借助數學實驗 促進思維發展

[摘? 要] 文章以波利亞“實驗教學”理論為背景，以幾何繪圖軟件GeoGebra為教學工具，以繪制圓錐曲線為載體，開展實驗教學，實現“玩中思”“思中做”“做中學”，培養“四能”能力，發展數學核心素養，促進可持續發展.

[關鍵詞] 實驗教學;GeoGebra;圓錐曲線

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《數學課程標準》）提出要將數學學科核心素養的培養貫穿教學活動的全過程. 在教學實踐中，要不斷探索和創新教學方式，鼓勵并引導學生體驗學習、合作學習，不僅重視如何教，更要重視如何學，引導學生學會數學學習，養成良好的學習習慣;要努力激發學生學習數學的興趣，促使更多的學生熱愛數學.

在“互聯網+”時代，信息技術的廣泛應用正在對數學教學產生深刻影響. 因此，在教學中，應重視信息技術與數學教學的深度融合，改進課堂教學，轉變教學與學習方式，實現傳統教學方式難以達到的效果.

問題提出

實驗作為一門基礎學科科學研究的基本方法之一，數學也需要實驗. 著名數學家和數學教育家波利亞曾指出：數學有兩個側面，一方面，它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面來看，數學像是一門系統的演繹科學;另一方面，創造過程中的數學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學. 數學實驗教學能夠激發學生學習數學的興趣，提高學生的思考能力，并在實驗的過程中促進學生“自主探索和合作交流”的能力，提升學生的數學素質.

從教學過程的角度來看，數學實驗不只為了讓學生去“做”，還為了讓學生去“思考”. 學生處在一種“數學研究”的位置上，通過觀察、探究、操作，把感知、理解、體驗融合為一體. 在已有經驗的基礎上，完成更復雜的思維加工過程，從而對數學學習內容進行深度加工，促進學生對數學概念、數學規律的深度理解.

在數學教學中開展數學實驗活動，信息技術是學生學習和教師教學的重要輔助手段，幾何繪圖軟件GeoGebra可以完成大量的初高中數學的繪圖工作. 因此，在教學中，可以將軟件GeoGebra與數學課程深度融合，開展數學實驗活動，實現傳統教學手段難以達到的效果.

圓錐曲線是高中解析幾何課程的重要內容，也是高考考查的重點內容. 但是學生在這部分內容的得分并不高，很多學生見到這類問題就硬套韋達定理，重復大量的計算，不能將圖形中的幾何特征用代數方程表達出來. 而我們在講授圓錐曲線時，都投入了大量的時間和精力，結果卻是學生聽得懂想不到、看著會做不對. 究其原因，主要是學生學習圓錐曲線時更多的是被動觀察和機械操作，缺少思維的參與過程.

2020年11月，筆者參加了北京市第六屆示范性高中同課異構活動，利用軟件GeoGebra進行了實驗教學，講授的是“用交軌法繪制橢圓、雙曲線、拋物線”一節課.通過備課、上課、評課及研討，基于核心素養的培養，對本節教學內容進行了一些修改，較好地實現了學生經歷知識的形成和發展過程.

前測試題

授課對象是北京市通州區一所普通中學的學生，這些學生的數學基礎一般，數學運算能力比較薄弱，對圓錐曲線的定義以及圓錐曲線中代數與圖形關系的轉化的理解不到位. 學生初中時學習過一些簡單的軌跡問題，具備一定的作圖能力，高中在講授橢圓、雙曲線、拋物線時利用繩、拉鏈、三角板等工具通過機械作圖方式繪制過它們的圖形;另外，教材中有關于橢圓和雙曲線作圖的探究活動，已經提前布置給學生進行探究. 學生對使用軟件GeoGebra進行學習有很高的興趣和積極性，而且已經初步了解了軟件GeoGebra，能根據需要進行簡單操作.

為了進一步了解學生對基本尺規作圖和橢圓、雙曲線、拋物線定義的掌握情況，筆者設計了以下兩個問題：

（1）圓錐曲線的定義：①橢圓的定義;②雙曲線的定義;③拋物線的定義.

（2）基本尺規作圖：

①平面內，到一個定點的距離等于定長的點的軌跡是什么？并作出圖形.

②平面內，到一條定直線的距離等于定長的點的軌跡是什么？并作出圖形.

③平面內，到兩個定點的距離相等的點的軌跡是什么？如何作出線段AB的垂直平分線？并作出圖形.

④平面內，到一個角的兩邊的距離相等的點的軌跡是什么？如何作出∠AOB的平分線？并作出圖形.

尺規作圖是手與腦的融合，是深層次的“做中學”，是學習幾何的有效途徑. 通過作圖，學生實現把零散的概念和幾何事實融會貫通，從而更加深刻地領會幾何圖形的特征及性質.

教學片段

1. 繪制拋物線

活動1：利用軟件Geogebra通過尺規作圖方法繪制拋物線，并說明作圖的理由.

