均值代換法在解題中的幾類應用

劉家新

(湖南省常德市澧縣第一中學，415599)

一、求代數式的值

例1已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,a3+b3+c3=0,求a5+b5+c5的值.

若c=0，則a=-b,此時有a5+b5+c5=0.

綜上，a5+b5+c5的值為0.

評注本題中有三個變量兩個等式,看似無法求解.此時我們轉換觀察問題的角度,視c為常數,運用均值代換法進行求解,方法新穎,過程簡潔,令人耳目一新.

二、解方程

例2解方程

評注本題是一道無理方程,若直接求解,過程相當冗繁.而應用均值代換法將無理方程轉化為整式方程,能使問題得以順利解決.

三、證明不等式

評注本題首先進行均值代換，并利用已知條件得到新元t的取值范圍,然后對目標式左邊變形、轉化,并求得取值范圍,從而使不等式獲證.

四、求最值

評注本題利用均值代換法結合二元均值不等式求解,解法別具一格,充分體現了均值代換法的應用價值.

評注本題根據已知等式進行均值換元,代入目標式得到關于新元t的式子,再進行“1”的代換,運用配湊、變形,最后利用基本不等式求解.