化“隱”為明巧解題

摘要：初中數學中涉及到一類隱藏解題條件的問題，如果學生在求解問題中無法挖掘這些隱藏的解題條件，那么就容易造成錯解問題，加強該類解題中隱含條件挖掘方法的專項教學具有重要教育意義.本文在對初中數學解題中隱含條件的價值進行概述基礎上，結合具體例題，就如何挖掘題目中隱含條件來求解的方法進行重點討論.

關鍵詞：初中數學;隱含條件;解題方法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）17-0059-03

收稿日期：2022-03-15

作者簡介：陳海平（1977.10-），男，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

對數學問題正確求解是初中生在考試中立于不敗之地的一大“利器”，加強學生數學問題解題能力專項培養顯得尤為重要.相較于小學階段的數學問題，初中階段數學學習中遇到的問題在知識綜合性方面的特點更加顯著，尤其是對學生解題中思維的能動性活動具有更高要求，如果無法在解題中進行靈活思考，有效挖掘題干中的隱含條件等有價值信息，那么必然在解題中容易出錯.因此，如何有效培養及發展初中生的數學問題解題能力值得深入探討.1 挖掘初中數學解題中隱含條件

思維在初中生解決數學問題中扮演著非常關鍵的角色，如思維的靈活性、發散性以及嚴謹性等都會直接影響最終解題的效率與準確度.隱含條件主要是指數學問題中那些沒有進行直接表述出來的解題條件，需要經過有效思考活動，借助推理、轉換等來得到.比如，有的隱含條件藏在數學概念或性質中，有的藏在函數值域或定義域中，有的藏在特殊的幾何圖形位置中等等，它們常常成為數學問題求解的突破口及關鍵所在.如果可以順利挖掘數學問題中的隱含條件，那么可以引發學生的認知沖突，并且快速確定自己解題的突破口所在，最終可以快速求解出問題的答案.反之，如果無法通過有效思考活動挖掘出數學問題求解中的隱含條件，這時候就容易因為缺乏必要的解題條件而使得許多學生不知道該如何求解問題，容易造成錯誤解題.因此，為了助力學生數學解題能力發展，就要指導他們在審題中注意挖掘出其中有價值的隱含條件.

2 挖掘策略初中數學解題中隱含條件

2.1 基于數學概念，挖掘隱含條件

隱含條件存在于數學概念當中是數學問題求解中比較常見的一種情況，并且這些隱含條件主要是各種數學概念得以成立或者順利解題的根本條件.在實際的數學解題中可以指導學生認真解讀問題中涉及到的數學概念，并挖掘其中有價值的隱含條件，力求可以降低錯誤.比方說，教師在對解二元一次方程這部分內容進行教學指導時，教師可以把探究解析法應用到教學實踐當中.課程教學開始之前，教師先要把涵蓋不同數學概念知識的習題整理出來，然后制成多媒體課件，方便在課堂當中進行展示.在課堂教學當中，教師把學生分成多個人數相等的學習小組，并把題目隨機分配給各個小組，讓他們根據已有知識分析題目當中包含的隱含條件.在學生踴躍交流討論的過程中，教師要做的就是認真聆聽，記錄下學生在討論過程當中存在的偏差，把這些信息整理成班級統一問題，以便在課堂的中進行深入講解與討論.教師在整個教學指導環節需要始終保持積極的態度，給予學生更多的耐心，給學生留出討論空間，避免過度干涉小組探究內容.學生在組內討論完畢之后，教師可鼓勵學生闡明題目當中涉及到的知識點和隱含條件，展示各個小組問題解答的成果，并進行小組評比.

例1已知x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0存在x1和x2兩個實數根，試求x21+x22的最大值？

解析：在求解本道方程組有關的數學題中，如果學生無法對題干中的隱含條件進行挖掘，那么會給出19這一錯誤的結果，但是這個結果是不正確的.因為方程組有2個實數根，那么可以確定“△≥0”這一隱含條件，故可以借此來明確實數k的相應取值范圍，之后方可在此基礎上進行計算，這樣才能夠正確求解本道題，避免因為隱含條件挖掘不充分而直接造成錯解.

例2已知某一函數y=mx2-6x+2在直角坐標系中的圖像和x軸之間僅有一個公共點，試求m是多少？

解析在學生求解本道函數題目的時候，如果不認真審題，沒有明確函數的概念及性質方面基礎知識，那么就可能會在碰到y=mx2-6x+2的時候片面地將其看成是一元二次函數，因為y=mx2-6x+2中的二次項是包含有參數的，如果m=0，那么這時候函數y就變成了一元一次函數.而如果學生對一元二次函數的概念有深刻認知，那么可以在看到m所處位置的時候做好分類討論分析，最終可以快速求解出正確的答案，即：在m=0的時候，y=-6x+2，其同x軸恰好有一個交點，符合題干的條件;在m≠0的時候，為了保證y和x軸之間恰好形成一個交點，那么就需要保證二次函數圖像頂點和x軸相接，此時在x=--62m=m3的時候代入原式y=mx2-6x+2可得，y=0，求解可得m=9/2，所以本道題的正確答案是0或9/2.

由此可見，數學概念與性質常常是解題隱含條件比較常見的突破口，平時要在數學概念及性質教學中指導學生深入理解概念內涵及其他注意事項，如反比例函數的分母不能夠為零等等，這些都是求解某些數學問題中非常有價值的隱含條件，如果運用得當，則可以幫助學生快速求解問題.

