創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題方法 提高學(xué)生解題效率

白玫

[摘要]數(shù)學(xué)解題方法的教學(xué)，要求教師引領(lǐng)學(xué)生拓寬思路，發(fā)展思維的靈活性，從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，尋找解題的便捷路徑，從而提高解題效率.文章主要介紹了設(shè)元消元這一方法在實(shí)際解題中的應(yīng)用.

[關(guān)鍵詞]解題方法;思維靈活;解題效率

解題既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要活動(dòng)，也是學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一，如何提高學(xué)生的解題能力和解題效率是課堂教學(xué)要解決的重要問(wèn)題.許多學(xué)生為了提高解題能力常常深陷題海，但是結(jié)果往往不盡如人意，反而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了厭倦，失去了信心.所以教師在教學(xué)中不僅要帶領(lǐng)學(xué)生做題，還要精選典型試題，滲透解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.很多學(xué)生在解題過(guò)程中常因已知條件過(guò)少、未知條件過(guò)多而一籌莫展，所以教師要在教學(xué)中讓學(xué)生尋找一種巧妙的解題方法，如利用已知條件設(shè)未知數(shù)，實(shí)現(xiàn)整體消元或者換元，從而解決問(wèn)題.這種巧妙的解法可以讓試題化繁為簡(jiǎn)，順利求解，能增強(qiáng)學(xué)生解決難題的信心.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)設(shè)元消元這一解法進(jìn)行了總結(jié)，現(xiàn)編寫(xiě)成文，供大家參考.

在三角形中解決角度問(wèn)題

案例1如圖1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，E，F(xiàn)兩點(diǎn)在邊AB上，且AE=AC，BF=BC，求∠ECF的度數(shù).

解題思路設(shè)∠B=x，則∠A=90°-x.因?yàn)锳E=AC，所以∠AEC=∠ACE.所以

評(píng)析本案例已知條件較少，如何構(gòu)建已知條件與未知條件之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.僅通過(guò)觀(guān)察已知條件與未知條件，很難看出它們之間的聯(lián)系.但通過(guò)設(shè)∠B=x，利用三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的兩個(gè)底角相等的性質(zhì)，便可以將題目中的其他角用含x的代數(shù)式表示，從而求出∠ECF的度數(shù).上述解法，通過(guò)設(shè)元，將一個(gè)復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問(wèn)題，并最終將未知數(shù)消掉，求得了答案.

案例2如圖2所示，點(diǎn)C在線(xiàn)段AE上，點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，BC與DE交于點(diǎn)F.若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，求∠DFC的度數(shù).

解題思路因?yàn)镃D=CE，所以∠E=∠CDE.因?yàn)锽D=CD，所以∠B=∠BCD.設(shè)∠E=∠CDE=x，∠B=∠BCD=y.因?yàn)椤螦CD是△CDE的一個(gè)外角，所以∠ACD=∠E+∠CDE=2x.同理，∠ADC=∠B+∠BCD=2y.所以∠ACD+∠ADC=2x+2y=114°.所以x+y=57°.所以∠DFC=180°-（x+y）=123°.

評(píng)析本案例運(yùn)用了等腰三角形底角相等的性質(zhì)，通過(guò)設(shè)兩個(gè)輔助元，利用已知條件∠ADC+∠ACD=114°，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到△DFC中，再利用三角形的內(nèi)角和求得答案.上述解法也是通過(guò)設(shè)未知數(shù)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，這樣求解，思路更清晰，同時(shí)滲透了數(shù)形結(jié)合思想.

在三角形中解決面積問(wèn)題

案例3已知一個(gè)直角三角形的周

評(píng)析本案例若根據(jù)一般的求三角形面積的方法，需求出三角形的底和高，但是由已知條件難以求出這兩個(gè)元素.為了求解，可以換一種思路，即不分別求出三角形底和高的長(zhǎng)度，而是通過(guò)設(shè)輔助元，求底和高的積.上述解法同樣通過(guò)設(shè)元，巧妙地將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，利用勾股定理以及完全平方公式的變形，最后求出三角形的面積.

在幾何證明中解決等量關(guān)系

案例4如圖3所示，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD，垂足為G，∠BAD的平分線(xiàn)與BD交于點(diǎn)F，與GC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，證明：AC=CE.

評(píng)析本案例利用矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)等，得到要求證的兩條邊AC與CE的對(duì)角相等，再利用等角對(duì)等邊得到AC與CE相等.上述解法通過(guò)設(shè)∠CAE=x，利用輔助元表示出其他相關(guān)的角，避免了角度之間的復(fù)雜轉(zhuǎn)換，使求證過(guò)程簡(jiǎn)捷，同時(shí)，將幾何問(wèn)題變成簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題，從而獲解.

