關于幾何圖形確定性的變式研究與思考

【摘 要】以一道初三期末統考題為例，從圖形的確定性角度挖掘試題資源，進行試題變式，尤其重點研究了非完全確定圖形中的“任意中的確定”問題，凝練了相應的問題范式，具有一定的推廣價值.

【關鍵詞】幾何圖形;確定性;變式;試題研究

根據圖形各元素位置與數量關系確定程度，幾何圖形可分為“完全確定圖形”“非完全確定圖形”和“完全非確定圖形”三種類型.各元素位置與數量關系都確定的圖形稱為“完全確定圖形”;部分元素位置與數量關系確定而存在不確定或動態元素的圖形稱為“非完全確定圖形”;所有元素的位置與數量關系都不確定的圖形稱為“完全非確定圖形”.初中幾何試題通常為前兩種類型：在“完全確定圖形”中研究元素的位置關系、確定某些元素的大小，或在“不完全確定圖形”中研究變化中的不變與任意中的確定.本文以一道初三期末統考題為例，談談筆者是如何在研究圖形確定性的基礎上對其作出變式，并探索得到某一類問題的變式策略，從而將試題資源利用最大化，賦予一道題新的生命力[1][2].

1 原題呈現

（2022泰州海陵期末）如圖1，線段AB是⊙O的直徑，過點B作一條射線BC與AB垂直，點P是射線BC上的一個動點，連接PO交⊙O于點F，連接AF并延長交線段BP于點E，設⊙O的半徑為r，PB的長為t（t>0）.

（1）當r=3時，①若∠FAO=∠EPF，求弧BF的長;②若t=4，求PE的長;

（2）設PE=n2t，其中n為常數，且0<n<1，若t-r為定值，求n的值及∠EAB的度數.

2 關于試題中幾何圖形確定性的變式研究

2.1 完全確定圖形中的求值問題

很多幾何試題在題干中設定條件時為了讓圖形的可塑性更強往往是非完全確定的，當在后面小問中添加一些條件使圖形完全確后定，再選取其中一些元素作為要求值的問題便完成了一道試題的命制.既然命題者可以通過對圖形確定性的不斷強化來完成命題，那么相應的，作為試題資源的使用者亦可以通過這樣的方式進行變式，對題干中的非完全確定圖形賦予新的條件，使其完全確定后再評估要求元素的難易程度即可.接下來便從添加“值”與添加“關系”兩種方式對本題的第（1）問進行變式并各舉兩例說明[3].

2.1.1 用嘗試法取特殊值

本題第（1）問在給出半徑為3的情況下只需添加一個特殊角或除半徑以外的特殊邊就可以讓圖形完全確定，由于可選擇的面較廣，所以可以采用嘗試法.任取圖中一條邊或一個角對其賦值，但要充分考慮圖形本身的構造特點與其他已知數據之間的適配性，使賦的值合理、得體，且賦值后整道題的計算量不宜太大，運算過程也不宜太復雜，要以精簡的理念進行設計.以下是分別通過對一個角與一條邊賦值對題目進行變式的兩個案例.

變式1 （角的特殊值）（1）當r=3時，若sin∠PFE=1/3，求PF的長.

選擇對∠PFE賦值是因為它在圖形中處于中心位置，很多角如∠FBE、∠FEB、∠AFO、∠FAO、∠FBO都與∠PFE有著相等或互余的關系.為何將∠PFE的正弦值設定為13呢？這是基于兩方面的思考：一是1[]3[SX）]為常見的三角函數值;二是將這一數值代入題目中測算后發現符合學生的一般運算水平.因為EF∶EB=1∶3，在Rt△EBF中根據勾股定理可得EF∶FB=1∶22，再根據△PFE∽△PBF可設PE=x，PF=22x，PB=8x，可列方程32+（8x）2=（3+22x）2，解得x=3214，所以PF=67.

變式2 （邊的特殊值）（1）當r=3時，若FE=6，求PE的長.

如果說在變式1中選擇的賦值對象是易于與其他角建立直接聯系的，那么在本題中選擇對EF賦值而沒有選擇其他線段是因為想在變式1的基礎上適當增加一些推理要求.EF與直徑之間不存在直接相似關系，需要經過兩次相似代換才能讓關系顯性化.然而這樣列出的方程是一元四次方程，涉及到用換元法對其進行降次轉化，如果該方程的解不是一個完全平方數，學生便無法在實數范圍內求解.在經過多次嘗試后發現6符合這一要求，于是設BF=x，由勾股定理可得BE=6+x2，再由△AFB∽△BFE可列方程66+x2=x6，化簡得x4+6x2-216=0，令x2=u，則u2+6u-216=0，解得u1=12，u2=-18（舍），即x=23，所以EF∶FB=22，根據△PFE∽△PBF可設PE=y，PF=2y，PB=2y，列出方程32+（2y）2=（3+2y）2后解得y=32，所以PF=6.

