析典型錯解，促深度學習

王德貴　林黎明

[摘? 要] 以福建省2021年中考卷第20題為例，串聯往年同類型題目進行深度分析. 探尋學生解答路徑，剖析學生解答情況，挖掘其隱藏思維，給予深度學習提示. 針對此類試題提出數學教學的對策，在教學中培養學生學科思維，讓學生能夠在 “硬知識”之外，體驗更深刻的學科思維方法，進一步提升解題思維的層次性，促進學生知識點和能力點雙驅并行和落地生根.

[關鍵詞] 深度學習;思維;錯解

福建省2021年中考卷第20題主要是方程與函數的結合考查，從實際情境出發，體現了從情境到數學的數學化過程，既彰顯數學價值，也聚焦學生數學運算、數學建模等核心素養的培育. 不管在教還是學，都給予十分重要的地位. 但是學生在答題時候，失分情況頻出，比如在計算、邏輯思維、解題習慣等方面，結果并不盡如人意. 筆者以此題為例進行試題串聯分析，結合學生答題失誤產生原因出發，思考促進學生深度學習的教學對策.

析試題

（一）試題呈現

（福建2021）某公司經營某種農產品，該農產品零售一箱的利潤是70元，該農產品批發一箱的利潤是40元.

①若該公司某月賣出100箱這種農產品共獲利潤4600元，問：該公司當月零售、批發這種農產品的箱數分別是多少？

②經營規定，該公司零售的數量不能多于總數量的30%. 現要經營1000箱這種農產品，問：應如何分配零售和批發的數量可以使總利潤最大？最大總利潤是多少？

本試題知識點包括列方程（組）解應用題、解二元一次方程組、一次函數的性質等. 通過回顧2020年中考卷第20題，發現背景相同，考查內容近乎相似. 現將2020年中考卷第20題呈現如下：

（福建2020）某公司經營甲、乙兩種特產，其中甲特產每噸成本價為10萬元，銷售價為10.5萬元;乙特產每噸成本價為1萬元，銷售價為1.2萬元. 因有關條件影響，該公司每月這兩種特產的銷售量之和都是100噸，且甲特產的銷售量都不超過20噸.

①當某月該公司銷售甲、乙兩種特產的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售甲、乙兩種特產各多少噸？

②求一個月該公司銷售這兩種特產所能獲得的最大總利潤.

本試題知識點考查一元一次方程、一次函數性質等知識. 中考函數類應用題總體上有異曲同工之處，現將其串聯進行考點綜合分析.

第一問是方程型應用題（2017二元一次方程組，2019一元一次方程及不等式），題目賦予了生活情境，能從學生已有的生活經驗出發，讓學生感受到數學來源于生活，又應用于生活，彰顯了數學的應用價值，有利于引導學生聯系生活實際，培養學生的數學應用意識.

第二問是函數型應用題（2018二次函數型應用題，2020、2021一次函數型應用題），綜合考查學生閱讀素養、提取有效信息、解決問題的能力，充分體現了創新性和綜合性強的特點，還關注到初高中數學知識的銜接.

（二）試題評析

方程（組）、不等式（組）及函數是“數與代數”知識領域的核心內容，各知識體系之間聯系緊密，數學建模過程也較為類似，考查了學生的數學基本素養及應用能力.

兩年中考的列方程（組）解應用題是基于數量關系解決實際問題，呈現的特點如表1所示：

1. 起點低：第一問根據賣出100箱這種農產品共獲利潤4600元，列出二元一次方程組，解方程組即可. 第①小題相對2020年的考題更容易入手，因為利潤是直接給出，而2020年試題利潤的計算需要售價減成本得到.

2. 坡度緩：第二問通過題干給出條件可得到零售數量不能多于300箱，難度上升較緩，再通過設問，思考零售和批發的數量的分配，得到最大總利潤，從而將考題從考查基礎知識向考查數學能力上轉換.

3. 關注思想方法：考查學生運算能力、應用意識、函數與方程思想. 分析問題中數量及其關系，以方程或不等式為工具，合理構建數量之間的相等或不等關系是解決實際問題的關鍵.

找錯因

（一）數學學習興趣缺乏

答題區域直接留白，零基礎知識抑或止步于設元，無從下手;這類學生在數學學科學習上缺乏動力和興趣，解題意志薄弱.

