一道雙根式和的最值問題與變式拓展

杜海洋

(四川省成都經濟技術開發區實驗中學校，610100)

一、問題及解答

問題已知a,b,c為正實數，求

的最小值.

這是數學通訊2021年第8期上半月征解問題506,是一道雙根式和的最值問題.筆者經過深入探究,給出其解法和變式拓展,供大家學習交流.

解法2由條件及柯西不等式和基本不等式,可得

等號當且僅當c=2b=4a時成立，故M的最小值為8.

二、變式拓展

變式1已知a,b,c為正實數,求

的最小值.

解由條件及基本不等式,可得

變式2已知a,b,c為正實數,求

的最小值.

解由條件及基本不等式,可得

變式3已知a,b,c為正實數,求

的最小值.

解由條件結合基本不等式,可得

≥5,

等號當且僅當b2=ac,a=4c時成立.故M的最小值為5.

變式4已知a,b,c為正實數,求

的最小值.

解由條件及柯西不等式和基本不等式,同原問題解法2可得

三、 推廣

推廣1已知a,b,c為正實數,則

推廣2已知a,b,c為正實數,則

以上兩個推廣，有興趣的讀者可自行完成.