“問題串”在高等數學定理教學中的應用

許素貞

[摘要]高等數學中的定理具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，學生不易理解.以“反函數的求導法則”為例，將“問題串”融入高等數學定理教學中，可以引發學生自主思考，激發學生內在潛力，培養學生邏輯思維，鍛煉學生分析、解決問題的能力.“問題串”的設置應具有啟發性、連貫性、指向性.

[關鍵詞]“問題串”;數學定理;“反函數求導法則”;邏輯思維

[中圖分類號]G712[文獻標志碼]A??? [文章編號]2096-0603（2022）27-0150-03

高等數學中的知識點可劃分為概念、定理、計算和應用四大類型，定理是其中占比較大且十分重要的內容.高等數學中的數學定理具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，學生不易理解定理的含義，更難深度掌握定理中的內在聯系.在實際教學中，一些教師采用教師講、學生聽的模式來講解定理，學生被動接受，學習效果不佳.一些教師通過弱化定理的探索、推導和證明過程，突出解題計算來展開教學[1]，學生不明原理，依靠記憶機械化的學習，久而久之，思維更加混亂.所以，在高等數學教學過程中，重視定理本身，重視定理的探究，重視定理的教授方法是尤為重要的.

一、“問題串”的內涵

“問題串”是指基于學生知識基礎，結合學生思維發展，圍繞課程教學目標，設計提出的一系列具有內在聯系的有效問題[2].“問題串”是教師課堂教學的有利工具，也是學生獲取知識的重要載體。將“問題串”融入課堂教學中，將具體的教學內容落到每一個問題中，學生在解決問題的過程中可以獲取新知，可以發散思維，可以提高能力.

二、高等數學中定理學習的作用

學習高等數學除了使學生掌握必要的數學知識以外，更重要的是培養學生的數學意識，鍛煉學生的邏輯思維能力，提升學生解決問題的能力.高等數學中的定理知識雖然較難理解，但它對學生數學意識的形成和思維能力的培養起著舉足輕重的作用.定理的探索和證明需要的是嚴密的推理，對這些推理過程的理解，可以使學生體會數學的嚴謹性、邏輯性，從而形成思考問題、分析問題時思維的縝密性和邏輯性.

三、“問題串”在高等數學定理教學中的應用

以“反函數的求導法則”為例.

（一）復習導入

教師設計復習“問題串”，引導學生復習導數和反函數的相關內容，為新課的學習做好鋪墊.

1.對導數內容的復習

問題1：函數f（x）可導是什么含義？

問題2：函數f（x）連續是什么含義？

問題3：函數f（x）可導與連續有什么關系？

2.對反函數內容的復習

問題4：函數x=2y的反函數是什么？

問題5：函數y=arcsinx是哪個函數的反函數？（x=siny）

問題6：所有的函數都有反函數嗎？什么樣的函數才有反函數？

問題7：單調的函數是否有反函數？

問題8：如何求解反函數的導數呢？

（二）定理探究

1.大膽猜想

小組合作將探索圖（圖1）中的內容填寫完整，大膽猜想反函數求導法則.

2.小心求證

（1）定理分析

設計如下分析“問題串”，引導學生分析定理條件和結論的內在聯系.

問題1：定理中有幾個條件、幾個結論？分別列出條件和結論.

問題2：x=φ（y）在區間Iy內單調對結論起到什么

作用？

由復習中的引導可知，x=φ（y）在區間Iy內單調，則x=φ（y）有反函數.

問題3：x=φ（y）在區間Iy內可導且φ′（y）≠0，起到什么作用？

直觀分析定理，猜測x=φ（y）在區間Iy內可導，可幫助得到反函數y=φ-1（x）可導及反函數的導數為直接函數導數的倒數，φ′（y）≠0可以保證倒數中的分母不

為零.

問題3（1）：x=φ（y）在區間Iy內可導，由可導的定義，可以進一步獲得什么結論？

問題3（2）：要說明反函數y=φ-1（x）在區間Ix=φ（Iy）內也可導，由可導的定義，需要得到什么結果？

問題3（5）：Δx→0時，Δy→0嗎？

根據復習導入中連續的定義可知，若函數y=φ-1（x）連續，即可說明Δx→0時，Δy→0.由于x=φ（y）連續（可導一定連續），所以作為x=φ（y）的反函數y=φ-1（x）也是連續的.

（2）定理證明

由于函數x=φ（y）在區間Iy內單調，可導（從而連續），因此有x=φ（y）的反函數y=φ-1（x）存在，且y=φ-1（x）在區間Ix內也單調，連續.

