例談分類討論思想在初中數學解題中的運用

張家豪

（徽縣虞關鄉初級中學 甘肅 徽縣 742300）

數學思想方法是數學的靈魂,它們都具有持續性、可遷移性，對數學課堂教學具有導向性作用。分類討論思想體現出了人們分析和解決問題的先進智慧，不論是在生產活動、科學實驗，還是日常生活中都會用到這種思維，它是從古至今人們常用的重要思想方法之一，當然，分類討論思想也符合初中生的思維發展特點。因此在初中數學教學中，教師要注重數學分類討論思想方法的滲透,它能有效地幫助學生了解數學的解題思路，提升數學思維能力。

近幾年來，多地中考數學試題中頻繁涉及“分類討論”的有關問題，既是考查學生對基本知識與基本技能的靈活運用，又反映出學生數學思維的邏輯性、嚴謹性與思考問題的深度。學生在解答這類問題時，往往會因考慮不周全而導致失分。因此，在平時的教學與解題訓練中，教師完全可以根據學生的實際情況，在課堂教學中結合具體內容，積極引導學生通過獨立思考、交流分享等方式，讓學生從中獲得新的認識、感悟到新的思想內涵，努力培養學生思考問題的條理性和嚴謹性，不斷提高學生分類討論思想的自覺意識與靈活運用的能力。下面筆者結合具體案例談談 自己在初中數學日常教學中對分類討論思想運用的一些做法與體會。

1.在定理證明題中恰當運用分類討論思想

定理證明是指數學領域中對臆測的定理尋求一個證明，證明定理時，不僅需要有根據假設進行演繹的能力，而且需要有某些知覺的技巧，這是一項需要智慧和能力才能完成的任務。在定理教學中，我們要多聯系已有的數學知識，多角度探究定理的證明方法，在此過程中加強對分類討論思想的應用，讓定理證明教學更加完美，更具數學內涵。如人教版9年級上冊第86頁，圓周角定理的證明問題。

教學分析：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。證明時在☉O上任取一個圓周角∠BAC,沿AO所在直線將圓對折，由于點A的位置不同，折痕會有三種不同的情況，分別是（1）在圓周角的一條邊上；（2）在圓周角的內部；（3）在圓周角的外部。折痕所在的位置則充分體現了分類討論的數學思想。引導學生分析第（1）種情況時，可以很簡單的就推導出圓心O點在∠BAC的一條邊上。因為OA=OC，所以∠A=∠C，又因為∠BOC=∠A+∠C所以∠A=1/2∠BOC。對于第（2）（3）種情況，可以通過添加輔助線的方法,將它們轉化為第（1）種情況，從而得到相同的結論。在定理證明題的教學中通過正確應用分類討論思想，使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答。圓周角定理的證明，整個過程不但思路明確，方法簡單，而且可以按照既定的分類步驟有序推進，既能訓練學生數學思維的敏捷性，培養學生的創新思維，提升學生的數學素養，又能豐富學生的知識視野，讓原本無處著手的問題分析情況變的有條不紊了。

2.在含參數的函數與方程題中綜合運用分類討論思想

函數與方程是初中數學“數與代數”模塊中最為重要的組成部分，這類問題的解決也一直是數學教學的重點與難點。同時“函數思想”“方程思想”等又是重要的數學思想方法。在解決這類問題時，準確靈活地運用分類討論思想能夠讓解題過程更完善。如在已知函數y=（t-1）x2+（t-2）（t是實數），如果函數的圖像和x軸只有一個交點，求t的值。針對這類包含函數方程的問題解決中，首先要對涉及的函數和方程進行具體的以下教學分析。

教學分析：本體給定的條件是函數，但不能確定是一次函數還是二次函數，所以需要根據t的不同取值，進行分類討論。當t-1=0,即t=1時，函數就是一個一次函數y=-x-1,它與x軸只有一個交點（-1,0）；當t-1≠0時，函數就是一個二次函數y=（t-1）x2+（t-2）x-1，要使得函數圖像與x軸只有一個交點，需滿足Δ=（t-2）2+4（t-1）=0，得t=0，拋物線y=-x2-2x-1的頂點（-1,0）在x軸上。

又如：關于x的方程（k-1）x2-4（k+1）x+4k=0，當x在實數范圍內時存在實數根，求滿足條件的實數k的取值范圍?？吹竭@類問題，教師首先要將x的取值范圍進行針對性的分析，從實數的范圍界定之后，進而根據不同的情況開展分類討論分析。

教學分析：已知并未說明是關于x的什么方程，因此，就要對二次項系數是否為0進行分類討論.顯然當k-1=0，即k=1時，該方程可整理為一元一次方程-8x+4=0,解得實數根。而當k-1≠0，即k≠1時,方程為一元二次方程，由方程存在實數根的條件，可得Δ=[-4(k+1)]2-16k(k-1)≥0，解得，所以當且k≠1時，方程有實數根。綜上所述，時，方程有實數根。上述有關函數與方程實際應用的解題教學，通過對定義本身的解讀。如果題設條件中沒有指明相關字母的取值，那么由于字母本身的不確定性，必須考慮字母所有可能的取值，結合相關知識體系進行分類討論。

