讓化歸思想轉化得巧妙、自然

魏重霞

[摘要]化難為易、化繁為簡、化未知為已知是化歸思想的核心，它貫穿于數學解題研究的始終.想要讓化歸思想轉化得巧妙、自然，文章認為可從以下幾方面著手：將未知問題已知化，便于理解;將復雜問題簡單化，便于突破;將抽象問題直觀化，便于認識;將函數問題方程化，便于解題.

[關鍵詞]化歸思想;數學教學;問題

化歸思想是辯證唯物主義的基本觀點，它主要是將復雜的問題進行轉化處理，實現化繁為簡、化生疏為熟悉的目標，利于問題的解決.初中數學中常用的化歸思想有：配方法、待定系數法、整體代入法等，學生的思維也由抽象轉化為具體.化歸思想既是一種重要的數學思想，也是最基本的解題策略，還是一種行之有效的思維方式.鑒于此，本文就如何在初中數學教學中靈活應用化歸思想，以優化數學教學談幾點看法.

將未知問題已知化，便于理解

數學是一個有機的整體，知識與知識之間有著千絲萬縷的聯系.利用好知識間的聯系，可將一些生疏的問題轉化為認知范圍以內的問題，在理解的基礎上實現知識的遷移，為解題服務.為了建立知識間的聯系，化未知為已知，教師可引導學生將前后所學知識進行類比，只要找出其中存在的內在邏輯關系，即能發現它們之間的異同處，再通過分析、歸納與總結即可實現時空維度上的鏈接.

案例1“二元一次方程”的教學

本章節教學前，學生對一元一次方程已經有了較為深刻的理解.教學時，教師可引導學生將未知的二元一次方程轉化為認知領域中所熟悉的一元一次方程來進行分析、求解.

學生初次看到這個問題，有點蒙圈，感到既新鮮又陌生.為了鼓勵學生自主獲得問題的答案，教師可引導學生思考：該方程組與一元一次方程相比，有什么異同點呢？很顯然，這兩者最大的區別就是未知數的數量.此時，可鼓勵學生想辦法去掉一個未知數.

學生經過自主思考與合作探究，獲得以下解題方法：①將x+y=3這個方程轉化成y=3-x，再將y=3-x代入到方程x+2y=4中，此時可得到一個一元一次方程6-x=4，本題x的值就昭然若揭了，y值也呼之欲出;②分別將兩個方程視為一個整體，將它們相減，可獲得y=1的結論，再將y值代入式子x+y=3或x+2y=4中，即可獲得x=2的解.

第一種解題方法就是我們常用的代入消元法，第二種是加減消元法，這兩種方法都是將學生未知的二元一次方程轉化為已知的一元一次方程進行解題.這也是化歸思想中，典型的化未知為已知的解題過程.此過程實現了學生新舊知識的溝通，化歸思想將學生的思維從舊知引向了新知，從而有效地激發了學生的探究興趣.尤其是學生自主探究的過程，不僅豐富了學生的思維，還鍛煉了學生的解題能力，為自主獲得良好的解題技巧奠定了基礎.由此可見，化歸思想的應用，有效地優化了本節課的課堂教學.

將復雜問題簡單化，便于突破

波利亞認為：“數學教師應想盡一切辦法，來培養學生的解題能力.”縱觀近些年的中考試題，會發現綜合性的問題越來越多，且越來越新穎.抽絲剝繭，發現這些復雜的問題都是由基礎性的知識加工而來.想要突破這些復雜的問題，只要將問題去偽求真，通過轉化、還原等方式，找出問題的原型，再逐個突破，即可達到解題的目的.

案例2“三角函數”的教學

問題：如圖1所示，某酒店要給一段高2m，坡角30°的樓梯鋪上地毯，求地毯的長度.

學生初次看到本題，首先想到的是求出每一級臺階所需耗費地毯的長度，然后再乘臺階的數量，即可獲得問題的答案.但題設條件中并不存在每級臺階的數據，這給解題帶來了障礙.若換一個角度來思考本題，將問題轉化成我們所熟悉的內容，即改變一下求和的順序，或許會有新的突破.

面對無從下手的問題時，教師可鼓勵學生換個角度去觀察與思考，或許就能撥開云霧見天日.學生通過自主觀察與分析，將復雜的問題簡化成熟悉的問題，不僅打開了解題思路，實現了思維的提升，還有效地鍛煉了自身的解題能力，為創新意識的形成與核心素養的提升奠定了堅實的基礎.

將抽象問題直觀化，便于認識

數學具有抽象、嚴謹等特點，而初中階段學生的思維又處于直觀形象思維向抽象邏輯思維轉化的關鍵期.如何利用數學教學幫助學生順利實現思維的轉換，是筆者一直探索的問題之一.實踐證明，利用數形結合思想，將抽象的數量關系用直觀的圖形表示，或將復雜的圖形用簡潔的數量關系來表達，能有效地提高教學效率，這也是化歸思想的重要內容之一.

案例3“函數范圍”的解題教學

一道復雜的函數問題，通過圖形的構造，變得尤為簡單.在學生驚嘆于數形轉化的便利之時，也深刻領悟了數形結合思想在解題中的應用，由此也切身體會了化歸思想對解題大有裨益.數形轉化不僅將復雜的數量關系轉化成簡單、具體的圖形，更重要的是讓學生對這種轉化過程產生了非常直觀的認識，從而對數學學習產生濃厚的興趣.

將函數問題方程化，便于解題

函數問題與方程的互相轉化，需要挖掘這兩者之間的契合點，把復雜的函數問題轉化成簡單、直觀的方程組，可簡化問題難度，實現解題.不少函數問題需借助圖像來實現兩者間的互相轉化.當遇到用常規方法雖能解題，但存在過程冗長，計算繁雜等狀況，稍有不慎就會出現失誤時，則可考慮用圖像或方程來化繁為簡，突出解題過程，讓思維有跡可循.

案例4“兩圖形交點問題”的探究

從問題的表面來看，能確定本題是關于兩個圖形交點的問題，題設條件中所呈現的a，b，c都是模糊的參數，因此讓本題變得更加撲朔迷離，也讓不少學生感到不知以何處作為解題的切入點.

考慮用常規解題方法解決本題，存在的問題是直線與拋物線的位置定位不清，若不考慮a，b，c的大小，將它們都理解為確切的量，同時用它們來表示其他未知的一些數，如此則可將問題轉化為學生所熟悉的求方程解的問題.

本題巧妙地運用化歸思想，實現了函數問題與方程問題的靈活轉化，學生不僅深切體會了將函數問題轉化為方程問題的便捷性，還有效地拓展了解題思路，形成了一定的解題技巧，感知數學獨有魅力的同時，有效地提升了解題能力.

波利亞認為：“解題時，我們要不斷地變換問題，用不同的形式去表述問題，則能從中發現一些有用的東西.”想讓化歸思想轉化得巧妙、自然，就需要教師引導學生勤思考、多分析，從問題的多角度去探究，從而建構完整的認知體系，為形成終身可持續性發展的能力奠定基礎.