（二）數學運算素養薄弱

1. 運算方法或規則遺忘

本題最較為可惜的是在設元的基礎上，能列出正確方程，遇到攔路虎——解方程，計算錯誤或未計算，導致無法得滿分.

還出現這樣的情況：設零售農產品為m箱，利潤為w，得w=70m+40（1000-m）=30m+4000（或是w=100m+40000）等情況.

2. 運算對象理解的偏差

學生在讀題時候，題中出現多個數據，但是他們并未將數據轉成相應含義，列式中數據張冠李戴，對于運算對象理解出現偏差. 比如將第①小題列出零售和批發利潤混淆，列出錯誤等式. 第②小題產生錯誤原因主要在于：一是對于第二問中“1000箱”與第一問中“100箱”沒有進一步思考數量作用和條件，還有將第①小題所求得數字“20、80”當成利潤參與計算;二是并未弄清楚最大利潤的影響因素或存在條件.

3. 運算思路建構遇到關鍵障礙

運算思路的正確構建是解題核心，其中包括算理、運算對象及運算方法的有機整合. 在本題第①小題，大部分同學選擇列方程求解，可以設一個或者兩個未知數. 但設兩個未知數的前提下，卻只列一個等量關系或兩個等價方程，二次、一次方程組概念不清，導致無法求出結果.

本題第②小題求的是最大利潤，很多學生由于數學閱讀能力缺乏，提取有效的信息產生困難;部分學生知道數量是求出最大利潤的關鍵，不能準確根據題中信息獲取題干中“不超過300件”，沒有關注到“不超過”的數學符號語言轉譯;很多學生直接選代299，出現代入的錯誤，導致利潤的計算錯誤. 運算思路的構建遇到關鍵性的障礙，比如閱讀理解能力的問題. [1]B2264677-4A1F-4184-8A4D-F1E51C01F55E

（三）數學建模意識淡薄

函數類應用題以實際背景為軸，將數學知識穿插其中考查. 數學建模并非解決單一問題，而是觸類旁通，獲得解決一類問題的模型和方法. 很多學生不知道從何入手，不能自主根據不同情境進行數學抽象. 按理來說，2020年中考卷已出現，2021年同樣“利潤”類型，學生腦中應該能浮現模型解決思路，然而現實并非如此，學生忽視建模過程而望“模”卻步，解答缺乏有根據的算術解答或出現直接放空等情況. 特別是在最后一問中對于題目要求“利潤最大值”，部分學生通過讀題得出零售數量300，利用1000-300=700得出批發數量，進而代值得出利潤. 這部分學生沿襲小學解決應用題的算術解方法，細節說明不到位，還未能確立該實際問題應選用的函數模型，建立數學模型產生障礙.

（四）解題習慣不佳，反思不到位

從答題情況反饋：一是可以看出有相當一部分學生在考試中讀審題時囫圇吞棗，上下文數據矛盾，一個符號或一個數字都會影響得分;二是很多學生解題步驟書寫不規范，像是想起什么補什么，思路混亂;三是步步有據欠缺，學生答題重結果呈現，而不重視說理，很少反思所列式子或結果是否合理等.

思對策

方程與函數模型從小學四年級數式到六年級方程，再從七年級上冊開始就不斷進行演化. 可以發現，中考試題的編制絕非騰空而降，在尋找試題源頭中會發現：雖“殊途”但“同歸”. 中考試題大都是教材的原題或改編題，變換某一些條件或者以不同實際背景呈現，形不同，質相近. 然而學生經過多次學習和訓練，都不能很好地透過現象識別本質，無法精準選擇知識和解答策略進行正答，這引人深思. 那教師應如何推進數學教學環節或者學生接收知識反饋，才能有效地教與學呢？

在結合已考試題的分析和研究，從命題者角度、學生答題思維角度反觀我們的數學教學，思考解決的教學對策，從而在培育核心素養下促進初中生的深度學習.

（一）激發學生學習數學興趣

在數學學習意愿層面上，教師應關注學生興趣的調動. 數學知識設計富有趣味性，能提高課堂的參與感和學生體驗感. 教師應經常與學生交流，涵蓋學習交流和情感交流，幫助學生建立學習的自信心，維持興趣的持續性. 還要發揮自身人格魅力影響學生，正所謂“親其師，信其道”，師生的有效交流是影響學生對數學學習評價的重要因素.