在反比例函數(shù)中解決面積問(wèn)題

評(píng)析本案例先設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由已知條件“AC的中點(diǎn)為B”求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出四邊形ABED的面積，最后在計(jì)算過(guò)程中通過(guò)化簡(jiǎn)得到答案.這樣的設(shè)元方法在解決反比例函數(shù)問(wèn)題中比較常見(jiàn).本案例同樣采用設(shè)元的方法，最后通過(guò)消元順利求解.

在一次函數(shù)中解決問(wèn)題

案例6如圖5所示，一次函數(shù)y=mx+5m的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo);

（2）若直線(xiàn)OC上有一點(diǎn)Q，且△QAC的面積是△AOC面積的3倍，求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

（3）線(xiàn)段OA上有一點(diǎn)D，且∠ACD=∠AOC，x軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線(xiàn)CD和直線(xiàn)CO的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解題思路此處只解析第（3）問(wèn).由已知條件“點(diǎn)P到直線(xiàn)CD和直線(xiàn)CO的距離相等”，可得點(diǎn)P在直線(xiàn)CD和直線(xiàn)CO所形成的夾角的平分線(xiàn)上.于是根據(jù)點(diǎn)P的位置可畫(huà)出圖5和圖6.在圖5中，設(shè)∠ACD=∠AOC=x，因?yàn)椤螪CO被CP平分，于是又設(shè)∠OCP=∠DCP=y.因?yàn)椤螩PA是△COP的一個(gè)外角，所以∠CPA=x+y.又∠ACP=x+y，所以∠CPA=∠ACP.所以AP=AC.于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).在圖6中，設(shè)∠ACD=∠AOC=x，∠DCP=y，則可得∠CPA=∠ACP=y-x.所以AP=AC.于是可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

評(píng)析本題是一道較為復(fù)雜的綜合題，由已知條件很難發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，但是通過(guò)設(shè)輔助元，便可以將題目中有關(guān)的已知條件聯(lián)系起來(lái)，于是發(fā)現(xiàn)∠CPA和∠ACP之間的等量關(guān)系，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).由此我們看到，設(shè)輔助元，能實(shí)現(xiàn)直接的等量關(guān)系轉(zhuǎn)換，避免了復(fù)雜的角度轉(zhuǎn)換，降低了思維的挑戰(zhàn)性，且整個(gè)解題過(guò)程，思路清晰明了.

思考與感悟

1.立足學(xué)生的思維角度

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)的中心應(yīng)圍繞學(xué)生展開(kāi)，因此教師在選擇試題進(jìn)行解析時(shí)，需要從學(xué)生的思維發(fā)展角度出發(fā)，以學(xué)生的發(fā)展為立足點(diǎn)，促進(jìn)每一位學(xué)生的個(gè)性發(fā)展.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，許多學(xué)生常常被復(fù)雜題型所困擾，從學(xué)生的思維習(xí)慣出發(fā)，他們擅長(zhǎng)正向思維，能根據(jù)已知條件直接構(gòu)建聯(lián)系，因此當(dāng)已知條件不夠時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)輔助元，直接建立已知條件之間的數(shù)量關(guān)系，并在逐步化簡(jiǎn)中輕松獲得答案.這既符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奇妙，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.

2.巧妙催生課堂意外生成

課堂并不能完全依據(jù)教師的預(yù)設(shè)按部就班地展開(kāi)，當(dāng)學(xué)生提出意料之外的想法時(shí)，教師應(yīng)進(jìn)行引導(dǎo)，不能因?yàn)樗麄兯岬膯?wèn)題與預(yù)設(shè)不同就完全否定，否則會(huì)扼殺學(xué)生的靈感.教學(xué)的過(guò)程是教師帶領(lǐng)學(xué)生一起探索的過(guò)程，教師要將課堂還給學(xué)生，引導(dǎo)他們思考，從而發(fā)展思維能力.

文章主要探討了設(shè)元消元方法的部分應(yīng)用，這一方法可以巧妙轉(zhuǎn)化復(fù)雜題型并解決問(wèn)題，能避免煩瑣的求解過(guò)程，能發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維.

實(shí)際上，數(shù)學(xué)解題方法多種多樣，只要我們認(rèn)真觀(guān)察和思考，不被傳統(tǒng)思維所束縛，就能發(fā)現(xiàn)便捷的解題路徑，從而提高學(xué)習(xí)效率.