“四維”關聯的課堂轉向
——以二年級“做數學”教學實踐為例

文∣李悅

小學低年級數學課堂是激發學生數學興趣、培養學生關聯意識的搖籃。一線課堂更是落實數學核心素養的主陣地。在課改的過程中，學校的數學課質量如何？有何需要改進的地方？帶著這樣的疑問，近年來學校實施“推門聽課”制度，以期掌握真實的一線課堂樣態。

一、數學課堂教學診斷

通過對學校低年級數學教師“推門聽課”分析發現，在實際教學中的低年級數學課堂，主要存在以下三個問題。

第一，知識缺少深度理解。金陵小學是一所年輕的學校，低年級的數學教師大多工作年限較短，幾乎沒有高年級的任教經驗，這就導致在實際教學中，教師教學往往局限于教材所示的知識表層，欠缺對知識的后續理解與拓展。

第二，教師缺少關聯能力。對低年級教師的訪談發現，在備課中，他們更多關注一課的教學結構，稍有經驗的教師會關注這一課在單元知識結構中的地位，尋找這一課的“前世”“來生”，但也僅限于此，他們不知道該如何將知識置于整個學習體系中進行關聯與建構。

第三，學生缺少探究經驗。低年級數學課的知識點是一般基礎，大部分還是圍繞數領域的認識、計算等，由于知識點的淺顯易懂，在教學時教師有時會忽略學生的自主探究，而正是缺少實際探究經驗，學生對知識理解會浮于表面，導致學習進入一個低效、淺層的不良循環。

這樣的數學課堂急需轉向。2020年10月，金陵小學有幸參與江蘇省基礎教育前瞻性教學改革實驗重大項目“數學實驗”，在一年的研究中，學校依托“做數學”，強化知識深度理解，發展教師關聯能力，豐富學生探究經驗，實現以點、線、面、體“四維”關聯的課堂轉向。

二、“做數學”的基本內涵和特征

(一)“做數學”的基本內涵

“做數學”是學生運用材料和工具，在動手動腦相協同的過程中，通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等活動，理解數學知識、探究數學規律、解決問題的一種數學學習方式。結合低年級學生的身心特點，在二年級的數學課堂中，“做數學”的外顯形式更多依賴學生的操作體驗，即學生利用簡單的操作材料，在思考參與的前提下，按照一定的操作步驟展開實際體驗，并逐步剝離操作活動，從中提煉出相應的數學知識。

(二)“做數學”的基本特征

1. 思考性與目的性

“做數學”是學生動手動腦相協同的學習方式，要使學習活動順利開展的前提就是有學生的主動思考參與，因此有價值的思考是“做數學”的第一屬性。它將“做數學”與以往課堂上淺層的動手實踐操作相區別開，同時又充分概括了“做數學”的實踐價值。

目的性強調的則是“做數學”的活動目標，主要涵蓋：是否必須要進行體驗活動；如果進行活動，要達到什么樣的目的；如果不進行活動，對學生的學習會有什么樣的影響；開展什么樣的活動，不同形式的活動對學生的學習影響如何；等等。

⒉ 操作性與程序性

“做數學”在低年級的載體是各式各樣的操作活動，因此操作性是其根本，而二年級的“做數學”不僅要可操作，更要易于操作；不僅可以獨立操作，還可以合作完成；不僅在課堂上可以操作，在其他時間段，學生也可以自由嘗試操作。

程序性則賦予了“做數學”有意義的價值取向，以區別學生無序、雜亂的動手實踐，程序性活動為學生的學習提供助力，提高了操作的效率與質量，同時也便于學生課后獨立開展。

⒊ 驗證性與重復性

“做數學”的一大魅力就是在操作活動之前，學生對于結論性知識尚不明確，或者知道一些結論，卻“不知其所以然”。因此，在思考時，學生可以提出一些假設、猜想，他們帶著這樣的目的進行操作，用自己的實際操作來驗證之前的假設、猜想是否成立，這就是“做數學”所具備的“驗證性”，這樣的學習方式更容易給學生帶來學習的快樂。“做數學”的操作可以不斷重復，但無論重復幾次，其最終結果不會變。對于學生來說，重復性極其重要，為他們理解數學知識搭建了扶手。

三、“做數學”的“四維”價值

(一)在“知識點”理解中開展研究

幫助學生理解數學，就是將“掌握方法”的淺層學習轉變為“明白道理”的深層學習，只有在“知理”的層面才能將知識技能轉化為素養或能力，而在小學低年段的數學課堂，“理”往往隱藏于“知識點”中。如果課堂能夠深度挖掘各知識點，而不只是完成一道道練習，學生的學習必將有深度、有質量，課堂也將呈現出濃濃的數學味。

(二)在“知識串”聯結中深化經驗

數學知識前后銜接的特質要求學生時刻準備同化和接受新知，教師可以充分利用這一點，以尋找知識的邏輯為起點，將知識串聯成線，以組塊化的形式讓學生展開操作，鞏固學生對知識的數學理解，在逐層遞進的操作中加深“知識串”的學習體驗。

