例談圓錐曲線綜合試題的難點突破

杜銀玲

(江蘇省泰州市姜堰區婁莊中學，225506)

圓錐曲線是高中數學主干模塊,是考查學生化歸轉化、運算求解等能力的主要載體,因此成為高考命題的重要內容,且常以壓軸或把關題的形式出現.學生在解答問題時,由于對解題的思路方法不清楚、轉化的方向不明確,簡化的技巧不熟悉,常使解題事倍功半,甚至半途而廢.本文舉例說明此類問題分析、解答的思維過程,拋磚引玉,引導學生突破這一難點.

一、試題呈現

(1)求橢圓C的方程;

(2)設橢圓C的上、下頂點分別為A,B,過點(0,4)且斜率為k的直線與橢圓C交于M,N兩點．求證:直線BM與AN的交點G在定直線上.

二、要點細析

1.明確求解通法,讓解題輕車熟路

解圓錐曲線綜合題的常用方法主要有線參法、點參法兩種方法,它們的選擇通常是根據題目中的動點類型來判斷.若為“雙動點型”,例如問題的背景是由一條斜率不確定的直線與橢圓相交,即有兩個動點,常用線參法,即設直線斜率寫出直線方程,再將直線與曲線方程聯立,結合判別式、韋達定理求出兩個動點坐標之間的關系.若為“單動點型”,即問題的不確定是由橢圓上的某一點引起的,此時可設出該點坐標,再結合條件建立與該點坐標相關的關系式,并利用點的坐標滿足橢圓方程,進行消元處理.

本題的動點是直線與橢圓相交產生的,屬于雙動點型,因此可采用線參法.

①

2.明確結論與條件的關系,讓解題方向清晰

(i)本題結論是證明直線BM與AN的交點G在定直線上,因……