（三）定理應用

1.例題精煉

例：求反正弦函數y=arcsinx的導數.

2.步驟梳理

在求解反函數的導數時，首先要找出直接函數，并確定好定義區間;然后驗證直接函數是否單調、可導，并且導數不為零;最后利用反函數的導數是直接函數導數的倒數來求出反函數的導數.

在“反函數的求導法則”教學過程中，教師基于學生知識基礎，關注學生思維發展，指向課程教學目標，設計提出有效的問題，串聯知識點，引發學生的深入思考.在問題串的幫助下，學生能夠深入挖掘定理中的內在關聯，真正理解定理的含義.

四、應用于高等數學定理教學的“問題串”設計的基本原則

為提高“問題串”應用于高等數學定理教學的有效性，在設計“問題串”時，應遵循以下幾個基本原則：

（一）基于學生基礎，具有啟發性[3]

在高等數學定理教學中應用“問題串”，目的是區別于傳統教學方式，借助問題來引導學生對定理進行深入探究，因此，“問題串”的設計應該具有啟發性.要設計出真正能起到啟發作用的“問題串”，問題的創設很重要.創設問題時，要充分了解學生的學習基礎，關注學生的思維發展，創設出的問題既要值得學生探索，又要讓學生能夠探索，既要符合學生認知規律，又要直擊學生思維障礙之處.例如，在“反函數的求導法則”中，已知直接函數的導數存在，為了幫助學生探索反函數的導數，設計了問題3（1）、3（2）.這兩個問題的設計既建立在學生的知識基礎上，又符合學生的思維發展規律，可以直擊定理條件與結論之間的內在聯系，突破思維困境.

基于學生基礎，創設出具有啟發性的問題，可以幫助學生降低學習難度，增強學習積極性，提高解決問題的能力.

（二）基于問題本身，具有連貫性

在數學課堂上，用“提問”的方式展開教學已經是一種常態了，但一些問題的提出都太過隨意.“問題串”并不只是擺在一起隨意提出的多個問題，它應該具有連貫性.在設置“問題串”中的每一個問題時，應仔細斟酌，考慮問題本身是否具有內在聯系，是否邏輯連貫，是否層次遞進.

在設計“問題串”時，可能只設計一串主干“問題串”，也可能在主干“問題串”的下面設計了分支“問題串”（就像問題3下面還設置了分支“問題串”）.主干“問題串”要具有連貫性，分支“問題串”也要具有連貫性.只有這樣，才能使整個教學過程自然流暢，才能使學生的邏輯思維不被分散，才能發揮出“問題串”的最好效果.

（三）基于教學目標，具有指向性

教學目標是教學設計和實施的依據，“問題串”是根據某個教學目標設置的一串有效問題，所以“問題串”應具有明確的指向性.設計“問題串”時，要把握“問題串”的最終指向目標是什么，也要明確“問題串”中每個問題的設計目的是什么，是為了考查學生對定理的理解程度，還是為了激發學生對下一個問題的探索熱情？或是為了啟發學生更深入地思考？每個問題的設置都應有其值得被設置的理由.

在高等數學定理教學中，確定好“問題串”要指向的目標，再設置連貫性、邏輯性強的問題引導課堂教學，不僅能促進學生對定理的深度理解，更能促進思維的深度開發[4]，最終達到事半功倍的教學效果.

五、結語

數學是思維的“體操”，思維是數學的“靈魂”[5].學習高等數學課程，不僅要掌握知識，更要掌握思維方式.教師基于學生基礎、問題本身、教學目標設置具有啟發性、連貫性、指向性的“問題串”，學生通過自主思考來解決“問題串”中的一個個問題，這種教學模式既可以幫助學生深刻理解高等數學中的定理，又可以深入激發學生思考的內在潛力，對培養學生邏輯思維，鍛煉學生分析、解決問題的能力都具有非常明顯的作用.

參考文獻：

[1]楊茸.走出“計算”誤區，體會真正的數學：關于高等數學教學中抽象定義定理處理方法的研究[J].職業，2015（9）：132-133.

[2]程麗華.問題鏈教學法在高中思想政治課中的應用研究[D].成都：四川師范大學，2020.

[3]何義婷.“問題串”在初中數學概念教學設計中的應用研究[D].重慶：重慶師范大學，2017.

[4]肖雪娟.論問題導學法在初中數學教學中的應用策略[J].數學學習與研究，2018（20）：42.

[5]余海蓉.小學數學問題鏈構建的策略探究：以人教版小學數學“兩位數乘兩位數”為例[J].齊齊哈爾師范高等專科學校學報，2021（5）：98-100.