數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

陳清池

摘要：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，代數(shù)與幾何的聯(lián)立推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展進(jìn)程，具有不可磨滅的價(jià)值，也是數(shù)學(xué)思想的傳承。數(shù)形結(jié)合思想方法，能揭示其幾何直觀，解釋內(nèi)在關(guān)聯(lián)，刻畫(huà)數(shù)與形的和諧。當(dāng)直觀圖形與精確的數(shù)量關(guān)系巧妙地結(jié)合在一起時(shí)，能幫助人們尋求解題思路及發(fā)現(xiàn)新命題，使問(wèn)題化難為易、由繁到簡(jiǎn)。基于此數(shù)形結(jié)合的思想，本文綜合自身相關(guān)高等數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用展開(kāi)了淺要剖析。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;高等數(shù)學(xué);教學(xué)應(yīng)用

引言：從數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展歷程來(lái)看，"形"表示整個(gè)客觀世界，最初的"數(shù)"來(lái)源于對(duì)"形"計(jì)量，隨之，"形"又?jǐn)U充了"數(shù)"的理論。而在新時(shí)代中，高等數(shù)學(xué)教學(xué)需要走向深度，兼顧知識(shí)技能與數(shù)學(xué)思維，以思想方法引領(lǐng)學(xué)生探究，理解知識(shí)技能。只有教師認(rèn)同數(shù)學(xué)思想方法的教育價(jià)值，重視并滲透于課堂教學(xué)，學(xué)生才會(huì)有所受益。數(shù)形結(jié)合思想方法與數(shù)感、幾何直觀的形成聯(lián)系密切，支撐學(xué)生深層次理解高等數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而有助于學(xué)生體會(huì)高等數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)多維度思維。

一、梳理教材，做到心中有數(shù)

教材是課程理念的有效載體，研讀教材是教師的必修功課，縱觀教材編寫(xiě)體系有助于教師把握教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)首先要明確某一課時(shí)具體內(nèi)容，由具體知識(shí)輻射至大概念的橫縱聯(lián)系，理解教學(xué)內(nèi)容背后的數(shù)學(xué)思想，關(guān)聯(lián)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)。首先，讀懂教材以具體課時(shí)出發(fā)，理解教學(xué)內(nèi)容，把握教材重難點(diǎn)。教材內(nèi)容包括主題圖、插圖對(duì)話、定理規(guī)則、示意圖及課后練習(xí)等，教師需對(duì)照課程標(biāo)準(zhǔn)了解編者意圖，從這些資料中精準(zhǔn)定位教學(xué)重點(diǎn)。讀懂教材力求在深度加強(qiáng)，除了顯性知識(shí)還需兼顧隱性知識(shí)，挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)、數(shù)學(xué)文化等。數(shù)形結(jié)合思想以暗線的形式體現(xiàn)在高等數(shù)學(xué)教材中，教師需留心插圖、留心探究過(guò)程才能發(fā)現(xiàn)。例如"函數(shù)與極限"中，極限作為整個(gè)微積分的教學(xué)基礎(chǔ)，也是最為抽象、難懂的高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之一。可采用數(shù)形結(jié)合的思想，在函數(shù)圖像中以某個(gè)點(diǎn)為帶入，進(jìn)行具體某點(diǎn)極限的幾何解釋來(lái)幫助學(xué)生加深理解、加強(qiáng)記憶。

其次，讀透課本從單元整體入手，明確課時(shí)在單元中的地位。往常教師備課總是關(guān)注本課時(shí)的內(nèi)容，很少關(guān)注知識(shí)的縱向發(fā)展，先見(jiàn)森林在見(jiàn)樹(shù)木，見(jiàn)過(guò)森林才知樹(shù)木的價(jià)值。因此將課時(shí)放至大單元的背景中，幫助教師把握教材深度的發(fā)展脈絡(luò)，制定教學(xué)目標(biāo)才更準(zhǔn)確。如"定積分"的整體單元，通過(guò)梳理教材，教師會(huì)發(fā)現(xiàn)定積分的學(xué)習(xí)可以綜合曲邊梯形面積、橢圓公式與坐標(biāo)系象限的數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)化計(jì)算。在不同的階段的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合的作用也不相同，初步認(rèn)識(shí)是利于數(shù)形結(jié)合思想的直觀性，真實(shí)情景再現(xiàn)，貼近學(xué)生生活。性質(zhì)學(xué)習(xí)是將代數(shù)與幾何聯(lián)系，從形發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從數(shù)描述關(guān)系。

第三，讀通教材這是關(guān)注關(guān)鍵概念之間的聯(lián)系，如極限、數(shù)列極限、函數(shù)極限、微積分理論等都是高等數(shù)學(xué)階段的關(guān)鍵概念，分為不同的章節(jié)進(jìn)行學(xué)習(xí)，但是數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系的，這與關(guān)鍵概念之間有區(qū)別也有聯(lián)系。教師可以從關(guān)鍵概念中提取相同點(diǎn)，這便是"度量"，學(xué)習(xí)方法上也存在共性，就是建立統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)量來(lái)度量，而這與數(shù)與代數(shù)中數(shù)的累加就是計(jì)數(shù)單位的累加完全相同。可見(jiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)相似，方法類同，讀透教材有助學(xué)生方法遷移。