(三)在“知識面”交界中遷移方法

數學知識學習是由“這一個”向“這一類”，“這一類”向“那一類”結構的連續。連續是學生對自然生命成長結構的理解與運用。知識連續是有共性的，如果教師能夠抓住這個共性，讓學生經歷“這一類”知識的探索，并將其學習經驗遷移到“那一類”中去，課堂必將得到質的飛躍。

(四)在“知識體”建構中打通脈絡

數學教學通常以“聯系”作為教學目標之一，幫助學生不斷實現知識、方法的聯結與重構，使新知識、新方法納入學生原有的認知結構中去，從而形成一個更寬泛、全面的認知結構。但對于小學生來說，這種“聯系”大多較隱蔽，如果教師能夠幫助學生建立“知識體”，打通學習脈絡，讓學生看到知識之間的“聯系”，必能讓學生的知識結構更加完整和牢固。

四、“做數學”的課堂轉向實踐路徑

(一)“零維”點：知識點中深挖掘，點“聯”成線

基于二年級學生的身心特點，蘇教版數學教材的編寫在單元起始課多以點狀知識為主，學生通過學習多個不同的知識點，在單元后期逐漸將其建立聯系，完善自己的知識結構。但是這樣的點狀分布學習，容易使學生淺嘗輒止，同時也割裂了知識間的聯系，弱化了學生的關聯意識。而依托“做數學”，在知識點中深挖掘，將點狀知識串聯起來，可以解決以上問題。例如，蘇教版《數學》二年級上冊第三單元的例題1：“幾個相同加數的連加”。學生在一年級已經學過連加，也能獨立進行連加計算，但接觸的相同加數連加多局限于三個加數。在學生的認知結構中，乘法的生長點還不夠充分，為此可以借助“做數學”活動，豐富學生的連加體驗。教師在教學時可分以下幾步進行。

第一步：教師通過用圓片擺3個2，激起學生“擺幾個幾”的學習經驗，讓學生體會“從沒有特點的一行擺6個圓片，過渡到在一行里突出3個2”的過程。教師再通過生生間的交流，移動圓點位置擺出3個2(如圖1所示)。

第二步：教師繼續用圓片擺2個3，學生可能會重新擺成一行，也可能會在豎著擺的基礎上，換一個視角觀察。教師引導學生豎著擺不需要調整擺的方式，只需要換一個觀察視角，既可以表示3個2，也可以表示2個3，從而引導學生達成共識：豎著擺“幾個幾”，擺法只有一個，但是能表示兩種“幾個幾”(如圖2和圖3所示)。

第三步：教師將圓片表示“幾個幾”抽象成畫點子圖表示“幾個幾”，讓學生從實物表征過渡到圖形表征。在展示交流部分，先出示一幅圖表示兩種“幾個幾”的學生作品，進一步鞏固學生在第二步中的學習體驗；接著展示如“4個4”的學生作品，在交流中提高學生對點子圖的認識，這時候無論橫著看還是豎著看，都只能表示一種“幾個幾”。

(二)“一維”線：知識串中看聯結，線“聯”成面

雖然教材有時呈現的只是一道題目，但是它暗藏著知識邏輯或知識線。例如，蘇教版《數學》二年級下冊第六單元第73頁“動手做”(如圖4所示)，按題目要求，紅色卡片上的數都在百位，藍色卡片上的數都在十位，黃色卡片上的數都在個位，像這樣組成的3個三位數相加，無論同一個數位上的數字如何調換順序，和總是不變的。但這樣隱藏在計算法則中的規律難以被學生發現，而且一開始就用3個三位數展開計算活動，對計算基礎薄弱的學生來說難度太大，也不利于他們發現其中的規律。因此，在教學時教師可以找到這個動手做的知識起點，用“知識起點—操作活動—知識遷移”這樣的線性活動展開，同時學生有了前期積累的線性活動經驗，可以自發將知識向更多位數加法、減法進行“面狀遷移”。

圖4

教師教學時可分以下幾步進行。

第一步：教師通過2個兩位數相加，并交換相同顏色的數字卡片教學，鞏固學生對加法計算法則的理解，在生生交流中明確：先算個位、再算十位，滿十進一；交換成兩組不同的兩位數，但是和不變。

第二步：教師通過3個兩位數相加，并交換相同顏色的數字卡片教學，讓學生進一步感受“和不變”，并產生研究的欲望。再結合第一步的操作，在本輪教學的多次交換中，聯系加法計算法則嘗試對“和不變”進行解釋。在交流中加深學生認識：無論怎么交換數字，相同數位上的數字不變，總的和也不變。

