高中數學教學中如何運用數形結合提高學生解題能力

張飛娟

【摘要】作為一種較為常見的數學思想，數形結合借由圖片、數字之間的相互配合來完成數學教學任務，引導學生在思考的同時重新認識數學知識.高中數學以綜合化、抽象化為特點，對學生的數學思維能力提出了更高的要求.教師要積極挖掘數形結合的教育功能，鍛煉學生的思維能力與數學技能，配合數形結合思想轉化數學教學模式.本文分析了數形結合思想的教學優勢，探討在高中數學教學中如何借助數形結合提高學生的解題能力.

【關鍵詞】高中數學;數形結合;解題能力;訓練策略

一、引言

在高中數學教學活動中，教師對于數形結合的探究始終不曾停止.一方面，數形結合是一種直觀的數學教學方法，其能夠發揮出啟發學生思維、鍛煉學生數學學習能力的作用;另一方面，數形結合以直觀化、綜合化為特點，在數學課堂上，學生能夠借由對圖的剖析來重新認識數學知識，獲取數學學習經驗.教師為提高學生的解題能力，必須嘗試設計綜合性更強的教學板塊，引導學生從不同的角度歸納數學問題，將抽象化問題轉化為直觀化圖形，總結解題思路，這樣才能利用圖的輔助去解決數中存在的難題.

二、高中數學教學中數形結合的解題優勢

（一）導向教學，形成解題思路

高中數學教學活動以抽象、綜合為基本特點，在嘗試提升學生的數學解題能力的過程中，數學問題對學生的數學思維、知識儲備提出了較高的要求：學生不僅要掌握相應的數學概念，更要學會獨立總結數學解題思路，借此來創新數學教學方法.縱觀高中數學解題活動，部分學生已經掌握了基本的數學知識，但思路上的混亂問題并沒有根除;學生只會按照特定的學習順序去推導數學問題，并不重視數學知識在課堂上的總結與應用.對于一些較為復雜的數學板塊，學生難以獲取有效的解題線索、總結出正確的解題經驗.在解題過程中，依靠“生搬硬套”計算解題、依靠猜想解題的學生不在少數.運用數形結合進行解題教學，可以體現出數形結合的導向性特點：教師能夠利用數學圖形直觀展示數學知識，并幫助學生梳理解題思路.部分較為復雜的數學問題以直觀圖形的形式出現在課堂上，將求解問題轉化為賦值問題，借由對圖形上相關數值的計算來獲取解題方法.運用數形結合實施教學，使學生對于數學知識的抽象認識轉化為直觀的數學對象，從而提高其學習效率.

（二）簡化教學，省略解題步驟

高中數學解題教學中，一些問題的解題步驟較為煩瑣：除了基本的信息展示環節之外，題目中還包含著多個迷惑性問題，這在無形中增大了解題難度.想要鍛煉學生的解題能力，提高解題效率，必須簡化解題教學的基本過程，讓學生借由直觀的學習直接回答“學什么”“怎么學”“求解哪些因素”等關鍵性問題.但大部分數學解題活動都是在“穩中求勝”的情況下開展的，教師雖然要求學生進行解題，但不會為學生講解解題的基本思路[1].借助數形結合實施解題教學活動，可以將數學問題轉化為圖形，借由對圖形中直觀問題的分析獲取解題方法.對于問題中所涉及的復雜信息，可以在解題的過程中將其逐一記錄在圖表當中，回應數學問題所提出的學習要求.簡化解題過程，重新認識數學知識，這是啟發學生思考的有效方法.在簡化教學活動之后，數學解題教學以“觀察+思考”為主要的教學模式，進而為學生提供解答數學難題、探究數學知識的新機會.

三、高中數學教學中數形結合的應用現狀

（一）數形結合不受重視，教學方法落后

越來越多的教師開始強調數形結合的重要功能，但從教學活動的具體流程來看，數形結合并沒有發揮出預期中的價值.對于高中數學教學活動來說，數形結合不過是一種可有可無的教學手段：第一，大部分數學學習活動都是以認知、總結為核心，在解題過程中，教師以“幫助學生快速計算并得出正確答案”為目標，并不會注重數學經驗的積累，導致學生對于數學知識的認識愈發片面.數形結合不受重視，學生的能力與素質自然難以得到有效提升.第二，數形結合下的解題能力訓練包含著解題、作圖兩方面的內容，對教學時間、教學資源提出了一定的要求.學生難以正確認識并應用數學知識，導致數形結合下的教學遲遲得不到落實.第三，一筆帶過式教學，這類教學在高中數學解題教學中較為常見：雖然提及了數形結合的有關概念，但教師僅僅負責作圖，解題思路、解題方法由學生獨立進行整理，學生很難正確獲取數學知識，導致數學學習效率難以提升.數形結合雖然進入到高中數學課堂中，但其并沒有在數學教學環節發揮作用，導致學生難以借助數形結合解答數學課程中的難點問題.