（二）培養數學運算素養

2022版的義務教育數學課標中運算能力主要指能夠根據法則和運算律正確運算的能力. 2017版高中數學課標也闡明了數學運算是解決問題的素養. 二者都充分彰顯數學運算的重要性，是數學的一項基本素養，被生動地稱為數學中“童子功”，主要強化數學運算素養培養.

1. 明晰運算對象，確定運算方向[1]

加強算理和算法教學，讓學生在學習中意識到公式法則概念等知識產生的合理性和必要性，這樣形成的記憶更有章可循，具有持久性.

2. 強化學生基礎計算程序記憶

學生在平時練習中遇到應用型題目時，不僅要列出式子，還要寫計算過程，強化基礎性運算程序的記憶;除了要教給學生正確運算程序，教師還應多板演，板書關鍵計算步驟，不過分追求答案準確性，規范學生運算的書寫. 還可借助投影等設備有意識地展示常見錯誤，讓學生發現錯誤并找到錯因，訂正錯誤，在反思總結中規避錯誤;收集和設計變式訓練、辨析計算，在運算過程中可進行一題多解、多題一解、一題多變的訓練，促進學生思維靈活性的提升和運算程序的選擇優化，從而更好在試題中快速、準確地運算出正確結果.

3. 疏通運算思路節點

解題關鍵一環在于運算思路的正確構建. 經過長期學習，大部分學生對于很多問題會有基本思考和想法，但是隨著題干條件給出方式或求解途徑不同，會在答題細化上存在障礙. 因此教師在指導學生學習的時候，要注重幫助學生識別問題的類型，在關鍵思路障礙點給予分解，搭建腳手架幫助學生跨越障礙，精確建構運算思路和解題計劃.

4. 加強“數學閱讀”訓練

語言文字是思維的外殼，學生閱讀能力強也是其綜合能力的體現. 教師在教學中應注重培養學生數學閱讀能力，有意識傳授學生閱讀方法和技巧，從而使其閱出數學特色，讀出數學語言內涵，形成正確的數學理解. 人教版教材中數學活動、閱讀思考、信息技術等專題設置的有效利用，是促讀促思的好素材.

那如何進行正確數學閱讀呢？閱讀模式大致可以這樣進行：有意識引導學生在讀題中有選擇地提取題目關鍵詞（信息），激活學生相關問題圖式，從而做出初步的判斷或假設，在進一步讀題和問答中逐步完善豐滿圖式，尋找支撐圖式的“證據”.

在閱讀20題時，首先，選取熟悉的關鍵詞——利潤，激活自身儲備的利潤解決問題的圖式，預測解題的可能情況，其中讀題中強調利潤問題中相關名詞的含義，從而有意識進行題中數據（如40、70等數據）和預測情況中量的匹配，解決誤解. 其次，有效提問，幫助學生梳理已有圖式和題中數據之間的關系，修正理解. 如100、4600分別指的是零售和批發總數量和總利潤，而不是其中某一個. 特別是第②小題中利潤未知情況下，求零售和批發的數量，與第①小題數量、利潤并沒有直接關系，學生很容易搞混兩次數量. 這時候教師就應適時點撥，為什么出現“最大利潤”？哪一個或幾個量的變化導致的？讓學生結合情境再次修改和完善. 最后，越過障礙，構建清楚思路，書寫過程.

（三）提高數學建模能力

數學本身就是集“數學化”與“生活化”于一身的完美的思想材料[2]. 教師應讓學生獲取知識的同時密切聯系其相應實際背景，如此一來，既能幫助學生理解知識，增加學生的數學活動經驗，還能發展學生的數學能力. 因此還原方程原始的生長點，不僅僅停留于其數學主題，還應該在教學中嘗試多樣化，讓學生體驗到數學與生活緊密聯系，這樣的學和教才更具有價值.B2264677-4A1F-4184-8A4D-F1E51C01F55E

方程類應用題除了從實際問題中抽象出數學問題，還糅合其他知識點，當然還包括計算能力等. STEAM學習是在符合學生認知規律的前提下，重視由貼合學生生活實際問題入手，充分調動學生綜合知識的梳理和應用能力，解決問題的過程中包括數學結果，數學結果的形成過程中蘊含的數學思想方法[3].