第三步：教師通過發散思維，引導學生自發將第二步的學習經驗串聯到3個三位數相加中，并在多次操作中檢驗加法計算法則對和的影響在三位數加法中是否成立。

第四步：教師通過面狀遷移，讓學生可以自由嘗試更多位數加法、減法是否存在“和不變”“差不變”現象，并對此作出合理解釋。

(三)“二維”面：知識面中促遷移，面“聯”成體

在教學中，還會遇到這樣一種情況，學生可以借助自己積累的操作活動經驗，并順利遷移到具有相同活動經驗的知識中，將其由一個知識面輻射到另一個知識面，最終將不同面的知識進行整合，建構更全面的知識體。例如蘇教版《教學》二年級上冊第一單元例題：“讓兩串彩珠同樣多，求兩個數量相差多少。”在一年級學生已經學習過該類內容，這里不僅讓學生重溫兩個數量相差多少的關系，更是讓學生在解決問題的過程中，想辦法使“不相等”變成“相等”，將以往的三種方法拓展為三類方法，進一步體驗相差數的含義，建立相差數為單、雙數時不同的解決問題體系。教師教學時可分以下幾步進行。

第一步：學生自由擺一擺，激活原有學習經驗。在操作中鞏固對“一一對應”數學方法的理解。

①紅圓片和藍圓片一樣多。

②藍圓片比紅圓片多一些。

③紅圓片比藍圓片少一些。

第二步：引導學生按要求操作。紅圓片有8塊，藍圓片有12塊，有什么辦法讓紅圓片和藍圓片同樣多？通過學生的交流，將答案以表格的形式呈現。

表1 學生答案

第三步：讓學生觀察表格，交流。理論上解法有無數種，最簡單的就是藍圓片不動，紅圓片添上4塊，兩種圓片同樣多。無論哪種解法，添上的紅圓片始終比藍圓片多4塊。教師引導學生總結：只要保持較小數添的數量-較大數添的數量=相差數，兩個數量就能相等。

第四步：引導學生將知識自發遷移，從“添上圓片”遷移到“去掉圓片”，用表格形式呈現，交流。解法只有9種，最簡單的就是紅圓片不動，藍圓片去掉4塊，兩種圓片同樣多；無論哪種方法，去掉的藍圓片始終比紅圓片多4塊。

第五步：引導學生總結，藍圓片比紅圓片多4塊，所以可以把2塊藍圓片給紅圓片，兩種圓片就同樣多。教師鼓勵學生將知識自發遷移，選擇不同數量的兩種圓片試一試，當相差多少時，可以用“……給……多少”這樣的方式來使兩種圓片同樣多。學生將知識進行遷移，并經歷動手操作后，提煉出“當相差數為雙數時，較大數-相差數的一半=較小數+相差數的一半；當相差數為單數時，這種方法不可以”。

(四)“三維”體：知識體中建結構，體“聯”成系

在教學中，教師除了要找到一些上位知識的邏輯起點之外，很多新知識也是后續知識的邏輯起點。例如，蘇教版《數學》二年級上冊第四單元第45頁動手做(如圖5所示)，學生能夠獨立進行操作活動，并且能夠在教師引導下認識到“擺2行，每行擺4個”和“擺4行，每行擺2個”屬于同一種方法，可以用4×2表示小正方形的總個數。但是僅僅有這樣的認識是不夠的，后續學習長方形的面積推導也會用到這樣的方法，乃至長方體的體積推導也用類似的方法，只不過從擺小正方形變成小正方體。這一系列的知識體系都是建立在擺小正方形的方法之上的，教師應在學生剛接觸擺小正方形時，就給他們埋下后續知識的種子，方便日后學生自主建構知識。

圖5

基于以上思考，教師教學時可分以下幾步進行。

第一步：用8個大小相同的小正方形擺一個長方形，可以擺( )行，每行( )個，乘法算式是 ( )。呈現學生作品(如圖6所示)，在交流中明確①和②是同一種擺法，③和④也是，并用表格形式進行記錄。

圖6

表2 擺法記錄

第二步：讓學生填寫用12個大小相同的小正方形擺一個長方形，可以擺( )行，每行( )個，乘法算式是 ( )。學生將前面學習的方法順利遷移與應用，讓學生積累擺小正方形的活動經驗，又將數與形相結合，培養數形結合的思想。

第三步：給出指定大小的長方形，需要多少個小正方形才能填滿？學生通過擺小正方形操作，得出正確答案，并在生生交流中，明確擺小正方形的不同方式，可以全部擺滿，也可以用一個小正方形依次擺一擺，數一數。

第四步：教師向學生提問“想一想，去掉哪些小正方形，你依然能夠確定長方形里小正方形的總數”。學生通過不斷操作(如去掉小正方形)，對比不同方法(如圖7所示)，得出“只要剩下的小正方形里能夠看出6×3，那么就能確定長方形里小正方形的總數”，這為學生日后學習長方形面積打下了基礎。

圖7

第五步：教師向學生提問“想一想，去掉哪些小正方體，你依然能夠確定長方體里小正方體的總數”。學生通過不斷操作(如去掉小正方體，如圖8所示)，得出“只要能看出每行幾個，擺了幾行，擺了幾層，就能夠用乘法算式算出長方體里小正方體的總數”，這為學生以后學習長方體體積打下了基礎。

圖8

綜上所述，“做數學”要在低年級動手操作，充分調動學生的學習興趣；以“點、線、面、體”四個維度展開的“做數學”活動，讓學生的思維向更深處漫溯,培養學生數學素養。但該方法目前只局限于二年級的實踐研究，其他年級的“做數學”是否也能在“四維”中展開，將是我們后續研究的重點。