例談數量積性質在競賽題中的應用

吳侃男

(浙江省金華市浦江縣中山中學，322200)

數量積及其性質是平面向量的重點內容,在數學的許多方面應用廣泛.

由數量積的定義與向量模的知識,我們不難得到如下的向量不等式:設a,b是非零向量,則a·b≤|a·b|≤|a||b|，當且僅當a,b共線時等號成立.特別地,a·b≤|a||b|,當且僅當a,b同向時等號成立.本文舉例介紹數量積的上述性質在數學競賽題求解中的應用，給人以意想不到的解題效果.

一、比較大小

(A)M>N(B)M

(C)M=N(D)不能確定

故選A.

二、解方程

當x=1時，方程不成立，故x>1.

三、證明不等式

解要證明x-2y≤200,而需證x≤2(y+100).

綜上，得證.

四、求函數的最值

五、求函數的值域

解依題意，可得(x-1)2+(y-2)2=4.

六、處理幾何最值問題

由|a||b|≥a·b,可得

≥(98-15cosθ-20sinθ)2.

所以|b|2=(6-5cosθ)2

綜上，當點Q的坐標為(3，2)時，P，Q兩點間的距離最小.