（二）教師完全主導課堂，學生難以應用

數形結合可以被視為一種“思維鍛煉工具”，在小學數學課堂上，其承擔著鍛煉學生數學技能、幫助學生認知數學知識的重要任務.教師要積極開發數形結合的教學優勢，借由數形結合理念創新數學教學思路.但大部分教師都是在“理解數學”的前提下開展數學教學活動的.在運用數形結合實施授課時，課堂上的教學完全由教師決定，學生只能配合教師的思路進行學習[2].隨著教學活動的逐漸深入，學生開始以“老師的觀點”去解答數學問題.這樣的數學教學模式下，學生完全成為教師的附屬品，學生難以在課堂上自由發揮.數形結合應該成為一種工具，允許學生借由數形結合去解答難題.教師要改變數形結合思想的應用方式，鼓勵學生自由應用、總結數學方法，這樣才能提高教學效率.

四、借由數形結合提高學生解題能力的有效策略

（一）數形結合展出數學問題，掌握關鍵信息

數形結合在高中數學解題教學活動中表現出了全新的價值，其不僅能將數學問題轉化為圖形引導學生進行解答，更能鍛煉學生的基礎技能，對學生的解題能力、理性思維、讀題能力進行訓練，創新數學解題方法[3].配合數形結合理念提高學生的解題能力，教師要嘗試設計針對性更強的數學教學板塊：在幫助學生解題的同時，鼓勵學生依靠“作圖”的方式來整理關鍵的數學信息，從而提高數學教學質量.

教師可嘗試利用數形結合對數學問題進行加工，在提問、解題的同時幫助學生剖析問題中的關鍵信息，提高數學教學質量.以高中數學教學中函數的極值問題為例，在數學問題中，極值只有一個，但由于函數中包含著多個未知量，學生很難確定數學解題思路.如下列問題：

現有函數f（x）=x2-16+x2-4x+1，求有關函數的最小值.

在傳統的解題思路下，學生會嘗試采取“根式求解”的方式進行計算，分別計算函數中各組的最小值，但兩個根式的求解過程較為復雜，且x的取值不定，盲目追求最小值，函數中的數學關系未必成立.教師可利用數形結合思想幫助學生解題：將距離公式引入函數問題中，將f（x）=x2-16+x2-4x+1轉化為求解動點到A（x1，y1），B（x2，y2）之間的最小值，借由距離公式d=（x1-x2）2+（y1-y2）2進行求解.在運用數形結合思想鍛煉學生的解題能力的過程中，教師要提出針對性更強的數學問題，在解題的同時幫助學生總結關鍵性信息，并借由數學問題引導學生進行聯想，思考這些數學問題能夠轉化為哪些相關圖形，從而明確解題思路.解題、歸納、探究，多環節融合，這才是提高學生解題效率的最佳方法.

（二）數形結合解答數學難題，鍛煉數學思維

部分高中生已經開始嘗試利用數形結合思想來解決數學問題，但其對于數形結合的認識停留在畫草圖的層次上，忽視了數形結合思想下數學知識的綜合性特點.對于一些較為復雜的數學問題，依靠“假想”推導而來的數學圖形很難發揮出輔助解決問題的作用.針對數學教學的不同要求，教師在教學過程中必須強調圖形的準確性與等價變換，改變數形結合的應用思路，創新高中數學解題教學.

在高中數學教學中，三角函數可稱為一大難點，教師在學生學習的同時，要嘗試設計針對性更強的數學教學板塊，配合既有的函數圖形知識、數形結合思想創新數學解題思路.以人教版義務教育教科書《數學》必修第一冊教材“三角函數的圖像與性質”的教學為例，教師可向學生提出如下問題：

函數y=sin x與y=tan x，已知這兩個函數有實數根，求兩個函數圖像在區間[0，π]上的交點數量.

在解答數學問題的過程中，教師要利用數形結合思想實施授課：第一，確定數學區間，在[0，π]內進行取值計算;第二，確定函數的具體關系，畫出函數y=sin x與y=tan x的具體取值范圍、函數圖像的特點，計算交點數量.教師要告訴學生：在作圖的過程中，必須考慮兩個函數在取值上的差別問題，避免出現錯誤理解題意、錯誤解題等.教師在運用數形結合思想實施授課時要引導學生根據題目內容進行作圖，教師配合學生所給出的圖像發起數學活動，指明學生在學習過程中存在的不足問題，要求學生學會規范作圖，搜集關鍵信息，提高學生的數學解題能力.

（三）要求學生獨立作圖，鍛煉理性思維

在運用數形結合思想實施教學時，教師不僅要強調數字與圖形之間的有機協調，更要重視學生技能與教學要求之間的有機互動，創新數學教學方法.數形結合消除了數字與圖形之間的矛盾關系，但在解決課堂上的灌輸式教學弊端之前，學生也很難取得好的成績.因此，允許學生自由發揮，才能提高數學教學質量.

教師可嘗試選擇數學教學中的典型例題開展授課，借助數形結合思想實施教學，在講解數學知識的同時引導學生分析、思考數學問題，促使學生高效完成學習任務.以人教版義務教育教科書《數學》必修第一冊教材“二次函數與一元二次方程、不等式”的教學為例，要求學生獨立進行作圖，問題如下：

已知方程2x2-（m+3）x+m2-1=0在（0，2）與（2，4）上有兩個不相等的實根，求解m的取值范圍.

