突破旋轉常規　巧用對稱解難題

【摘 要】利用旋轉思想和對稱思想解一道典型題目，培養學生化繁為簡的能力.

【關鍵詞】旋轉思想;對稱思想;數學思想;數學思維

在初中數學中，對稱變換和旋轉變換是重要的兩種幾何變換，更是兩種重要的思想方法.無論哪一種變換，都有一個重要的性質，就是圖形經過變化后，形狀、大小都保持不變，即對應邊、對應角都相等，變化只是圖形的位置，這在解題中是潛在的重要前提，常常用來求解線段長度和面積等問題.比如對稱變換第一個典型的應用就是“將軍飲馬”問題，利用對稱變換將折線的距離和轉化為兩點之間的最短距離問題;旋轉變換是把圖形的位置進行變換，優化圖形結構，進一步整合圖形，通過旋轉找到解題的突破口，將較為復雜的問題轉化為簡單問題從而得到順利解決，逐步培養學生分析問題和解決問題的能力.1 案例分析在近幾年來各地市的中考試題中有較多問題需要利用旋轉變換進行求解，此類問題較好地考察了學生的思維靈活性及深刻性，具有很好的選拔功能，成為近年來各地中考試題的熱點問題，下面這道題就是非常典型的一道.

題目1 （2018淄博）如圖1，P為等邊三角形ABC內的一點，且P到三個頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則△ABC的面積為（）.

A.9+2534B.9+2532C.18+253D.18+2532

常規解法 因為△ABC為等邊三角形，所以BA=BC，

可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，連接EP，且延長BP，作AF⊥BP于點F.如圖2，

所以BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，所以△BPE為等邊三角形，所以PE=PB=4，∠BPE=60°，

在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，所以可判定△APE為直角三角形，且∠APE=90°，所以∠APB=90°+60°=150°.

所以∠APF=30°，

所以在直角△APF中，AF=12AP=32，PF=32AP=332.

所以在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=4+3322+322=25+123.

則△ABC的面積是34AB2=34·25+123=9+2534.所以選A.

本題的突破點就是將中間的三個三角形中的一個進行旋轉，作出旋轉后的三角形，然后利用旋轉的性質來解決，可是旋轉對學生來講是難點，所以不少學生掌握得不好，也畫不出旋轉后的三角形，我在教學的過程中發現了解決此類題的另一個辦法，就是利用軸對稱的思想來解決，做法如下.

解 （對稱法）如圖3，分別以AB，BC，AC為對稱軸作△APB、△BPC、△APC的對稱△ADB、△BEC、△AFC，連接DF，DE，EF，因為∠DAF=2∠BAC=120°，且DA=FA=PA=3，所以△ADF是頂角為120°的等腰三角形，所以可求得DF=33，易得S△ADF=934，同理△BDE、△ECF都是頂角為120°的等腰三角形，腰分別是4和5，所以易得DE=43，EF=53，S△BDE=43，S△ECF=2534.

又因為△DEF中，DF=33，DE=43，EF=53，所以△DEF是直角三角形，∠FDE=90°，所以S△DEF=12·33·43=18，而六邊形ADBECF的面積就是△ADF、△BDE、△ECF、△DEF的面積之和，也是△ABC面積的兩倍，所以S△ABC=12（S△ADF+S△BDE+S△CEF+S△DEF）=12（934+43+2534+18）=9+2534.

這種方法只是利用了軸對稱的思想，作出軸對稱三角形，對學生來說，遠遠比作旋轉三角形容易，而且思路簡單，學生比較容易想到，而且計算方面主要用到了120°等腰三角形的有關計算以及勾股定理的逆定理，相對容易得多.下面再通過一道題目對比一下.

題目2 如圖4，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，點P在△ABC內，且PA=3，PB=5，PC=2，求△ABC的面積.

常規解法 如圖5，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，則△ABQ∽△ACP.

因為∠ABC=30°所以AB=2AC，

所以△ABQ與△ACP的相似比為2.

所以AQ=2AP=23，BQ=2CP=4，

∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°.

因為AQ∶AP=2∶1，可判斷出∠APQ=90°，所以PQ=3AP=3，

所以BP2=25=BQ2+PQ2，所以∠BQP=90°，

過A點作AM∥PQ，延長BQ交AM于點M，

所以AM=PQ，MQ=AP，

所以AB2=AM2+（QM+BQ）2=PQ2+（AP+BQ）2=28+83，

故S△ABC=12AB·AC·sin60°=38AB2=6+732=3+732.

