錯將必要當充要

石禮標

(江蘇省淮安市清河中學,223001)

(A)[-40,-25] (B) [-40,0]

(C) [-25,25] (D) [-25,0]

如果作為解答題,那此題又應該如何求解呢?

視角1通過函數的單調性研究數列的單調性

當m(1)≤0,即a≥-9時,m(x)在(1,+∞)必有一根x0,易知f(x)在(1,x0)單調減,在(x0,+∞)單調增,此時由a5是數列{an}的最小項,得a5≤a4,a5≤a6,a≥-9同時成立,解得-9≤a≤0.

綜上,a的取值范圍為[-25,0].故選D.

視角2利用必要條件解題

綜上,選D.

評注解法2是利用必要條件得到-40≤a≤0后,在此基礎上易得an在[5,+∞)單遞增；再由a5前面只有有限的4項,只要逐一驗證a5分別小于或等于前面4項即可.這種利用必要條件縮小a的范圍后再求解,明顯比解法1簡單許多.

視角3轉化為不等式恒成立問題

當n=5時,上式顯然成立.

當n∈N*且1≤n≤4時,a必須滿足a≥5n(n-6).而此時g(n)=5n(n-6)的最大值為-25(n=1時取得),所以a≥-25.

當n∈N*且n≥6時,a必須滿足a≤5n(n-6).又此時g(n)=5n(n-6)的最小值為0(n=6時取得),所以a≤0.

綜上,可得a∈[-25,0].故選D.

評注該解法將a5最小直接轉化為an≥a5對n∈N*恒成立,用分離參數的方法轉化為求相應函數在一定范圍的最值問題,易理解且運算量也不大,這才是解決這類問題的最好方法!