講授新課時，利用直尺、細繩等工具通過機械作圖繪制拋物線，學生很容易想到機械作圖時利用線段的中垂線繪制拋物線的方法.

師：（如圖1所示）你能說出這樣作圖的理由嗎？

生：作到定直線l的距離與到定點F的距離相等的點P，首先作出直線l的垂線，垂足為A，連接AF;要滿足PA=PF，即點P到兩定點A，F的距離相等，則點P在線段AF的垂直平分線上.

師：點P的軌跡為什么是拋物線？

生：因為不論點A在定直線l上的任何位置，線段AF的垂直平分線上的點P到線段AF兩端點的距離都相等，即始終滿足PA=PF.

師：非常好，也就是把“到定點與到定直線的距離相等”轉化成了“到定直線的距離”和“到定點的距離”兩個步驟來完成.

師：到定點的距離還會讓你想到什么圖形？

生：圓.

師：很好，那么能否利用圓的性質作出拋物線呢？

生：（如圖2所示）作出到定直線l的距離為定長AB的直線m，再以定點F為圓心，作出半徑為AB的圓，圓與直線m的交點P的軌跡即為拋物線.

師：太好了！同學們，我們還知道角平分線上的點到角兩邊的距離相等，能否利用角平分線的性質作出拋物線呢？要先作出什么圖形呢？（如圖3所示）

生：需要一個角.

師：角的兩邊分別在哪兒？

生：定直線l就是一條邊.

師：那另一條邊沒有怎么辦？

生：過定點F作一條直線m和直線l相交就得到了一個角.

師：非常好，那么這個角的角平分線n就可以作出來了，如何再繼續作出到定直線l的距離與到定點F的距離相等的點呢？

學生經過嘗試得知：過定點F作直線m的垂線，與角平分線n的交點P即滿足PF=d（d為點P到定直線l的距離），從而得到拋物線.

師：同學們太棒了！我們作出了到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡，你還有什么大膽的猜想和嘗試嗎？

生：到定點的距離與到定直線的距離不相等的點的軌跡又是什么圖形呢？

2. 圓錐曲線定義的統一性

活動2：利用軟件GeoGebra通過尺規作圖繪制“到定點F的距離和到定直線l的距離之比不等于1”的圖形，并說明作圖理由.

師：由同學們作出的“到定點F的距離與到定直線l的距離之比為不同的值k”的圖形，你可以發現什么結論？

生：當k>1時，軌跡為雙曲線;當k=1時，軌跡為拋物線;0<k<1時，軌跡為橢圓.

師：這個結論是否正確呢？我們具體來操作一下.

利用軟件GeoGebra動態演示“到定點F的距離與到定直線l的距離之比為k（k>0）的點的軌跡”. （如圖6所示）

學生經歷了從特殊到一般，再從一般到特殊的研究過程，使得圓錐曲線定義的統一性水到渠成. 學生經歷了發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，在這個過程中，思維得到了很好的鍛煉與發展.

師：回憶剛才我們作圖的過程，你能總結一下作圖的方法嗎？

生：在作圖過程中，先作出到定直線的距離等于定長的點的軌跡，再作出到定點的距離等于定長的點的軌跡，這兩個軌跡的交點的軌跡即為所要的圖形.

實驗效應

1. 數學實驗使學生主動學習

《數學課程標準》提出“要轉變教與學的方式”. 在數學實驗活動中，教師的角色得到了改變，教師為學生設置實驗題目，引導學生開展實驗.學生通過實驗操作，親自體驗數學、理解數學，使學生由接受性學習轉變為探索性學習. 實踐表明，實驗教學能夠創設良好的教學情境，使學生親自體會到知識的形成過程，大大提高了學生學習的積極性.

2. 數學實驗使學習更加直觀

互聯網、多媒體技術具有“思維可視化”的特點，能夠給學生提供動態的演示，使得抽象的數學直觀化，讓學生將“看”和“學”更好地結合起來. 本節課打破了傳統教學中由教師演示的模式，通過實驗教學，讓學生親自利用GeoGebra軟件繪制圖形，親自感受橢圓、雙曲線、拋物線的形成過程，很好地突破了圓錐曲線定義這一難點，也實現了數和形的完美結合.

3. 數學實驗使思維能力提高

在高中數學教學中，數學實驗有利于學生從“被動”走向“主動”，從“結果”走向“過程”. 本節課在作圖過程中對數學知識進行了深度加工，促進學生深度理解數學概念、數學規律，通過實驗將“做”與“思”聯系起來，讓學生“玩中思”“思中做”“做中學”，用實驗燃爆數學課堂，用實驗培育數學核心素養.？搖

基金項目：北京市教育科學“十三五”規劃2019年度一般課題《在問題情境教學中培養學生數學核心素養的實踐研究》（立項編號：CDDB19281）.主持人：田雪.

作者簡介：田雪（1982—），本科學歷，中學高級教師，主要從事高中數學教學工作，曾獲北京市通州區骨干教師、北京市通州區“運河計劃”領軍人才等榮譽.