這種做輔助線構造相似三角形的方法，學生比較難想到，所以作圖也比較難，思路和過程也對學生的要求較高，特別是判斷∠APQ=90°這點對初中生來說有很大的難度.

下面簡略說一下判斷∠APQ=90°的兩種方法.方法一：用高中的知識，就是在△APQ中，由余弦定理PQ2=AQ2+AP2-2AQ·AP·cos∠PAQ，可求得PQ=3，再由勾股定理逆定理判斷出直角三角形，從而得出∠APQ=90°.方法二：用初中的知識，那就需要過點Q向直線AP作垂線，構造出含30°角的直角三角形，根據直角三角形中，30°的角對的邊是斜邊的一半，從而得出∠APQ=90°.這對初中學生來說難度是相當大的.而此題用作對稱三角形的方法就容易得多了，下面就用這種方法來解決.

解 （對稱法）如圖6，分別以AB，BC，AC為對稱軸作△APB、△BPC、△APC的對稱△ADB、△BEC、△AFC，連接DE、DF，因為∠DAF=2∠BAC=120°，且DA=FA=PA=3，所以△ADF是頂角為120°的等腰三角形，所以DF=3，易得S△ADF=334，同理△BDE可判定是邊長為5的等邊三角形，易得S△BDE=2534;因為∠BCA=90°，可判斷出E，C，F共線，由DF=3，EF=4，DE=5，可得△DEF是直角三角形，且∠DFE=90°，所以S△DEF=6.

而五邊形ADBEF的面積就是△ADF、△BDE、△DEF的面積之和，也是△ABC面積的兩倍，所以S△ABC=12（S△ADF+S△BDE+S△DEF）=12（334+2534+6）=3+732.2 思考與總結在中考復習中，此類問題會經常遇到，通過上面例題的不同解法，對此類問題進行反思與總結.2.1 領悟對稱思想的廣泛性與巧妙性

對稱不僅僅是一個數學概念，更是一種思想方法，它的應用是非常廣泛的，它除了在上述平面幾何問題的應用以外，在數和式等代數問題、立體幾何等方面都有廣泛的應用.利用對稱的思想去分析和解決問題，通常可以將不規則的圖形轉化為規則圖形，將很難求解的問題轉化為容易求解的問題，而且使解題思路簡單，作圖簡單，還能回避繁雜的運算，巧妙地解決了問題，達到出奇制勝的效果，提高解題的速度和準確率[1].2.2 體會數學思想的重要性

老師在平時的課堂教學及課后習題設置中，要時時處處注意數學思想方法的滲透，這樣學生才會有扎實的數學思想基礎，對所有的數學思想方法熟記于心并能信手拈來.比如上面問題就是先用對稱思想，作出對稱圖形，然后用轉化思想，將復雜問題轉化為一個簡單問題.對于常用的數學思想（如數形結合思想、分類討論思想、建模思想、類比思想等）在平時的教學中我們要引導學生多分析，多嘗試，多類比，多總結，不斷碰撞出學生運用數學思想的火花，形成數學知識和思想方法的和諧統一，提高熟練運用數學思想解題的能力.2.3 培養數學思維的靈活性

解數學題的靈魂就是靈活合理變化，在變化中常會拓展出解題所需要的一片新天地.在平時的習題訓練中，老師不要被思維定勢所限制，要經常設置一些思想方法靈活多變、一題多解的題目，讓學生在獨立練習中體會巧妙解法的重要性;如果遇到復雜、沒有思路的題目的時候，要快速地改變思維方式，不斷進行大膽嘗試，使學生真正體會到數學思維的靈活性所帶來的樂趣，激發學生學習數學的潛能.這樣不僅能提高學生分析問題、思考問題的能力，提高靈活的化復雜問題為簡單問題的能力，還能培養學生的創新能力，并從中感受到數學的無窮魅力.

參考文獻

[1]方志平.例析對稱思想在數學解題中的妙用[J].中學數學雜志，2021（11）：36-39.

作者簡介 李榮（1974—），女，山東東營人，中學一級教師;主要研究數學解題和教法.