2.1.2 用倒推法取特殊關系

賦予特定的值或關系，旨在讓圖形由非完全確定到完全確定.但從“關系”到“值”必經經過推理過程，這層推理既不能太淺顯也不能太復雜.若是賦值，一般我們可以隨意控制值的大小來調整試題的難度;若是賦予特殊關系，暫不考慮該關系是否成立，就算成立也無法預估解的復雜程度.考慮到變式后整道題推理的流暢性與可操作性，可采用倒推法，即先預設好某個元素的值，再看這個值與其他元素的值之間有怎樣的關系，然后從中選擇一個合適的關系作為新增條件并將其代入求解，經檢驗無誤后即可.以下便是用該方法分別賦予圖形一組角的關系和邊的關系對問題作出的兩個變式.

變式3 （角的特殊關系）（1）如圖2，當r=3時，∠POB∶∠AEB=2∶5，求BF2的值.

本題事先預設好了∠FOB=30°，通過計算可知∠AEB=75°，此時發現兩個角度比值的剛好為2∶5，于是將∠POB∶∠AEB=2∶5設定為要添加的一組角的特殊關系.只要設∠POB=2x，∠AEB=5x，就能得到∠FAO=∠AFO=∠PFE=x，且∠FPB=5x-x=4x，在Rt△OPB中，∠POB+∠FPB=2x+4x=6x=90°，從而求得∠FOB=30°，過點F作FH⊥OB于H，根據r=3可解得BF2=18-93.

變式4 （邊的特殊關系）（1）當r=3時，若PE∶PB=1∶4，求PF的長.

在預設線段PB的長為4后，根據勾股定理和相似知識可以相繼算出OP=5，PF=2，PE=1，發現PE與PB的比值剛好為1∶4，且這一組線段與本題的核心結構子母型相似有著密不可分的關系，便于學生利用相關結論尋求解決問題的思路，只要證明△PFE∽△PBF，就有PF2=PE·PB，設PE=x，PB=4x，有PF=2x，可列方程：32+（4x）2=（3+2x）2，解得x=1，即可算出PF=2.

2.2 非完全確定圖形中的確定性研究

在非完全確定圖形中很多元素是變化的，但也存在著很多不變的量或關系，以此展開的確定性研究一般可以分為“變化中的不變”和“任意中的確定”兩類[4]，本題第（2）問屬于“任意中的確定”研究.“任意中的確定”是指在命題中構建一種M×m+n模型，其中M是變量，m是可賦值的含參代數式，n為常數或只包含待定字母的代數式，只要令m為0問題就與變量M無關，從而求出定值.比如在這道題中r與t的值都是變化的（模型中的M），但只要n取特定的值使含n的代數式（模型中的m）值為0，r-t就不會隨著r與t的變化而變化.從命題層面看，本題到底是從任意出發通過探索找到有研究價值的確定，還是早已預設好了確定再將其推廣至任意呢？命題人究竟是從什么角度來設計問題的？這對于把握這類題型的核心結構有重要意義，這里就從“在任意中尋找有價值的確定”與“由預設好的確定推廣至任意”兩個方面研究[3].

2.2.1 在任意中尋找有價值的確定

2.2.1.1 將圖形參數化的初步嘗試

既然是從任意開始探索，那么就要將圖形中不確定的線段參數化，筆者共嘗試了三種參數設法以盡可能地還原命題者的真實想法.第一次是將凡是涉及問題的邊全部設為參數，即設PB=t，OB=r，PE=a，PF=b，在此基礎上可以列出兩個等量關系：b2=at和r2+t2=（r+b）2，但由于參數過多，很難構造M×m+n模型，進而無法聚焦圖形中邊的數量關系，最后以失敗告終.為了讓參數盡可能少一些，第二次利用了圖中相似與勾股定理的幾何關系設參數：PB=t，PE=a，則PF=at，OB=t2-at2at，但此時無法將a與t完整地提取出來以構造M×m+n模型，除非先令PB=OB，t2-at2at=t，即t-2at-a=0，等式兩邊同除以t可得1-2at-（at）2=0，再運用整體思想將該方程轉化為一元二次方程，可解得at=2-1，at正是題目中的n，但該結論在于脫離了PB=OB的引導性暗示，學生很難自主發現，結果還是放棄了.