學生將有關問題視為“方程求解”問題，并不會挖掘數學問題中的難題.但從問題的構成上來看，解題要求更為復雜：第一，方程中包含著兩個未知數，已知的兩個根為實根，求解難度較大;第二，m的取值范圍不確定，其可能為有理數，也可能為實數.當要求學生嘗試解題時，教師不必提出過于復雜的數學問題，而是要利用數形結合引導學生進行思考：方程2x2-（m+3）x+m2-1=0可以轉化為函數f（x）=2x2-（m+3）x+m2-1，根據二次函數的圖像進行解題，利用二次函數的性質、定義求解，從而得出f（0）>f（2），f（2）<f（4），f（4）>0這三個不同的不等式，進而確定m的取值范圍.引導學生主動作圖，允許學生依靠自身的能力去認識、理解數學知識，這才是提高數學解題效率的有效方法.

（四）數形結合帶動想象，豐富解題方法

部分教師已經開始嘗試著將數形結合思想應用到數學課堂中，但對于數學知識的認識局限于作圖、解題的膚淺層次，忽視了數形結合的思維鍛煉能力[4].在結合數形結合理念設計數學教學方案的過程中，教師要總是以學生理性思維技能的開發與訓練為主，要求學生在“想象”的同時進行解題.會假設、會探索，這樣的數形結合才能提高學生的學習效率.

教師可嘗試借由數形結合思想引導學生進行想象，選擇全新的數學解題方法開展授課，提高數學教學效率.以人教版義務教育教科書《數學》必修第二冊教材“圓的方程”的教學為例，解題過程要依靠學生的想象力、邏輯推理能力進行，這樣才能幫助學生積累解題經驗.如下列問題：

已知兩個實數x，y滿足x2-y2-6x-4y+12=0，求y[]x的最大值與最小值.

運用數形結合思想可將有關問題轉化為圖形素材，引導學生進行想象.根據題干信息分析得知，點（x，y）滿足圓的方程的一般規則，y[]x屬于點與原點連線之間的斜率，當（x，y）為動點時，y[]x的最大值、最小值分別為從原點向圓引出的兩條切線的斜率，如圖所示.教師在幫助學生完成作圖之后，借由邏輯思維引導學生推導問題：根據直線與圓相切的關系求出k值，計算該問題中y[]x的最大值與最小值.結合數形結合思想實施解題授課，教師要學習提出多元化問題：除了對高中生的數學思維進行訓練之外，更要引導學生自主探究，結合數學問題獨立總結數學學習經驗，回應數學教學中所提出的復雜問題.教師要設計允許學生自由發揮的全新數學教學模式，鼓勵學生探究、思考，優化數學教學流程.

（五）數形結合總結經驗，鍛煉思維能力

數形結合不僅可以作為一種數學方法來應用，在實施教學活動的過程中，還可以轉化為一種工具，有針對性地鍛煉學生的思維.高中數學教學活動重視學生理性思維、數學技能的綜合提升，要求學生多角度掌握數學知識.教師在組織教學活動的過程中，可利用數形結合思想引導學生總結經驗，這樣可以鍛煉學生的思維與技能，幫助學生在解題的同時總結數學經驗.

以人教版義務教育教科書《數學》必修第四冊教材“三角函數的誘導公式”的教學為例，可提出如下數學問題：

已知tan（π+α）=4，求sin（π+α）cos（π-α）的值.

這個問題若直接套用公式進行計算，數學計算過程較為復雜;若利用數形結合思想，教師可將三角函數誘導公式的有關知識在課堂上整理出來，為學生提供“參照物”：通過數學圖形記錄三角函數之間的數學關系，對sin（π-α），cos（π-α）等數學知識進行總結，得出其中的數學關系，配合數學圖形，明確掌握三角函數誘導公式的取值范圍.在解題的過程中，教師可要求學生制作三角函數誘導公式的有關圖像，讓學生重新認識并總結數學知識，進而逐步解答教學中存在的難點問題.

五、結束語

數形結合思想是當代數學教學活動中的“常青樹”，教師在指導學生學習的同時，將抽象的數學知識轉化為直觀的數學對象，引導學生在進行解題的同時總結數學經驗，借助觀察、計算、數學探究等活動的相互配合來解答難題.教師要正確解讀數形結合思想的應用價值，除利用數形結合解題之外，還可以借由數形結合總結解題經驗，鍛煉學生思維，雙向交流探討，創新數學教學方法.

【參考文獻】

[1]信虎林.數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用分析[J].考試周刊，2020（24）：73-74.

[2]閆國強.“數形結合”在高中數學教學中的應用[J].數學大世界（中旬刊），2019（12）：23.

[3]田正奎.如何加強青少年賽艇運動員專項力量訓練[J].西部皮革，2019（2）：123.

[4]包儲睿.如何加強青少年賽艇運動員專項力量訓練[J].當代體育科技，2018，8（22）：23-24.