最后，讀活教材是富有創(chuàng)造力的活動(dòng)。教學(xué)具有開(kāi)放性，教師對(duì)教材的解讀是個(gè)人意義的知識(shí)建構(gòu)，"教教材"與"用教材教"是完全不同的層次。只有教師對(duì)教材了然于胸，熟悉知識(shí)的橫縱聯(lián)系，才能從思想的高度理解教材，理解學(xué)生，讓教學(xué)源于教材還高于教材。

二、明確學(xué)生主體地位，融合結(jié)果性知識(shí)與過(guò)程性知識(shí)

新時(shí)代教育改革中，三維目標(biāo)成為最大亮點(diǎn)，打破了原來(lái)只重視知識(shí)技能，忽略過(guò)程方法與學(xué)生情感態(tài)度的局面。現(xiàn)在教育改革近十年，從教學(xué)目標(biāo)的表述來(lái)看教師習(xí)慣了用三維目標(biāo)來(lái)制定教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，掌握了用過(guò)程性動(dòng)詞描述探究過(guò)程，注重學(xué)生情感態(tài)度的培養(yǎng)。但是為何在教師教學(xué)中仍然"緊盯知識(shí)"，忽略思想方法呢？躍然紙上的定理、公式教師總能輕松把握課程重點(diǎn)，而隱性的數(shù)學(xué)思想容易忽視。數(shù)學(xué)思想最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，對(duì)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的培育起重要意義，教師是教學(xué)的引導(dǎo)者，帶領(lǐng)學(xué)生超越知識(shí)領(lǐng)悟思想。數(shù)學(xué)是符號(hào)的教學(xué)，符號(hào)是知識(shí)的表征形式，多年之后學(xué)生有可能會(huì)忘記某一公式、定理，而隱藏在背后的數(shù)學(xué)思想方法卻長(zhǎng)久的影響著人們。

深度教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為主體，超越知識(shí)的符號(hào)表征，讓學(xué)生理解知識(shí)的內(nèi)在邏輯與思考方式，發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，教學(xué)目標(biāo)應(yīng)融合結(jié)果性知識(shí)與過(guò)程性知識(shí)。知識(shí)的產(chǎn)生必然有火熱的思考與曲折的探索，學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，從問(wèn)題或現(xiàn)象出發(fā)，經(jīng)過(guò)探究形成結(jié)果性知識(shí)，積累過(guò)程探索經(jīng)驗(yàn)。數(shù)形結(jié)合思想自然蘊(yùn)含在知識(shí)形成的過(guò)程中，既是學(xué)生探究的手段，也是學(xué)生的思想指引。不論從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)還是教學(xué)內(nèi)容，高等數(shù)學(xué)起始教育階段是滲透數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵期，通過(guò)觀察數(shù)、形特點(diǎn)理解概念。高等數(shù)學(xué)中間階段，教師可以協(xié)調(diào)數(shù)與形，從不同教學(xué)思考問(wèn)題，嘗試用函數(shù)、微積分解決數(shù)的問(wèn)題，用標(biāo)準(zhǔn)量定量描述形特征，使數(shù)形結(jié)合思想明朗化。高等數(shù)學(xué)進(jìn)階階段，可讓學(xué)生有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，感悟數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值。數(shù)形結(jié)合思想方法帶有"過(guò)程性"，只有學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上實(shí)踐嘗試，在對(duì)比中遷移才會(huì)感受到數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用價(jià)值。因此，教師在教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)作，讓學(xué)生自主生成建構(gòu)，在團(tuán)體的交流表達(dá)中優(yōu)化完善，通過(guò)量的積累必定會(huì)產(chǎn)生質(zhì)變。

結(jié)束語(yǔ)：綜上所述，抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)與直觀形象的形是學(xué)習(xí)者的"兩只眼睛"，數(shù)理邏輯與直觀感知交織在知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用中，貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。伴隨學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生有意識(shí)主動(dòng)地應(yīng)用遷移，在問(wèn)題解決中進(jìn)行數(shù)與形轉(zhuǎn)換推理，在數(shù)形探究中感受數(shù)形之美，逐步形成系統(tǒng)化思維。數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生從不同的角度看待問(wèn)題，使繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)明化，隱性的條件明朗化，抽象的思維直觀化，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與思維發(fā)展影響深遠(yuǎn)。因此，根據(jù)學(xué)生主體特點(diǎn)，在教學(xué)中重視并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法，是數(shù)學(xué)優(yōu)秀文化的傳承，也是數(shù)學(xué)教育的必然選擇。

參考文獻(xiàn)

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