2.2.1.2 任意中不任意的參數設定

前兩次的失敗都源于參數的設定過于復雜導致蘊含于其中的確定性關系被繁瑣的代數運算遮蔽了，最后秉持著簡約的理念來設置參數.抓住本題中核心相似的比例中項PE·PB=PF2，利用相似比構造避免開方的倍數關系，具體可以將PF設為nt，PE則為n2t，再運用勾股定理列出OB2+PB2=OP2后可得OB=t-n2t2n，此時OB與PB，PE，PF均可提取公因式t，后面剩下的部分也均為關于n的代數式，符合M×m+n模型的結構特征.在具體搭配時發現OB-PE會出現關于n的三次方程，問題不可解，而OB-PB相較于OB-PF有更強的幾何確定性，即∠POB為45°，最終確定將OB-PB作為研究確定性關系的對象，至此還原了試題的命制過程.由此可見，參數的設定是否合理對于命題與結論的發現起到了決定性作用，需要在探索的過程中反復實驗，以尋求最好的設法，讓暗藏于圖形中的確定性逐漸顯性化.

2.2.2 由預設好的確定推廣至任意

2.2.2.1 結構置換構造任意中的確定

在以上分析后，筆者又在思考：命題者是否有可能事先預設好了∠POB=45°，即OB=PB，然后通過幾何軟件發現無論圖形PB取何值，點E都是線段PB上的定比例點呢？若設PB為t，則OB=OF=t，PF=（2-1）t，由相似可得PFPB=PEPF=2-1，從而PEPB=（2-1）2=3-22，該比值正是原題中的n2.顯然，PEPB為定值是PB-OB為定值的充分必要條件，因此，將條件與結論互換問題依舊成立，但這種設計方式就應該是“當PB-OB=0時，求PEPB的值”.事實上題目中并未明確給出PB-OB的值，只是交代其為定值而已.此時相比于互換前看似缺失了部分條件，但由于其符合M×m+n模型，故依舊可解.這樣命題更能把握題目的整體結構與邏輯關系，也更顯條理性.在有了這樣的命題思路后會發現PB與OB除了相等還可以賦予更豐富的數量關系，對應的n也就有不同的取值.例如將∠POB的度數設置為60°，那么PB∶OB=3∶1，只要將原題中的PB-OB改為33PB-OB便可有如下變式.

變式5 （2）設PE=n2PB，其中n為常數，且0<n<1，若33PB-OB為定值，求n的值及∠EAB的度數.

因為PF2=PE·PB=n2t2，所以PF=nt，在△POB中利用勾股定理，得OB2+PB2=OP2，于是r2+t2=（r+nt）2，解得r=t-n2t2n.所以33PB-OB=3t3-t-n2t2n=（33-1-n22n）t，因為33PB-OB為定值，所以33-1-n22n=0，解得n=33（負值舍去），此時33PB-OB為定值0，∠EAB=30°，這依然是借助于M×m+n模型求出n的值，而算出的∠EAB的度數確實也與事先預設好的吻合.

2.2.2.2 建立問題的設計范式

繼續深入研究該圖形后發現，除了控制n的值可以使t-r的值隨之確定外，圖形中一對線段的比值確定后，其它每對線段的比值也隨之確定.如此一來，將其中一組定值視為“確定”，另一組定值視為“任意”，就可以對問題進行全新的變式.這類問題可以作更具普遍性的推廣：若一個幾何圖形中存在一些變量，將其記為M（M可以包含很多個子變量），同時還存在可以變形為A=a，B=b形式的兩個數量關系，其中A，B是由圖形中變量構成的代數式，a，b為確定的值，并且上述兩個等式不會隨著M的變化而變化，那么就可以進行如下問題設置：“當A為何值時，無論M取何值，B均為定值”，或者“當B為何值時，無論M取何值，A均為定值”.簡單來說，就是只要確保圖形在添加一組確定的數量關系后，能得到另一組不會隨變量變化而變化的數量關系，即可設計同類型的問題.由此又得到了以下兩種變式.

