基于核心素養的高中數學教學培養學生直觀想象及邏輯推理能力的策略探究

林丹蘭

摘 要：數學是一門集抽象性與邏輯性于一體的學科，在學生學習生涯中發揮著不可小覷作用。高中數學教師在新課程改革下要在數學教學中融入核心素養，鍛煉學生思維能力與解決問題能力，切實提升學生綜合素養。高中數學教學實踐中應基于對高中數學核心素養充分理解與深入把握的基礎上，采取針對性的培養方法。為給高中數學教學活動提供參考，文章探討教學實踐中直觀想象以及邏輯推理的培養思路與方法。

關鍵詞：高中數學;核心素養;教學策略

中圖分類號：G633.6?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1673-8918（2022）17-0099-04

新課程改革對課堂教學提出比以往更高的要求和標準。高中數學教師應將培養學生核心素養列為重點目標。其中直觀想象以及邏輯推理是高中數學核心素養的重要組成部分，實踐中應正確處理其兩個素養與教學之間的關系，使學生認識到提升兩個核心素養的重要價值，促進學生學習成績以及核心素養的雙重提升。

一、 基于學科特征 培養學生直觀想象

直觀想象是高中數學核心素養之一，即借助空間想象與幾何直觀感知事物形態與變化，同時運用圖形等空間形式高效理解和解決數學問題。換言之，直觀想象即幾何直觀與空間想象結合。另外，數與形是數學學科主要研究對象，二者緊密相依，其中可用數描述形，或用數展示形的特征。

具體可從以下方面著手：首先，基于核心素養層面理解直觀想象。數學教師只有自身深刻理解直觀想象才能運用正確理念驅使正確教學行為，促使學生形成直觀想象素養。直觀想象包括空間想象與幾何直觀，形是直觀想象的直接研究對象，數則是研究形的輔助工具。與此同時直觀想象還具有以下關系，即幾何直觀所描述的幾何圖形均為學生觀察后所形成的直觀感悟，空間想象即學生在幾何直觀基礎上構建的全新圖形，對此，可將幾何直觀理解為空間想象的基礎，空間想象則可理解為對幾何直觀思維的延伸，故而只有明確二者的邏輯關系才能高效培養學生的直觀想象素養，并認識到直觀想象能提高學生分析和解決問題的能力，逐漸形成良好的創新意識、思維習慣與應用數學意識，從而欣賞與眾不同的數學美。

例如：求一個正四面體外接球的體積與表面積。（如圖1所示）由于要明確球心位置與球的半徑，多數學生會看到難度較大，難以尋找到解題切入點。究其原因，在于學生缺乏幾何模型，若大腦中存在相對清晰的正方體模型，就可將正四面體還原至正方體中（如圖2所示），上述就是幾何直觀效果。學生只要具備直觀清晰的正方體模型就可基于此直觀展開想象，那么正方體中就會有正四面體，有效突破解題困境。

其次，注重啟發學生智慧。直觀想象能力在學生解題中發揮著不可小覷作用，無論從核心素養培養層面或應試層面分析都有著顯著價值，因此，教學實踐中，應在例題講解中給予學生啟發，更好地激活其思維，鍛煉其智慧。

例如：如圖3分別取正方體ABCD-A1B1C1D1各面的中點，形成一個八面體，則該八面體的內切球的體積與正方體外接球的體積之比為（? ）

A. 1∶8

B. 1∶9

C. 1∶27

D. 1∶24

取八面體的上半部分為研究對象，如圖4所示，設正方體的棱長為2，則底面正四邊形的邊長EF=2，其中點M為內切球的球心，MN=22。側面正三角形的邊長PE=PF=2，易求得側面上的高PN的長為62。設T為八面體內切球和面PEF的切點，則T落在PN上，連接MT，易得MT⊥PN，則△PMN∽△PTM，則PM/PN=MT/MN，可得MT=33，其即為正八面體內切球的體積。圖4

正方體外接球的半徑為3，因此，對應的比值為1∶27，選擇C項。

通過該例題的講解既能很好的鍛煉學生的空間想象能力，又能很好地啟發其在以后分析立體幾何問題時可通過分割選擇恰當的研究對象，以降低分析問題的難度，提高解題效率。

最后，組織學生開展專題訓練活動。直觀想象核心素養涉及的內容較多，其中建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路是直觀想象素養的重要內容。教學實踐中為更好的提高學生的這一素養，在講解相關理論以及例題后應注重組織學生開展專題訓練活動，使其更好地掌握形向數以及數向形轉化的思路，積累數形結合的技巧。

