Laplace變換在第一類高振蕩 Volterra方程求解中的應用

嚴睿琪，李 斌，王 佩，陳松良

(貴州師范學院數學與大數據學院，貴州 貴陽 550018)

0 引言

卷積形式的積分方程在物理和工程等領域有許多的應用，如在散射問題中合成積分方程是卷積型的[1]。在物理學、工程學等眾多領域的積分方程中常含有雙曲函數[2]。在這篇文章里，我們主要研究帶貝塞爾高振蕩核函數和雙曲函數的第一類Volterra積分方程

(1.1)

的解，這里f(x)為光滑的函數，f(0)=0，y(x)為未知函數，Jv(wx)為第一類貝塞爾函數，v>-1，w，r為振動參數。

最近關于Volterra積分方程的求解問題的文獻較多[3-4]，但對于方程(1.1)而言，最顯著的特點就是含有高振蕩性，當w，r?1時，核函數將變得高振蕩，標準的配置方法和不連續的Galerkin方法無法有效的計算，因為與空間網格相關的長度尺度過小，導致得到的是一個大規模的病態線性系統[5]。而Laplace變換法是計算第一類Volterra積分方程的有效方法，特別是對卷積形式的積分方程有效。2007年，Rahman[6]比較系統的介紹了通過Laplace變換計算各類Volterra積分方程的方法；2014年，向[3]使用Laplace變換和Laplace逆變換來求解帶高振蕩貝塞爾核函數的沃爾特拉積分方程

(1.2)

這里w?1，v為非負整數，f(x)為光滑的函數。大多數情況下，這類方程的解不能以封閉形式解析求解，只能寫成高振蕩積分解的形式。2018年， Uddin M[7]通過Laplace變換的應用，將積分方程(1.2)轉化為代數方程，然后利用Laplace逆變換的方法，將解表示為沿延伸到復平面左半部分的光滑曲線的積分，再求積分。2019年，李[8]等考慮來自電磁與聲散射問題，例如平面波是空間時諧波，通過Laplace變換來求解兩端帶高振蕩核函數的第一類Volterra積分方程