3.在動態問題中精準運用分類討論思想

動態問題是數學中“經久不衰”的經典問題，圖形中的點、線的運動，構成了數學中的一個新問題——動態幾何問題。在解決這類問題時，由于學生分類討論的意識不敏感，畫動態變換過程中的靜態示意圖的習慣沒養成。對數學分類討論思想的重視程度僅限于教師強調后的被動了解或接受,自主研究、自主提煉意識不到位,數學解題策略與思考途徑、步驟等概括不明顯，導致解題過程不完備，錯解、漏解現象迭出。如圖，AB是O的直徑，弦BC=2cm，F是弦BC的中點，∠ABC=60°，若動點E以2cm/s的速度從A點出發沿著A→B→A方向運動，設運動時間為t（s）（0≤t<3），連接EF,當ΔBEF是直角三角形時，求t（s）的值。

教學分析：若ΔBEF是直角三角形，則有兩種情況：∠BFE=90°,∠BEF=90°；在上述兩種情況所得到的直角三角形中，已知BC邊和∠B的度數，即可求得BE的長；AB的長易求得，由AE=AB-BE即可求出AE的長，也就能得出E點運動的距離，根據時間＝路程÷速度即可求得t的值。

解析：∵AB是0的直徑，∴∠ACB=90°，RtΔABC中，BC=2，∠ABC=60°，∴AB=2BC=4cm。①當∠BFE=90°時，RtΔBEF中，∠ABC=60°,則BE=2BF=2cm，故此時AE=AB-BE=2cm，∴E點運動的距離為：2cm，故t=1s，所以當∠BFE=90°時，t=1s；②當∠BEF=90°時，同①可求得BE=0.5cm，此時AE=AB-BE=3.5cm，∴E點運動的距離為：3.5cm，故t=1.75s；③當E從B回到O的過程中，再運動的距離是：2（4-3.5）=1cm,則時間是：1.75+0.5=2.25s。

綜合上面三種情況可以得出這樣的結論，當t的值為1s或1.75s和2.25s時，ΔBEF是直角三角形。當然某些問題在一級討論的基礎上還需進行二級討論，如第二類當∠BEF=90°時，又分為A→B和B→A兩種情況?？傊诸惖慕Y果只能讓具體的問題更加細節化。

4.在生活問題中有效運用分類討論思想

在一些實際應用問題中，也存在由于變量的不同取值導致結果不同而需要進行分類討論的情況。解決這類問題時，需分析問題變量在整個過程中的不同取值產生的不同結果，把他們一一羅列出來，系統地進行分類，才能正確求解，讓問題的解決更趨全面。如某超市五一期間舉行促銷優惠活動，方案一：憑50元錢購買會員卡，憑會卡購買超市內商品享受八折優惠；方案二：若不購買會員，則購買超市內商品只能享受九折優惠。若按照方案一購買商品應付款額為y1元，若按照方案二購買商品應付款額為y2元，購買商品的價格為x元請用含有x的代數式表示y1和y2；購買商品的價格在什么范圍內，如何選擇購買方案更劃算？生活中這樣的數學實際事例比比皆是，要讓數學成為學生解決實際問題的工具，分類討論這一環節必不可少。

教學分析：（1）y1=50+0.8x，y2=0.9x；（2）當y1>y2時，50+0.8x>0.9x解得x＜ 500；當y1=y2，時，50+0.8x=0.9x,解寫x=500；當y1500；所以當購買商品的價格小于500元時，選擇方案二更劃算，當購買商品的價格等于500元時，選擇兩種方案一樣劃算，當購買商品的價格大于500元時，選擇方案一更劃算。從整個教學的過程和案例分析我們不難看出，分類討論思想在初中數學解題中的運用是極其廣泛的。合理地運用分類討論方法思想，可以簡化研究對象，清楚地暴露問題的原有特性，使題目中的限制條件更加明確、問題相對容易解決。當然，在運用分類討論數學思想解決問題時，必須明確分類的標準，遵循不重復、不遺漏的分類討論的原則。當然，分類不是萬能的，不是唯一的，能夠避免分類討論的要盡量回避，切不可盲目地運用，要認真審查題目特點，從而提高分類討論的效果。

綜上所述，分類討論思想在初中數學教學中可以說是占據了主流部分，從分類中探討問題，在歸納中分類梳理，從而達到解決問題，掌握方法的教學目標，這本身就是分類討論思想的優勢所在，特別是常常碰見的概率問題，在解題當中更是蘊含豐富的分類討論思想方法，只有合理運用，才能有效解決數學實踐中的具體問題。因此，作為初中數學教師，只有在教學中進一步探究分類討論教學的方法和方式，不斷啟智學生的思辨能力，并創造性的將分類討論思想融入到具體的數學實踐中，才能讓數學教學更加突出具體問題具體實踐探究的意義，才能夯實學生數學思維培養的基礎。