經歷知識生成 培養數學抽象

李鑫華 段賽花

【摘 要】 隨著新課程改革的持續推進，核心素養逐步成為當前教育教學的重心內容，教師在課堂教學中不僅要維護學生的主體地位，更要促進學生各項素養的同步發展，以具備當前素質教育要求的品格與能力.本文針對高中數學教學展開研究，探析在“雙曲線的標準方程”課程教學中培育學生數學抽象思維的教學思路與方案設計，并通過教學反思提出教學過程中的優勢與不足，進一步提升教師的教學水平.

【關鍵詞】 數學抽象;教學設計;雙曲線

《課程標準（2017 年版）》明確將數學定義為“研究空間形式和數量關系的科學”，數學抽象的對象是圖形、數量及其關系，從現實世界的事物中總結出數學的規律、結構、概念、本質，并用數學語言對之表述，它是一種數學思維過程，也是一種非常重要的數學核心素養.課程標準明確了數學抽象的表現形式，即獲得數學概念及規則，提出數學命題與模型，形成數學思想和方法，認識數學結構和體系.本文以“雙曲線的標準方程”教學設計為例，提出相應路徑，以期促進學生數學抽象素養的提升.

1 學情分析

“雙曲線的標準方程”一課面向高二學生，從方法掌握方面分析，學生已經具備了高中階段數學學習的基本能力，掌握了其中的規律要點，具有一定的空間想象、抽象概括以及推理運算等數學素養，但是學生在數學抽象方面的思維能力還略顯淺薄，需要進一步引導與訓練.

2 教材分析

“雙曲線的標準方程”在蘇教版高中數學選修2-1的第二章第三節，在此課前學生學習了橢圓相關的基礎知識，而雙曲線是學生學習的另一種圓錐曲線，基于學生對圓、橢圓等相關知識的了解，通過能力與理解遷移，可以幫助學生更輕松地掌握該課知識，獲得數學抽象能力的進一步提升.

3 教學目標

本課的教學目標在于引導學生掌握并理解雙曲線的定義、標準方程等內容，并能夠熟練運用推導標準方程的方法，具有一定的數學審美能力.

4 教學過程

4.1 通過創設情景，獲得數學概念

情境1 （利用多媒體播放圖片）花瓶、北京摩天大樓、巴西利亞大教堂、法拉利主題公園.引導學生欣賞圖片，并提出問題：這些圖案中我們可以發現哪些幾何圖形呢？

學生：雙曲線.

情境2 （利用多媒體展示PPT）已知某地有A、B、C三個監測站，A在B的正東方向，之間相距10km，而C在B的北偏西30°方向，之間距離為6km，而M為敵人堡壘，在某個時刻A收到了敵方的信號，6s后B和C兩地同時收到該信號，假設該信號的傳播速度為每秒一公里，那么請嘗試確定敵方碉堡的位置.

針對上述情境問題，學生采取畫圖的方式嘗試解決問題，假設AB在直線軸x上，取AB中點為原點設立坐標系，教師引導學生探尋M點位置的規律，并由教師引導提出當|MB-MA|為固定值時，M會形成怎樣的曲線軌跡？利用幾何畫板演示其軌跡.

設計意圖 高中生雖然處于邏輯思維發展迅速的階段，但形象思維仍發揮著重要的作用，從具體形象的場景入手，有利于激發學生數學學習的興趣和求知的動機.利用其他學科的資源設計數學問題，引導學生從大量的具體實例中抽取出一般的、概括性的知識，并讓學生嘗試用自己的語言去總結歸納共性的本質知識.學生通過親自操作獲得概念的過程，也是提高學生數學抽象素養的過程.

本環節通過兩個情境完成教學導入過程，情境一利用含有雙曲線的圖片引導學生從生活中的美學設計中發現數學，進而引入本課課程;情境二則利用虛擬的情境，啟發學生運用畫圖的方式將抽象的問題形象化，不僅為探究雙曲線的標準方程奠定了基礎，而且對學生的數學抽象素養有一定的培育作用.

4.2 應用建構理論，內化數學結構

活動1 （折紙）首先，準備一張A4紙，在上面確定兩點分別為F1和F2，將F1作為圓心，以小于兩點之間的距離為半徑作一個圓，在圓上任意確定一點為P，通過折疊的方式，選擇一個點P1和F2重合，并將折痕繪出，確定為l1（如圖1）;

找到F1P1半徑所在直線并再次進行折疊，該折痕與l1相交確定點M1.而后隨機確定點P2，P3，P4，P5，P6……并重復上述操作過程，由此便發現折痕逐步形成了兩條對稱的曲線（如圖2）.

由此引出雙曲線概念，并要求學生思考得到雙曲線的條件.

學生 ①在同一個平面內②存在一個動態的點③該動態變化的點距離兩個固定點之間距離差的絕對值固定不變.

教師 根據上述條件，你能準確得出一個雙曲線圖像嗎？

教師與學生共同展開研究，分別提出假設1|PF1-PF2|=F1F2和假設2|PF1-PF2|>F1F2，要求學生再次嘗試，并發現假設1形成兩條射線，假設2無法構成圖形.由此得出完整的雙曲線定義.