大致可以這樣進行本類型的教與學：實際問題情境—創設建模機會—資源查找—初建模型（方案）—合作探究—尋找最優解—總結評估反思—積累活動經驗，獲取知識，教師在當中更多充當引導者和組織者的角色.

比如教材中例題：有大小兩種貨車，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運貨15.5噸. 6 輛小貨車與5輛大貨車一次可以運貨35噸，5輛小貨車與3輛大貨車一次可以運貨多少噸？在最開始的教學中，在教師的提示下，一些素質比較好的學生能輕易解決. 這些學生雖能解答此道題目，卻未意識到當中包含數學與生活的關系，何談數學建模的應用？如果將題中給的有大小兩種貨車給予一定具體實際情境，題目中的數據讓學生自己去了解情況和收集數據，再到解決問題，最后探究延伸性問題（比如運輸利潤、路線設計等），學生會在參與中發生學習，學會真正學習. 在建模過程中，體會到“運用數學的視角去觀察世界，用數學的思維去分析世界，用數學的語言去表達世界”，那么這一類項教學想必更能扎根學生的記憶，更具應用性，更有人情味.

（四）重習慣促反思，培養數學思想方法

教師在教學中，除了要備好教材、課標、學生等，還要關注知識蘊含的數學思想方法，不應停留于形式化，要設置符合學生認知規律的系列教學活動，讓其經歷數學化活動進而形成自己的數學思維方式. 在解題中應該貫徹讀題—審題—解答—檢查這四部曲. 練習中要帶領學生讀題，教會學生審題，明晰列舉出已知條件、數據含義，再進一步挖掘潛在信息，最后由待求未知尋找已知條件聯系，分析解題切入口，關注養成理清前后邏輯思維順序后再書寫的習慣.

做練習時注重“回頭看”這一環節，經常讓學生做解后反思，扣好最后關鍵一環. 可通過教師提問或鼓勵學生自問、生生討論等方式，思考解題過程中如何找到思路，關鍵突破口在哪，主要困難是什么？整理清楚思考的先后順序，對比老師和同學思路，評價整合調整自身思路，從而找到最優思路，產生同化一類題型的通性通法. 教師也可多利用元認知提示語促進學生更深刻的解后反思，如：這是屬于何種類型的問題？此類問題最開始認識是什么？根據題目條件和結論修正什么認知，生成怎樣的解題策略？是否經歷同類型的題目？具備什么條件可以推廣？跟別人思路相比，差異在哪，是否有優化思路必要？為什么沒有想到？走了哪一些彎路……由此不僅能再次梳理和深化整道題目解決思路過程，還能推進思維的深度性，發展學生的數學建模和數學運算素養.

教師要重視培養學生良好解題的習慣，扣好解后反思這一環，做好數學思想方法的輸入. 平時重習慣，考場成自然;習慣養得好，分數失得少.

測試的目的是評價，評價的目的是改進教學. 通過對已考試題的探尋和研究，教師們多關注和思考試題“為什么這么考”深層內涵，挖掘教、學、考、研四者間的有機聯系. 教師在教學中要更好地使用教材，進行全方位的頂層設計和調動，包容學生錯誤合理性，不斷激發學生主體自覺參與，讓其體驗完整的數學生活，幫助學生強化深度學習，提高教與學的效益. 教師還要從學生知識掌握中升華培育其核心素養，助益學生的可持續發展，真正落實教學為“培養人”而服務.

參考文獻：

[1]呂銀愛，董濤. 基于數學運算素養的解題分析與教學建議[J]. 福建基礎教育研究，2019（11）：61-63+89.

[2]曹一鳴. 數學教學中的“生活化”與“數學化”[J]. 中國教育學刊，2006（02）：46-48+58.

[3]林玉蘭. 基于STEAM教育理念的初中數學課程設計及實踐研究[D]. 廣西師范大學，2020.

基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2021年度課題《基于弗賴登塔爾的教學思想下的初中數學“一題一課”深度學習教學實踐研究》（課題編號：FJJKZX21-462）.

作者簡介：王德貴（1976—），本科學歷，中學高級教師，教研員，從事初中數學研究、服務、指導等工作，曾獲得福州市教育系統先進教育工作者、“福州市中小學（幼兒園）骨干教師”稱號.B2264677-4A1F-4184-8A4D-F1E51C01F55E