力.

1 忽略特殊值而導致的遺漏

初中學生進入代數學習后，經常對表示數的字母在題目中的特殊性考慮不充分.

例如 關于x的方程2kx2+（8k+1）x=-8k有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是多少？

錯解 因為方程有兩個不相等實數根，所以方程判別式Δ>0;

方程整理得 2kx2+（8k+1）x+8k=0;

Δ=（8k+1）2-4×2k×8k =16k+1>0;

解得 k>-116;

糾正 因為k為一元二次方程二次項的系數，所以 k≠0;

解得 k>-116且k≠0.

分析 學生的解題思路總體來講是正確的，題目是利用一元二次方程的判別式的性質解題，學生清楚地抓住了判斷式的性質，大于零兩個不等實根，等于零兩個相等實根，小于零沒有實根.但學生忽略了系數k的特殊性.我們知道利用一元二次方程判別式解題的前提是要保證方程是一元二次方程，k正好是二次項的系數，要保證解題的先決條件，必須使k不為零.

導致這種現象發生可能是學生粗心，因為只要提到題目中字母的特殊性他們就會恍然大悟，但歸根結底還是學生對關鍵知識點沒有主動思考，思維不周全造成.

2 題目的隱含條件被忽略

在圖形與幾何學習中，圖形中隱含的條件和性質容易被學生忽略.

例如 P是圓C內一點，圓C的半徑為15，P點到圓心C的距離為9，求通過P點，長度是整數的弦的條數是幾條？

錯解 因為過P點最長弦長為直徑長30，最短弦長是與過P點的半徑垂直弦的長，其長度利用三角形勾股定理計算可得24;

24與30之間共有整數6個，分別是24、25、26、27、28、29、30;

所以 過P點長度是整數的弦的條數是6條.

糾正 根據圓的對稱性可知，長度為整數的弦共有6×2=12條.

分析 學生能認識到過P點的最長弦長為直徑，最短弦長與過P點的半徑（或直徑）相垂直，說明對弦長的理解是清楚的;但是卻忽略了圓的中心對稱特性，以過P的直徑為分界，過P點的弦可以分別向圓的左右兩側半圓延伸，因此題目要求的數值為整數的弦的數量應該為12.

在初中數學的各課程領域，此類隱含條件遺漏的情況時有發生，而圖形與幾何中尤其容易出現此類忽略圖形隱含條件或性質的錯誤.例如涉及圓的題目忽略圓的對稱性，三角形中容易忽略隱含的邊地平行、垂直、相等之類的特征，角的相等、互余、互補的隱含特性也容易被忽略.導致這類錯誤的原因在于思維過于集中在題目顯性條件上，沒有關注題目中的隱含條件和前提.要避免這類遺漏需要學生在日常的練習中主動思考，訓練自己見一想三的能力，強化分析題目隱含條件和性質的思維自覺.

3 基本概念不清晰造成的思維遺漏

基本概念不清晰、基本定義模糊，造成思維遺漏，產生解題錯誤是初中學生比較容易犯的錯誤.概率與統計是初中數學課程領域的重要分支，概率與統計的學習尤其需要理解基本概念，基本概念不清楚，則比較容易出現解題遺漏.

例如 一項“過關游戲”規定：在第n關要擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現的點數之和大于3n4，則算過關，否則不算過關，現有下列說法：

1）過第一關是必然事件;

2）過第二關的概率是3536;

3）可以過第四關;

4）過第五關的概率大于零.

問：其中正確說法的個數為幾個？

錯解1）第一關要求擲一次點數大于34，骰子的最小點數為1，所以是必然事件;

2）第二關要求擲兩次，點數和大于94，兩次骰子點數組合，只有（1，1）配對的情況不符合要求，所以36種組合中有35種情況都過關，因此概率是3536;

3）第四關要求擲四次，點數和大于814，四次骰子點數組合，大于等于21點都是符合要求的，例如（6，6，6，6），所以第四關總是可以過關的;

4）概率是一個非負數，一般來講概率是一個不大于1的真分數，即使非常小，也可能發生，所以過第五關的概率大于零.

綜上所述：題目中正確說法的個數為4個.

糾正 第五關要求擲五次，點數和大于2434，五次骰子點數組合，大于等于81點都是符合要求的，但骰子最大點數為6，五次點數和不會超過30，因此過第五關的概率為0.

因此，題目中正確說法的個數為3個，分別是1）、2）、3）項.

分析 概率是某事件發生的所有可能組合與所有可能組合之比.所有可能組合是全集，某事件發生的所有可能組合是子集，這個子集也可能是空集，這是初中學生比較難理解的概念.概率是通過計算得到的，首先要把事件進行清楚的定義，搞清楚全部組合中哪一部分是事件能產生的組合.本題的關鍵就是要逐一定義事件，抓住要從全集中獲取的子集的特征，如果想當然認為概率即使非常小也總會發生，憑感覺或常識去解決概率的問題，通常容易犯錯誤.

4 情況分析不周全造成的遺漏

初中數學中，由于絕對值、方根等概念的引入，題目中常常會出現多種情況，需要進行討論，一旦情況分析不周全就會造成遺漏，引起解題錯誤.

例如 求方程|x2-1|=（4-23）（x+2）的解.

錯解 原方程化為： x2 -（4-23）x+43-9=0;

解得 x1=4-33，x2=3.

糾正 1）當x2≥1時，絕對值大于0，原方程化為x2 -（4-23）x+43-9=0;

解得 x1=4-33，x2=3;

因為x2≥1，x≤-1或x≥1，所以x1、x2均滿足要求;

2）當x2<1時，絕對值小于0，原方程化為x2 +（4-23）x+7-43=0，

解得 x3=x4=3-2;

因為x2<1，-1

分析 學生在解絕對值方程時，沒有對絕對值進行討論而直接打開絕對值符號，這是剛接觸絕對值計算時常見的錯誤.分情況討論是初中數學中不可避免要遇到的解題形式，絕對值討論只是其中最簡單的部分，在綜合與實踐課程領域，分情況討論更是非常多見，如函數組合中的交點、距離、路程都可能在不同方向、不同軌跡中存在多個解.學生在學習中要從絕對值應用開始，要克服多情況討論的困難，強化自己的思維廣度和深度，為綜合與實踐課程打下堅實的基礎.

參考文獻：

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