選擇AF∶FE、PF∶FO的值作為模型中a和b，令a=4∶1，可以求得b=2∶3，再將4∶1設定為要求的“確定”，將2∶3設定為要研究的“任意”，便有了變式6.

變式6 （2）已知AF=n2EF，其中n為常數，n>1，若OF-32PF為定值，求n的值.

根據△AFB∽△BFE，AF=n2EF可得AFBF=BFEF=n，根據△PFE∽△PBF可得PF=tn，PE=tn2，在Rt△POB中運用勾股定理有r2+t2=（r+tn）2解得：r=n2t-t2n.OF-32PF=n2t-t2n-3t2n=（n2-12n-32n）t，因為OF-32PF為定值，所以n2-12n-32n=0，解得：n=2（負值舍去），此時OF-32PF為定值0.事實上，若反過來設計問題也依然成立：已知OF=nPF，其中n為常數，n大于1，若AF-4EF為定值，求n的值，具體解法不多贅述.

利用這一變式一般性的方法，可以對原題作根本性變化.如將∠PBA的度數由90°改為120°，視OB-PB為a，視PE∶PB為b，當然，改變角度后少了一組相似，故無法用初中階段的幾何知識表示要研究的邊長，所以再作一條線段FG讓消失的相似再現，并將b改為PG∶PB的值，問題便迎刃而解，也就得到了以下變式. 圖3

變式7 如圖3，線段AB是⊙O的直徑，過點B作一條射線BC使得∠ABP=120°，點P是射線BC上的一個動點，連接PO交⊙O于點F，連接AF并延長交線段BP于點E，點G為線段BE上一點且∠EFG=30°，PB的長為t（t>0）.設PG=n2PB，其中n為常數，且0<n<1，若PB-OB為定值，求n的值及∠EAB的度數.

連接FB，過點P作PH⊥AB交于點H，易證△PFG∽△PBF，同上可得PF=nt，在Rt△PBH中利用三角函數可得BH=t2，PH=3t2，于是（r+t2）2+（3t2）2=（r+nt）2，解得r=n2t-t1-2n.所以PB-OB=t-n2t-t1-2n=（1-n2-11-2n）t，因為PB-OB為定值，所以1-n2-11-2n=0，解得n=3-1（負值舍去），此時PB-OB為定值0，∠EAB=15°.由此看來，此類變式在套用模型的同時還要關注過程的可行性、圖形結構的特殊性等方面，否則會造成可解但不好解的狀況發生.3 寫在最后

本文將有關圖形確定性的命題分為了兩大類，一類是完全確定圖形下的求值問題，一類是非完全確定圖形下任意中的確定問題.對于第二類，筆者只是大膽地揣測了兩種可能的命題思路，但疑惑并沒有解開.為此筆者聯系到了命題人，在將兩種設想與命題人短暫地交流過后，命題人堅定地認為自己采用了第一種方式，甚至也出現了上文中提到的兩次失敗經歷，至于為什么恰好構造了45°，命題人形容它為一個來之不易的“美麗巧合”.話雖如此，命題人對筆者提出的第二種命題方式以及各種變式敬佩之情溢于言表，認為在逆向設計的新視角下讓此類問題的命題范疇更加寬廣了，條件與結論的設定也更為靈活了.而筆者提煉出的一種新的命題范式給出了圖形確定性命題探索的新策略.其實每一道原創題誕生的背后都有著命題人的巧妙構思與精心設計，當我們通過題文去揣摩命題人的初心并產生各種設想時，其衍生出來的價值早已超出了題目本身.

參考文獻

[1]史可富，錢德春.加強數學命題研究，提升教師命題能力[J].中學數學教學參考（中旬），2021（09）：60-62.

[2]史可富，錢德春.加強數學命題研究，提升教師命題能力（續）[J].中學數學教學參考（中旬），2021（10）：70-72.

[3]陳紀韋華，陳秀娟.一題兩翼，“形”“理”兼得[J].中學數學雜志，2020（04）：39-41.

[4]錢德春.變化中的不變任意中的確定[J].中學數學雜志，2019（08）：32-35.

作者簡介 周煉（1992—），男，江蘇泰州人，中學一級教師;曾獲江蘇省青年教師初中數學教學基本功大賽一等獎，泰州市“五一勞動獎章”“五一創新能手”，泰州市卓越教師培養對象，泰州市教壇新秀.

基金項目 2021年泰州市中小學教學研究第十三期重點立項課題“雙減背景下指向深度學習的初中數學例習題設計研究”（課題編號：tjyzd2021-009）.