大學解析幾何教學中的幾點體會

向明啟 趙迪

【摘要】本文主要基于作者在教授大學解析幾何課程中的一些心得體會，對當前大學解析幾何課程教學所遇到的問題及思政教育如何融入課程等展開討論，旨在提出提高學生學習積極性的有效方法.文章首先分析了當前大學解析幾何課程所面臨的問題，然后從課程思政、教學內容、工程應用等幾個方面給出了提高學生學習積極性的方法.

【關鍵詞】解析幾何;課程思政;教學改革

一、引 言

解析幾何是數學系三門基礎課程之一，開設該課程的初衷主要是幫助學生從高中數學到大學數學有個良好的過渡，進一步提高學生的空間想象力、作圖能力、辯證思維能力，以及為一些課程（如高等代數等）提供幾何直觀實例.從作者幾年的教學經驗來看，目前解析幾何這門課的教學時間安排、主要教學內容以及與后續課程的聯系等都存在諸多問題.

二、解析幾何教學過程中存在的問題

（一）內容復雜，教學難度大

大學解析幾何相對于中學幾何來說是其知識的一個延伸與擴展.中學時期的幾何知識相對來說比較淺顯，各種方程以及圖形的變化是比較直觀的，學生較容易理解和接受，在學習過程中，解決問題所使用的曲面方程和線性方程也都有固定的公式.而大學幾何知識的學習更加側重于邏輯思維能力與空間想象力，其內容是較復雜的，有些內容是穿插重復出現的，并且無法進行篩選，進而加大了教學難度.

（二）學生缺乏學習興趣，主動學習意識不強

學好一門課程最重要的就是要有興趣.而如今，不僅僅是中小學，大學的課堂教學也大多采用“灌輸式”的教學模式，忽視了以學生為主體的教學理念，以致學生只能被動接受知識，通過機械化地背題、刷題來獲取高分，把學習數學中最重要的數學思想給忽略了.在繁重的學習任務中，學生體會不到探索未知領域的神秘和成就感，進而磨盡了好奇心和探索興趣.對前期基礎知識理解與掌握不好的學生較容易在后續課程的學習中失去學習動力，學習的積極性更加不足.

（三）幾何抽象，難以理解

不同于中學幾何知識的淺顯明了，大學解析幾何更加抽象，需要學生有一定的知識儲備，有較強的邏輯思維能力和空間想象力.又由于受傳統的教學模式及教學設備制約，教師在教學過程中未能給予學生充分的空間聯想和想象思維方面的指導，使得學生無法構建清晰的抽象思維，也難以構建解析幾何的空間架構.

（四）教學時間安排不合理

解析幾何這門課很多院校都放在大一第一學期開設，此時學生并沒有接觸過多元微分學，如偏導數、切平面等，以及矩陣、行列式、線性方程組解的理論等，因此，教師對解析幾何中的很多內容無法深入地去講解，矩陣這一非常有用的工具也無法使用.另外，這門課中的一些主要內容需要適當刪減，比如二次曲面的分類與化簡，顯然這部分只是高等代數中二次型的簡單例子.因此，作者認為解析幾何作為一門單獨的課程，內容過于單一，可以嘗試把解析幾何與高等代數融為一體，或者在高等代數課講完矩陣行列式之后再開設解析幾何這門課.

（五）學生對解析幾何應用背景的了解不夠

學生對解析幾何應用背景的了解不夠，導致其學習積極性不高.實際上，解析幾何在建筑、食品等方面都有較多應用.教師可以充分挖掘這方面的素材，讓學生了解解析幾何應用的廣泛性.

鑒于上述問題，作者認為解析幾何課程應該主要側重培養大學生的空間想象能力，并讓學生了解解析幾何的基本思想及實際應用.

三、新形勢下解析幾何課程的教學舉措

（一） 課程融入思政教育

按照中共中央和國務院頒布的《關于進一步加強和改進大學生思想政治教育的意見》文件精神，教師要恰當地、靈活地把思政教育融入專業課程的教學之中.教師要根據所教課程的特點，自然地將思政教育融于教學之中，這樣才能更好地達到教書育人的目的，才能為我國社會主義事業培養合格的接班人.因此，在大學解析幾何教學中，教師要有意識地把思政教育工作滲透到自己日常的教學中去，不斷提高學生的思想政治水平，為社會主義事業培養合格的接班人.解析幾何課程的教師要充分挖掘思政元素，可從數學建模、解析幾何發展史、數學家（如費馬、笛卡爾等）的故事、辯證唯物主義哲學思想、解析幾何在工程中的實際應用等方面入手.

比如，教師可向學生介紹中國古代數學家劉徽的“割圓術”、“東方第一幾何學家”蘇步青、“微分幾何之父”陳省身等，以加強對學生進行愛國主義教育，并激發其學習興趣.又如，正負陰陽對立，四象八卦輪回，其在幾何圖形上都有體現，也都體現了辯證的思想.中國傳統文化對西方近代科學的創立有重大作用，教師加強對學生的思政教育，可增強學生的文化自信、民族自尊心和自豪感.

