一道導數壓軸題的多視角探究

包軍先

(山東省煙臺第三中學，264000)

2021年新高考I卷第22題是一道導數壓軸題,屬于極值點偏移問題,主要考查運用導數研究函數的單調性,以導數為工具構造函數對不等式進行證明.考題的第(1)問是基礎題,考生一般沒有困難;第(2)問不等式證明是壓軸題,對考生基本技能要求高,求解過程中轉化難度較大、靈活性強.如果方法選擇不當,答題時容易出現花費時間多、化簡轉化不到位、甚至無法完成解答.本文主要對第(2)問從不同視角給出幾種常見的解法.

試題呈現已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性;

解(1)函數f(x)在(0,1)單調增,在(1,+∞)單調減.(過程略)

當x>1時,令f(x)>0,可得1

先證x1+x2>2,即證x2>2-x1.由于2-x1>1,x2>1,且f(x)在(1,+∞)單調減,只需證明f(x2)

再證x1+x2

視角1構造差值函數證明

證法1要證x1+x2f(e-x1).又f(x1)=f(x2),即證f(x1)>f(e-x1).

所以x1∈(0,1)時,φ(x1)>0成立,即f(x1)>f(e-x1),亦即x1+x2

評注本解法的基本特點就是將待證不等式進行變形,使不等式兩邊變量落在同一個單調區間內,進而構造函數并通過函數值的大小關系比較出變量的大小關系.

視角2借助經典不等式放縮證明

證法2同證法1的分析,即證f(x1)>f(e-x1),其中x1∈(0,1).

于是φ(x)>x(1-lnx)-x=-xlnx>0.

評注本解法通過切線不等式ln(x+1)≤x對問題進行放縮簡化的證明過程,解題效率較高.

視角3用放縮法化雙變量為單變量

證法3由x1∈(0,1),x2∈(1,e),f(x1)=f(x2),可知x2(1-lnx2)=x1(1-lnx1)>x1.要證明x1+x2

令φ(x)=x(1-lnx)+x,x∈(1,e),則φ′(x)=-lnx+1>0,φ(x)在(1,e)單調增,可得φ(x)<φ(e)=e.

評注化雙變量不等式為單變量不等式是證明雙變量不等式的永恒主題,放縮法也是一種減少變量的有效途徑.

視角4比值替換法減元構造函數

證法4要證明x1+x21,且只需證明(1+t)x1

評注通過作比值(或作差)構造出新的主元建立函數關系,也是解決雙變量不等式證……