（一）由形向數的轉化訓練

由形向數的轉化在平面幾何中的思路為建立平面直角坐標系，用坐標表示圖形中對應的點。在立體幾何中則需要空間直角坐標系，同樣需要運用坐標表示出圖形中對應的點，而后借助向量運算求解相關問題。高中階段由形向數的轉化主要體現在借助空間直角坐標系解決立體幾何問題上，因此訓練過程中需做好相關習題的設計。

例如：如圖5，正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中點，點P在側面BCC1B1的邊界及內部移動，且滿足D1O⊥OP，則異面直線D1P和AB所成角的余弦的最大值為??? 。

題干中并未直接給出相關線段的長度，因此需要通過建立空間直角坐標系進行合理的假設，化形為數進行解決。設正方體的棱長為2，分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖6所示。對應點的坐標分別為A（2，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），O（1，1，0），則D1O=（1，1，-2），AB=（0，2，0）。假設P（a，2，b），a、b∈[0，2]，由D1O⊥OP可得到D1O·OP=0，而OP=（a-1，1，b），即，a-1+1-2b=0，即，a=2b，則P（2b，2，b）。在側面A1D1DA內取一點O，使得QP∥AB，易得Q（2b，0，b），容易得到△D1QP為直角三角形，則|cos〈D1P，AB〉|=|cos〈QP，PD1〉|=|QP|/|PD1|，|QP|=2，PD1=（-2b，-2，2-b），|PD1|=4b2+4+b2+4-4b=5b2-4b+8，由二次函數可知，|PD1|min=365，則異面直線D1P和AB所成角的余弦的最大值為2365=53。59A921FD-515D-4292-9CD5-7A3F6E01CED4

解答上述立體幾何習題采用構建空間直角坐標系的方法將形轉化為數。結合點的坐標通過數的運算求解幾何問題，如此可迅速地找到解題切入點，確保問題得以順利、有效地解決。

（二）由數向形的轉化訓練

由數向形的轉化主要通過對數的深入理解，將其轉化為對應的幾何圖形，運用幾何圖形的性質解決問題。解答高中數學習題時應注重增強由數向形的轉化意識，通過對數巧妙的處理，化抽象為直觀，降低解題的難度。組織學習者開展訓練活動時，可向其展示如下問題，要求其思考作答。

例如，已知定義在R上的增函數f（x）滿足y=f（x-1）的圖像關于點（1，0）對稱，若不等式 f（16-x2）+f（23-k（x+2））≤0的解集為區間[a，b]，且b-a=2，則k的值為??? 。

該題以函數為背景求k的值，較為抽象。解題的關鍵在于能夠運用函數的性質，將數轉化為形。由y=f（x-1）的圖像關于點（1，0）對稱，可知函數 f（x）的圖像關于（0，0）對稱，而f（x）是R上的增函數，因此，函數f（x）為R上的奇函數且遞增。由 f（16-x2）+f（23-k（x+2））≤0，可得f（16-x2）≤-f（23-k（x+2））=f（-23+k（x+2）），即，16-x2≤k（x+2）-23的解集區間為[a，b]，且b-a=2。其中y=16-x2的圖像為圓心在原點半徑為4的圓的上半部分，

y=k（x+2）-23是過定點（-2，-23）的直線。在同一平面直角坐標系中作出函數y=16-x2和y=k（x+2）-23的圖像，如圖7所示。

由圖并結合已知條件可得b=4，而b-a=2，則a=2，即，直線和半圓的交點N的橫坐標為2，N（2，23），則k=（23+23）/4=3。

通過上述習題的解答可知，數的問題較為抽象，基于對數規律的分析，積極聯系相關圖形化數為形，便可直觀地揭示出數的邏輯關系，真正地達到化抽象為具體，迅速破題的目標。

二、 基于學科特征 培養學生邏輯思維

邏輯推理能力為高中數學學科核心素養目標之一，除了能幫助學生在學習中形成良好邏輯思維，更能在一定程度上優化學生數據分析能力與抽象思維等核心素養，激發學生潛在探究數學知識的興趣。對此，高中數學教師在教學過程中可圍繞核心素養目標從多方面培養學生邏輯思維能力，引領學生基于客觀事實與邏輯規則，準確、迅速推理和判斷數學核心問題，促使全面理解和掌握數學規律，強化核心素養。