設計意圖 本環節采取折紙游戲的方式展開活動，引導學生確定了雙曲線這一抽象概念的具體形態與基本構成條件，并由此得出完整的定義.在該過程中，學生不僅具有濃厚的探索興趣，而且還能將抽象的定義形象化，可以有效深化學生對數學抽象的理解.

活動2 （探究）

教師提問 根據上述所學內容不難發現，雙曲線與橢圓之間具有一定的相似關系，你們可以結合橢圓標準方程的推導過程，提出雙曲線標準方程的推導步驟嗎？

學生 ①構建坐標系，F1F2為x軸上兩點，且F1F2被y軸垂直平分.

②設點M（x，y）為雙曲線上任意一點.

③根據等量關系列式：|MF1-MF2|=2a.

④代入等式：

（x+y）2+y2-（x-y）2+y2=2a（*）.

⑤化簡.

化簡過程相對較難，采取小組合作的方式.小組1通過等式兩邊分別做平方后進行化簡;小組2則選擇去掉絕對值符號，先轉化為±2a，在化簡過程中再選擇等號兩端平方處理.

設計意圖 本環節采取思維遷移的方式展開，以橢圓方程的推導過程遷移到雙曲線之上，并在遇到困難時引導學生展開合作，不僅提升了學生解決問題的能力，而且促進了思維的轉化與推導能力.

4.3 構建數學模型，嘗試模型應用

問題1 已知方程（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2），如何進一步化簡？

學生 結合橢圓、雙曲線定義可知：

2c>2a>0，

即：c>a>0，

所以：c2-a2>0，

設：c2-a2=b2（b>0），

代入后可得：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.

設計意圖 數學公式講究簡潔與對稱，在推導標準方程的過程中，學生得出的結果相對復雜，這時就需要挖掘新的潛藏條件，進而實現公式的優化，這對學生的邏輯推理以及數據分析能力有著重要的輔助效果.

問題2 判斷下列雙曲線的焦點坐標，并計算其中的a，b，c值.

（1）x225-y216=1. （2）y225-x216=1.

（3）4x2-9y2=36. （4）4x2-9y2=-36.

學生 將方程化簡為標準方程形式，進而得出所求內容.

問題3 如何根據雙曲線方程判斷焦點所在軸？

學生 同樣將方程化為標準形式，系數為正的變量對應坐標軸為焦點所在軸.

設計意圖 問題二主要考察學生對雙曲線標準方程要素的掌握能力，問題三考察學生對標準方程與圖形之間對應的特征關系，可以強化學生的數形結合思想，提升數學抽象思維.

4.4 基于深度學習，感悟數學思想

思考題 通過這節課你學會了什么？仔細說說你的收獲.

設計意圖 利用開放性的總結環節，引導不同層次的學生依次回答，由基礎層學生開始，從雙曲線的概念與定義、標準方程推導方式，逐步深化細化到優秀學生層次，提出方程化簡的技巧、類比、數形結合等各種思想與要素，通過這樣的過程，完善學生核心素養的綜合發展.

5 教學反思

根據本課的教學設計過程，總結了三點教學經驗：第一，要精心設計問題.在該課程教學的設計中，問題是每一個環節之間相互聯系的關鍵要素，通過問題層層推進，不僅強化了學生的思維能力，而且從開始的觀察、比較，到后來的發現問題、提出質疑，以及最后的分析并解決問題，學生的思維能力得到了快速成長，而且針對雙曲線這一抽象概念的理解不斷深化，這就是問題引導下的教學成果;第二，要促進學生的自主形成.在本課教學設計中，雙曲線標準方程的推導過程主要由學生獨立完成，既沒有讓教師給出答案，也沒有過分限制學生的推導方式，僅僅通過問題引導與啟發，幫助學生搭建起思維的骨架，進而通過“經歷、發現、解答”的過程完成學習任務，實現數學抽象思維的升華;第三，要巧妙滲透數學思想.這是學生數學能力與素養表現的關鍵要素，在問題設計的過程中，需要融入遷移、對比、推理、數形結合等各種思想的運用環境，幫助學生面對抽象問題時找到關鍵要素，并得以有效解決.

對于數學抽象的培養，首先可以通過創設情景，獲得數學概念.將數學知識與現實生活建立了關聯，這種生動形象的情境創設，容易激發學生學習興趣，使他們更自主地建立新舊知識之間的聯系，喚起認知結構中原有相關的知識經驗，或改變原有認知結構，以同化或順應當前新知識，完成對事物本質屬性即概念的清晰牢固的認知與構建.其次可以應用建構理論，內化數學結構.

教師要以學生為中心，采用“問題解決”的教學模式，具體程序為：①提出問題.引導學生自己去發現問題，進而提出有障礙性和探索性的問題.②分析問題.采用小組合作學習的方式，引導學生討論交流，開展自主性探究活動.③解決問題.教師引導學生實地解決問題.最后是認知升華階段.教師引導學生對問題解決的全過程進行總結分析提煉，形成新的認知結構.再者可以構建數學模型，嘗試模型應用.在數學建模與應用的過程中，學生的數學抽象的能力不斷得到提升.最后基于深度學習，感悟數學思想.

綜上所述，在本課的教學設計中，以雙曲線標準方程的形成過程為核心，引導學生在推導過程中不斷深化數學思想，并真正具備數學抽象素養，能夠在潛移默化中建立數學眼光與抽象認知，達到高效教學的目的.

參考文獻：

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