（二） 優化教學內容

首先，教師可在教學時補充線性方程組內容、減少向量代數中向量基本概念等的講解.其次，對教學內容的講解要注重幾何直觀性.比如，課程第一章中對很多有關向量方面的初等結果的證明非常煩瑣，對于這部分內容，教師應盡量借助幾何圖形去直觀說明.最后，對內容講解的順序進行調整.譬如，可以先講解平面曲線理論，或在第一堂解析幾何課讓學生了解解析幾何的發展歷史、關鍵人物、發展現狀及與后續課程的關系等.

例1 解析幾何發展歷史.

學習一門課程首先要搞清楚這門課程的發展背景、應用及其與后續課程的聯系.圖1基本概括了解析幾何的發展歷史.

（三）利用數學軟件作圖

利用數學軟件Matlab作圖能有效地幫助學生形成良好的空間想象能力，特別是空間曲面的圖像，如單葉雙曲面、馬鞍面圖形的形成原理等，教師可以在課上用PPT動態演示給學生看，以增強學生的直觀感受.

例2 用Matlab作出單葉雙曲面x2+y24-z29=1的圖形.

首先給出其參數方程

x=sec ucos v，

y=2sec usin v，

z=3tan u，

然后利用Matlab中的ezmesh函數給出其圖形.

特別地，Matlab還可以畫出平面截單葉雙曲面及旋轉單葉雙曲面生成的圖形，這有助于學生理解數形結合、動靜結合的思想，同時，加深學生對截痕法的理解.

課后教師可留一些練習，讓學生用Matlab作圖，以提升學生的空間想象能力、實踐能力及學習的積極性.

（四）介紹解析幾何的應用

無論是信息與計算科學專業或統計學專業的學生，還是飛行器動力工程、空中交通管理、計算機科學與技術等專業的學生，經常會問一句話：“我們學習解析幾何有哪些應用？”針對自己所授課班級的專業特點，如果任課老師能或簡單或深入地提及相關應用，對學生來說則既開闊了視野，也知道了學往何處用.這對提升學生和任課教師的工程應用能力有很大的幫助，也符合學校對人才培養的要求.

教師向學生介紹解析幾何在工程技術中的應用，如漸開線齒輪的齒廓曲線、火力發電站的供水塔、廣州電視塔、測繪學中的等高線地形圖等，可激發學生的學習積極性，提高其創新思維能力.同時，教師向學生介紹生活中的實際物體有助于優化課堂氛圍，如“鳥巢”頂層采用馬鞍形層蓋設計自然美觀，且馬鞍面是直紋面，其抗剪能力強，馬鞍型薯片的構造也是基于此.

例3 馬鞍形薯片.

在講雙曲拋物面之前，為了吸引學生的注意力，活躍課堂氣氛，教師可以講有關薯片的問題，在講解完雙曲拋物面方程及圖形特征之后，與馬鞍形薯片、與馬鞍面的圖形進行對比.

圖3分別為馬鞍形薯片與馬鞍面x2a2-y2b2=±2z.

例4 解析幾何在曲面造型技術中的應用.

近些年，由于計算機圖形學和計算機輔助設計的不斷發展，曲面造型技術已被航空航天、媒體、醫療服務及工業化產品設計等領域廣泛采用.曲面造型是作圖軟件CAD的重要組成部分和研究內容.曲面造型的研究目標主要是計算機系統中曲面的設計、分析及顯示等.曲面造型技術的靈感常來源于船舶、飛機等物體的外形工藝.在20世紀60年代，Coons，Bezier等人為其奠定了理論基礎.近些年，曲面造型理論及其應用是計算機圖形學和輔助幾何設計領域研究的熱點與前沿問題.對物體進行計算機模擬或分析比對實際物體進行測量或處理要容易得多.曲線曲面造型技術是計算機圖形學、模擬仿真等領域的基礎.空間中立體的幾何表示幾乎都要用到相關的曲面造型技術，如飛機、船舶等的外觀設計，動力性質分析，實物模擬仿真，CT圖像重構等，因此，曲面造型理論與技術的發展對相關應用領域的研究是至關重要的.

曲面造型技術主要研究曲面表示、求交、拼接，以及曲面的變形、簡化、轉換等.特別地，曲面表示作為計算機圖形學的重要研究內容，是曲面造型的理論基礎和核心問題，也是大學解析幾何課程的重要研究內容.

大學解析幾何課程中的曲面理論主要研究二次曲面的一般方程、參數方程及化簡等，特別是對曲面幾何不變量的研究，是曲面理論研究的重要內容之一.曲面方程的顯示表示式是z=f（x，y），曲面方程還可以用隱式方程來表示，即F（x，y，z）=0.當函數F是多項式時，該隱式曲面方程也稱為代數方程.隱式方程的優點在于：容易判斷函數F（x，y，z）與零的關系，即易于判斷點是落在所表示曲面上還是曲面的內側或外側.曲面隱式方程具有幾何運算下的封閉性，特別是隱式曲面方程之間求交、等距操作等幾何運算的結果均可表示成隱式形式，這對曲面造型系統的統一設計提供了極大的方便.隱式曲面方程有更多的自由度可以用于曲面控制，同時在構造復雜曲面時可以得到更高的光滑性，也可以得到更多的形狀控制方法.

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