具體從以下方面著手：

首先，注重夯實基礎。教師在教學過程中需不斷增強概念教學。數學教師在訓練學生邏輯思維時需注重夯實其基礎，只有學生掌握基礎概念才能基于抽象思維對概念進行深入分析，提高學習效率。

例如：m=12為直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）+x（m+2）y-3=0相互垂直的何種條件（? ）

A. 充分不必要條件

B. 充分必要條件

C. 必要不充分條件

D. 既不充分也不必要條件

數學教師在教學中先讓學生了解直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）+x（m+2）y-3=0相互垂直的概念，學生只有了解該條件成立的因素才能解題。學生通過學習概念得知，若兩條直線均存在斜率，其斜率之積為-1。若其中一條直線不存在斜率，另一條直線斜率為0。根據概念分析上述題目，若讓直線（m+2）x+3my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直，則當m=12時，兩條直線斜率乘積為-1，或當m=-2時，兩條直線一條斜率為0，則另一直線不存在斜率。所以當m=12時，兩條直線為相互垂直形態，然而當兩條直線相互垂直時m=12或m=-2，正確答案為A。

其次，發揮學生想象力。數學教師在教學中應對學生想象力進行培養，引領學生在分析和解決數學問題時結合自身想象力展開邏輯推理。若假設正確可繼續沿著該思路解題，反之則需及時調整解題思路。在培養學生邏輯思維能力時可先為學生設計相關教學問題，引領學生觀察探究問題并以此為前提展開假設，激發學生想象力。還要在此基礎上指導學生進行類比和歸納，鼓勵學生表述自身猜想，驗證所學知識，得出正確結論。

例如，在學習猜想空間中四面體性質時，數學教師先行導入勾股定理與平面直角三角形等知識，促使學生猜測性質，再運用此方法提高學生的邏輯推理能力。

圖8（a）為直角三角形，圖8（b）四面體的三個面相互垂直，側面ABC、ACD、ADB的面積分別為S1、S2、S3，底面BCD的面積為S。課堂上讓學生認真觀察圖片，結合勾股定理知識對四面體提出假設。教師讓學生以小組合作的形式相互討論分析，必要時給予學生相應的提示和點撥。學生根據Rt△ABC中a2+b2=c2，直接類比推導四面體A-BCD中S21+S22+S23=S2。再在此之后讓學生驗證猜想并得出結論，學生會感到數學學習樂趣，不斷強化邏輯推理能力，發展核心素養。

再次，展示例題。為更好地培養學生的邏輯推理核心素養，使其把握邏輯推理的切入點，養成尊重事實，嚴謹推理的良好習慣，給其以后更好地解題提供參考，教學實踐中應注重與學生一起分析具有代表性的例題，展示邏輯推理的具體過程，使其更好地把握邏輯推理的關鍵。在進行數列知識教學時可為學生講解如下例題：

設數列{an}滿足：a1=6，an+1=54an+34a2n-2，n∈N*，其中[x]表示不超過實數x的最大整數，Sn為{an}的前n項和，則S2020的個位數字為（? ）

A. 6B. 5C. 2D. 1

解答該題不僅需要充分理解[x]表示的含義，而且需要從給出的已知條件嘗試著進行歸納推理。根據數列中的首項以及an+1和an的關系進行推理。根據題意不難得出，a2=11，a3=21，a4=41，a5=81，…，an+1=54an+34a2n-2<54an+34an=2an，歸納可知，從第2項開始，每項的個位數均為1，因此，S2020=6+（2020-1）=2025，個數數字是5，選擇B項。59A921FD-515D-4292-9CD5-7A3F6E01CED4

實踐中通過在課堂上為學生展示推理過程，使學生認識到歸納推理的具體步驟，啟發其在以后解答數列類的問題時，可根據創設的情境先寫出前幾項，而后歸納出相關規律，如此可取得事半功倍的解題效果。

最后，鼓勵總結。培養學生的邏輯推理素養是一個非常緩慢的過程，因此實踐中不能急于求成，應結合具體教學內容安排好培養工作進度，尤其應鼓勵學生做好邏輯推理的總結，把握不同問題邏輯推理的相關思路，以及對應邏輯推理方法適用的問題類型，避免在以后的推理過程中走彎路。例如在講解導數知識后，可為學生展示如下習題：

已知實數x>1，y∈R，e為自然對數的底數，若exlnx+eyA. eylnx>eB. eylnx