素養導向下的高中數學概念課教學設計

[摘? 要] 以人教A版高中數學新教材必修第一冊“3.2.2 奇偶性”教學為例，設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學思想方法解決問題. 在問題解決的過程中，理解概念的本質，發展核心素養.

[關鍵詞] 問題;奇偶性;概念;核心素養

問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（下文簡稱“新課標”）明確提出數學課程要以學生發展為本，高中學生在數學學習中要發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大核心素養[1]. 新課標要求在教學活動中，教師應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學思想方法解決問題. 在問題解決的過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學學科核心素養的形成和發展[2].

奇偶性是函數的重要性質之一，從知識結構來看，它既是函數概念的拓展和深化，又是后續研究冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等各種基本初等函數的基礎;從思想方法來看，奇偶性概念的教學過程中滲透著探索發現、數形結合、歸納概括、類比等數學思想方法，特別是數形結合思想將貫穿整個高中數學學習過程;從情感價值來看，奇偶性概念的教學過程中充滿著數學的對稱美，為學生提供了良好的平衡感和充分的審美體驗;從信息技術來看，利用幾何畫板或GeoGebra繪制函數圖像，有利于提升學生運用信息技術探究函數性質的能力.

奇偶性的教學設計

筆者認為，奇偶性的教學設計要充分挖掘教學過程中發展學生數學思維的教育價值，提升學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養. 下面以人教A版高中數學新教材必修第一冊“3.2.2 奇偶性”教學為例，談談如何開展概念的探究性教學，以促進學生深度學習，落實核心素養.

1. 創設情境，引入概念

問題1：觀看天安門、故宮、蝴蝶、風車、剪紙等圖片，你能感悟到什么？

追問1：這種對稱美在我們正在學習的函數中也有所體現，同學們回想學過的函數，它們的圖像是否也具有這種對稱美？

追問2：函數的單調性是通過圖像中點的變化來研究的，對稱性是否也可以通過點的變化來研究呢？

設計意圖：通過欣賞生活中的對稱現象，使學生感受軸對稱與中心對稱在生活中的應用，感受生活中的對稱美. 從感性認識入手，為學生認識奇偶函數的圖像特征做好準備，激發學生的數學學習興趣和創造欲望，結合前面單調性的學習，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，喚醒學生已有的經驗，啟發學生初步思考.

2. 合作探究，構建概念

折紙實驗探究：請按照列表、描點、連線的過程，作出函數f（x）=x2的圖像.

問題2：以y軸為折痕對折紙，再將紙展開，觀察坐標系中的圖形，函數的自變量和函數值有何變化特征？

追問1：你能嘗試用函數解析式描述圖像的對稱特征嗎？

追問2：函數的單調性是函數的一種局部性質，對稱性也是函數的局部性質嗎？（整體性質）

設計意圖：讓學生動手折紙，直觀操作，感受對稱，思考對稱的本質，發現函數的自變量和函數值的變化特征，滲透數形結合思想，體會數學與現實生活的密切聯系，創造機會讓學生思考并加以抽象，引導學生使用恰當的數學語言描述問題，將對稱的圖形語言轉化為符號語言，使學生對圖像對稱的感性認識上升到理性認識，提升學生的數學抽象、直觀想象等核心素養.

信息技術探究：請運用幾何畫板或GeoGebra作出函數f（x）=2-x的圖像.

問題3：在圖像上取點P和P′（P與P′的橫坐標互為相反數），拖動點P，觀察點P和P′的變化情況，這種變化有什么規律？

追問1：你能用函數解析式描述圖像的對稱特征嗎？

追問2：你對“任意的x”是如何認識的？

設計意圖：選擇學生熟悉的函數圖像，借助于信息技術，將靜態的知識轉化為動態的知識呈現給學生，通過圖像上點的運動，引導學生關注“任意的x”及相應函數值的變化特征，感受定義域關于原點對稱的特點，突破對“任意的x”的認知障礙，由表及里從本質上認識函數圖像的對稱性，為偶函數的形式化定義做好認知準備，發展學生的數學抽象、直觀想象等核心素養.

3. 交流展示，生成概念

問題4：什么樣的函數是偶函數呢？請用文字語言或圖形語言或符號語言進行描述.

設計意圖：通過觀察圖片、動手折紙、演示信息技術，完成從“形”到“數”的轉換，幫助學生理解將自變量由具體數值推廣到定義域內“任意的x”及相應函數值的變化特征，引導學生使用恰當的數學語言描述問題，形成偶函數的概念，即通過圖形語言、文字語言、符號語言的轉換達到學生對偶函數形式化定義的理解，落實學生的數學抽象、直觀想象等核心素養.

4. 糾錯辨析，理解概念

問題5：函數f（x）=x2，x∈[-3，2]是偶函數嗎？

追問1：若函數f（x）=x2+1，x∈[a，b]是偶函數，則a，b要滿足什么關系？

5. 類比遷移，概念同構

請類比偶函數概念的建立過程，思考并討論：

追問1：這兩個函數值對應表是如何體現圖像的這個特征的？

追問2：你能嘗試用函數解析式描述圖像的這個特征嗎？

追問3：類比偶函數的定義，你能嘗試定義上述函數的特征嗎？

設計意圖：充分利用圖形的直觀性，讓學生能夠再次經歷圖形語言、文字語言、符號語言的轉換，類比偶函數的定義說出奇函數的定義，發展學生的數學抽象、直觀想象等核心素養，激發學生的探索創新意識，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.49968B59-283F-4233-9207-E0F9C74F754A

6. 應用概念，解決問題

問題7：判斷下列函數的奇偶性.

（1）f（x）=x4+1;

（3）f（x）=x+1;

（4）f（x）=0;

（5）f（x）=x2-2x，x>0，-x2-2x，x<0.

