一類圓錐曲線定點問題的解法探究與拓展

汪紅毅

(廣東省佛山市順德區樂從中學，528315)

一、問題呈現

(1)求曲線C的方程;

(2)設點Q(1,0),直線x=t(t∈R)不經過點P且與C相交于A,B兩點,若直線BQ與C交于另一點D,求證:直線AD過定點(如圖1).

二、解法探究

第(1)問易知答案為x2-3y2=3.

第(2)問的求解條件之一是過定點Q(1,0)的直線QB與雙曲線相交,涉及到聯立方程組的計算和韋達定理的應用;條件之二是涉及到其中一個交點B的對稱點A與另一個交點D的連線問題,弄清楚這三個點的坐標之間的關系,綜合以上條件和分析才能得到正確答案.

步驟1尋找A,B,D三點之間的聯系

步驟2設直線QB的方程,運用韋達定理求解.

解法1(設點斜式方程)

所以直線AD恒過定點(3,0).

解法2(設橫截距式方程)

=3.

所以直線AD恒過定點(3,0).

三、關聯問題

上述問題和如下的2018年全國高考題有很大的關聯.

(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設O為坐標原點,證明∠OMA=∠OMB(如圖2).

分析第(2)問中直線l過焦點,證明∠OMA=∠OMB的方法有很多,由于橢圓的對稱性,其中一個證明方法可以是反過來證明點A關于x軸的對稱點D與點B的連線恒過點M.符合過某一定點的直線與圓錐曲線相交時其中一個交點與另一個交點的連線恒過另外一個定點的特征.

類似的題還有例2所示的2021年廣東省肇慶市檢測題.

例2已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l與拋物線C交于A,B兩點,O是坐標原點.

(1)若直線l過點F且|AB|=8,求直線l的方程;

(2)已知點E(-2,0),若不過點E的直線l不與坐標軸垂直,且∠AEO=∠BEO,證明:直線l過定點.

分析第(2)問中已知∠AEO=∠BEO,可以得到點A關于x軸的對稱點D與E,B三點共線,即直線ED與拋物線相交于B,D兩……