2.2 基于代數公式，挖掘隱含條件

“數”和“式”是構成數學知識體系的兩個核心組成部分，不僅是初中生學習數學知識中的重點，也是中考數學考試中必考內容.在代數相關的數學問題求解中，許多學生在審題及解題的過程中常常會忽視題干所給出數學公式中包含的隱含條件，致使最終的求解答案不準確或不完整.因此，在指導學生求解相關類型題的過程中也要借助認真審題來挖掘出代數公式之中包含的隱含條件.初中數學教師為了訓練和增強學生的數學解題能力，有必要指導學生扎實掌握數學公式定義及其意義，讓學生從公式當中找到突破口，挖掘隱含條件，繞過題目中設下的陷阱，提高計算準確度.例如在教學整式乘法與因式分解時，教師可利用學生容易接受的游戲法優化課堂教學.教師在課前可以把當前階段學生學習掌握的數學公式用圖文資料的表現形式上傳到班級學習群，讓學生重新熟悉這些內容，增進對這部分材料的認識.到了課上教師需要把難易度不同的問題分配給能力層次不同的學生，把各層次學生集中為一組運用接力賽游戲找到題目當中的隱含條件，計算出問題的答案.緊接著教師需要結合各組的解題狀況，就隱含條件與數學公式的關聯度逐一拆分與指導，讓學生順利掌握此類題目的解題方法和技巧，提升解題效率.

例3已知（a2+b2）2-3（a2+b2）-10=0，試求a2+b2=？

解析本題較為簡單，但是在許多初中生審題過程中卻常常忽視本道題中所給出的隱含條件，以至于直接采用換元法來求解問題，即將x=a2+b2，之后將原方程相應地轉換成了x2-3x-10=0，之后再對這一方程進行因式分解來求解出相應的x=-2或5的答案.實際上，這個求解結果是不準確的，因為利用換元法x=a2+b2中得到的x的定義域實際上是x≥0，故最終得到的結果x=-2<0應該排除，故本道題的正確答案應該是5.

例4在x=時，x-3x2-6x+9=0.

解析在求解本道題的時候，許多學生可能會給出x=±3這一結果，但是這種結果是錯誤的，因為學生忽視了x-3x2-6x+9這一分式中分母不能夠為0這一隱含條件，故造成了錯誤解題.如果可以挖掘出這一分式中的隱含條件，就可以最終得到本道題的正確答案是x= -3.

例5已知x和y均為實數，并且有y=x2-1+1-x2x3+1，試求23x+1990y=？.

解析本道數學題中已經給出了函數y的代數式，在求解中也要指導學生在分析問題中首先根據數學公式來挖掘出其中包含的隱含條件，即：x2-1≥0，1-x2≥0和x3+1≠0.這樣一來就可以確保前期解題條件分析的充足性與全面性，避免因為缺乏這些限定解題的隱含條件挖掘不全面而直接影響了后續數學問題的順利求解.因為通過聯立上述3個公式即可求出x=1時，y=0，故可知23x+1990y=8.

由此可見，在解決初中數學問題的過程中，學生應該高度關注數學公式中的隱含條件，根據給出的公式挖掘出隱含條件，對自己在解題過程當中忽略的問題進行重點把握，完善整個解題過程，讓學生的難題解決效果更為突出.教師應該引導學生養成良好的解題習慣，改變過去馬虎大意的學習態度，學會在解題當中總結經驗教訓，避免在以后解題當中出現相同失誤.

2.3 基于關鍵詞句，挖掘隱含條件

在求解數學問題中，一般學生很難找出全部的隱含條件.在對所求解問題的題干信息進行審讀期間，如果初次無法挖掘出有價值的隱含條件，那么可以鼓勵學生多次進行閱讀并要在閱讀中積極思考和分析，尤其是要調用自己的理性思維來挖掘出數學問題當中的關鍵詞句信息，以此來基于相應的語義來對隱含條件進行挖掘.因此，在平時指導學生求解數學問題中要注意讓他們保持足夠的耐心，結合題目中的那些關鍵詞或語句來對隱含條件進行挖掘，這樣就可以降低他們求解數學問題的難度.教師可以為學生查找諸多具備代表性的經典數學題，專門訓練學生依托關鍵詞句挖掘隱含條件的能力，讓學生學會總結規律，形成一套自己的學習方法體系.

由此可見，在求解數學問題期間要注意指導學生在審題的過程中重點關注那些對解題有價值的關鍵詞句，并且挖掘它們背后隱含條件，這樣就可以結合題干中給出的已知條件來更為便捷地找到求解問題的突破口，同時整個思考過程也有效鍛煉了學生的思維能力和問題求解能力.

總之，隱含條件是初中生求解數學問題中非常有價值的解題信息，是確保數學問題正確、高效求解中不可或缺的解題信息.在初中數學解題教學中滲透隱含條件教學，要注意指導初中生基于數學概念、數學公式以及數學問題關鍵詞句等信息來進行隱含條件挖掘，之后要結合數學問題已經給出的題干信息來對數學問題進行簡化，確保可以有效解決這些數學問題.

參考文獻：

[1] 王志軍.發掘隱含條件助力數學解題——初中數學解題教學中隱含條件的應用[J].數理化解題研究，2021（32）：6-7.

[2] 袁炳全.初中數學解題中轉化思想的應用[J].數理化解題研究，2021（32）：40-41.

[責任編輯：李璟]