跟蹤練習：課本第85頁練習2.

設計意圖：通過問題7幫助學生掌握本節課的基礎知識、基本方法、基本思想，并形成基本經驗. 其中，題（1）與題（2）強調解題格式，教師板演解題過程，學生類比解答題（3）與題（4），得到四種不同類型的奇偶性（奇函數、偶函數、既奇又偶函數、非奇非偶函數）;題（5）判斷的是分段函數的奇偶性. 完成解答后由學生自主歸納判斷函數奇偶性的方法：①先求定義域，判斷定義域是否關于原點對稱;②再判斷f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否恒成立. 判斷函數奇偶性的步驟如下（如圖1所示）：

問題8：已知函數y=f（x）是偶函數，它在y軸右邊的圖像如圖2所示，你能畫出它在y軸左邊的圖像嗎？

變式1：如果y=f（x）是奇函數，你能畫出它在y軸左邊的圖像嗎？你能求f（-2）+f（-1）的值嗎？

變式2：如果奇函數y=f（x）的定義域為[-5，5]，請寫出使f（x）<0的x取值的集合.

設計意圖：認識奇偶性的概念后，需要尋找奇偶性概念內部各要素之間以及奇偶性與外部其他概念之間的聯系，幫助學生全面認識奇偶性，將奇偶性納入學生概念網絡中恰當的位置.通過問題8及變式培養學生讀圖、畫圖、用圖的能力，掌握奇偶性的簡單應用，從形的角度運用數形結合思想求解奇偶性問題，加深學生對函數奇偶性概念的理解，發展直觀想象素養.

問題9：若函數f（x）=ax2+2x是奇函數，求實數a.

變式：若函數f（x）=ax2+bx是[a-1，2a]上的偶函數，求a+b.

設計意圖：問題9及變式是逆向思考奇偶性的問題，設計目的是讓學生應用奇偶性定義，通過代數式的運算與變形，解決函數奇偶性問題，加深學生對函數奇偶性概念的理解，及時鞏固所學的新知識，發展學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養，培養學生分析問題、解決問題的能力，使學生體驗學習數學的成就感.

7. 總結歸納，深化概念

總結歸納如圖3所示.

設計意圖：教師引導、幫助學生梳理“四線”，即知識學習為主線，問題解決為明線，方法歸納為暗線，素養發展為隱線;落實“四基”，提高“四能”，發展素養，培養創新.

8. 分層作業，鞏固拓展

必做題：課本第86頁“習題3.2”復習鞏固第5題，綜合運用第11題，拓廣探索第12題.

選做題：（1）課本第87頁“習題3.2”拓廣探索第13題.

（2）已知函數f（x）為定義在（-2，2）上的奇函數.①求f（0）的值;②若f（x）在定義域上單調遞增，且f（2+a）+f（1-2a）>0，求實數a的取值范圍.

設計意圖：尊重學生的差異，找準學生學習的最近發展區，布置階梯式分層作業，達到相應單元的學業要求，實現人人都能獲得良好的數學教育，不同的學生在數學學習上得到不同的發展.

教學反思

章建躍教授在《樹立課程意識，落實核心素養》[3]中強調“眾所周知，概念教學是數學教學的重中之重，而得出概念的過程是最典型的數學抽象的過程”.數學概念教學要樹立以發展學生數學核心素養為導向的教學意識.

1. 創設情境是引入概念的導火索

引入概念即要提供豐富的感知材料，又要創造性使用教材，創設合適的問題情境，讓學生逐步學會從數學的角度觀察生活，對一些生活現象進行數學思考，從表面上看似與數學無關的一些生活現象中尋找其在數量關系或者空間形式方面的某些聯系或矛盾，或在現實與數學的具體情境中獲得新的數學信息.

2. 探究體驗是形成概念的助推器

概念不是直接從教師那里聽到文字描述就形成的，它需要有趣生成，要通過學生的主體活動去把握，通過觀察、提問、討論、體驗、糾錯、反思、梳理、總結、表達、交流，讓學生與自己正在學習的內容之間建立一種緊密的靈魂聯系. 只有這樣，概念的本質才會顯現，概念的形成才會生動.

3. 數學思想是理解概念的催化劑

對概念的理解是學生運用數學知識、技能、思想方法以及活動經驗進行數學抽象的過程，具體與抽象、特殊與一般、代數與幾何、繁與簡、分與合、主與次、正與反、進與退、靜與動、實與虛等思想的有機結合，將抽象概念形象化，抽象符號具體化，抽象表述通俗化，感悟概念的本質，發展思維品質.

4. 問題設計是學習概念的腳手架

概念課的問題設計要著眼于喚醒學生已有的經驗，針對情境設計富有過程探索性的“問題鏈”，通過解決具有情境化、活動性、過程性的“問題鏈”，師生之間、生生之間開展和諧的對話，讓學生充分交流與展示，在交流中生成，在生成中感悟，在感悟中升華，理解概念的本質，發展數學學科核心素養.

提升學生的數學核心素養是一個綜合性、持續性發展的過程. 在教學實踐中，需要每位教師不斷探索和創新教學方式，既要重視如何教，更要重視如何學，引導學生學會學習，促進學生能自主、持續、和諧地發展.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 史寧中，王尚志. 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]? 章建躍. 樹立課程意識，落實核心素養[J]. 數學通報，2016（05）：1-4+14.

基金項目：廣東省教育研究院中小學數學教學研究專項課題“基于核心素養的高中數學作業的設計與優化研究”（課題編號：GDJY-2020-A-s119）.

作者簡介：劉心華（1969—），本科學歷，正高級教師，從事高中數學教學與研究工作.49968B59-283F-4233-9207-E0F9C74F754A