穿越沙漠的小游戲策略（二）

張敏 張倩男 邵光祖 孟慧慧 王雪鋒

【摘要】本文根據地圖1分析玩家走最優路徑和其他路徑兩種情況，列出贏得矩陣，根據對手的策略來選擇自己的策略.筆者發現無論對手選擇什么樣的策略，玩家都會選擇最優路徑，因此得到兩人博弈的支配性策略組合（納什均衡）：需要在起點購買72箱水、84箱食物.本文根據地圖2確定在悲觀狀態下的天氣情況是除沙暴天氣以外其余全是高溫.三個玩家互相避開在同一時間內挖礦、購買物資和行走相同路徑，最終均分三人總的剩余資金.計算得出：一人在挖礦，兩人直達終點的情況下，總剩余資金是28175元;在3人輪流挖礦的情況下，總剩余資金是26628元.通過對比，我們發現一人挖礦，兩人直達終點的方案最優.根據玩家在最優路線過程中消耗的物資和在行程中購買的物資，我們得知在起點時，玩家A、C均需要購買180箱水、180箱食物.玩家B需要購買137箱水、335箱食物.

【關鍵詞】納什均衡;悲觀準則;樂觀準則

玩家憑借一張地圖，利用初始資金購買一定數量的水和食物（包括食品和其他日常用品），從起點出發在沙漠中行走.游戲途中會遇到不同的天氣，玩家也可以在礦山、村莊補充資金或資源，在游戲設定的規則下和規定的時間內到達終點，并保留盡可能多的資金.

一、問題分析

對于玩家來說，玩家同時從起點出發時會增加玩家“同行”時的消耗，降低玩家“同挖”時的收益，提高玩家“同買”時的價格.

在地圖1的情形下，游戲有2名玩家.對于這2名玩家，他們需要提前設定好行動方案.此外，他們在設定行動方案時要盡可能地避免與其他玩家相遇，因此需要猜測對方玩家的心理，這是典型的博弈游戲.由于最短路徑的消耗量是相同的，2名玩家在做決策時要么選擇走三天的最優路徑，要么選擇走其他路徑.玩家可以列出玩家們的贏得矩陣（支付矩陣）來分析對方采取的策略，以此得到自己的支配性策略，從而確定一般情況下玩家采取的最優策略組合（納什均衡）.

在地圖2的情形下，游戲有3名玩家，游戲截止時間是第30天.已知一般情況下沙暴天氣出現的概率是20%，而本游戲中的30天內較少出現沙暴天氣，所以本游戲中出現沙暴天氣的概率低于20%.本游戲討論沙暴天氣的概率是3.33%的情況，即沙暴天氣在30天內只出現1天的情況.從悲觀準則分析，假設30天內有1天沙暴天氣，有29天高溫天氣.從樂觀準則分析，假設30天內有1天沙暴天氣，有29天晴朗天氣.我們分析3名玩家為追求個人的最大利益，均走最優路徑的方案是否可取.如果不可取，那么我們討論3名玩家在合作時互相避開同一時間內挖礦、購買物資和相同路徑移動的情況下，輪流挖礦以及一人挖礦、兩人直達兩種方案的總剩余資金，最終三人均分總剩余資金.

二、模型的建立與求解

（一）地圖1情形下模型的建立與求解

根據以往經驗，我們知道天氣不會對最優路徑造成太大影響.我們通過MATLAB軟件計算得出：去挖礦的所有路徑都不能使玩家到達終點時獲得的剩余資金最大，因此，我們選擇的路徑就是從起點直接到終點，不考慮挖礦.

地圖1情形下有2名玩家，記為A和B.假設2名玩家都是理性決策者，他們就會根據對方的策略來確定自己的策略，找出從起點到終點的最短線路.

由于他們都是理性決策者，他們如果選擇除最優路徑以外的其他路徑，那么一定會選擇從起點到終點的最近路徑.我們把除最優路徑以外的路徑策略記作else，最優路徑的策略記作min.

下面，我們分析玩家A的決策情況.

決策一：當玩家B選擇else時，玩家A可以選擇else或min.若玩家A選擇min，則玩家A勝利;若玩家A選擇else，則兩人平局.玩家A為了贏得本次博弈會選擇min.

決策二：當玩家B選擇min時，玩家A仍然可以選擇else或min.若玩家A選擇min，則兩人平局;若玩家A選擇else，則玩家A失敗.為了贏得本次博弈，玩家A在平局和失敗中會選擇平局，所以玩家A會選擇min.

在這個博弈的過程中，無論玩家B的策略選擇如何，玩家A都會選擇min.

下面，我們分析玩家B的決策情況.

對于玩家B來說，其面臨的博弈局面與玩家A完全相同，所以玩家B也會選擇min.博弈雙方都使用了支配性策略，他們支配性策略的組合就是納什均衡.由于事先考慮到對方可能與自己走相同的路徑，他們在起點帶的食物和水都要滿足支撐他們走最大相同路徑的消耗.我們最終判定最大相同路徑就是（else，else）.

利用MATLAB軟件計算，他們需要在起點購買72箱水、84箱食物.

（二）地圖2情形下模型的建立與求解

根據當地的天氣規律及相應的數據記錄，我們計算沙暴天氣的概率是630×100%=20%，據此得到沙暴天氣在該地區一般情況下的概率.在本游戲中，已知在30天內較少出現沙暴天氣，則本游戲中的沙暴天氣的概率必然低于20%.本模型討論的沙暴天氣的概率是3.33%的情況，即沙暴天氣出現1天的情況.

在本游戲中，如果3名玩家都只追求個人利益的最大化，那么他們都會選擇走最優路徑.下面給出3名玩家同時走最優路徑，其中1名玩家物資消耗的情況，如表1所示.

我們從表1中可以看出，第16天消耗的物資將會超過負重上限1200 kg，即在第16天物資耗盡，游戲失敗.當執行策略的玩家面臨多次具有淘汰風險的博弈時，他們會以不可逆的趨勢向合作的方向發展，因此，他們會選擇合作.合作后的三人會將集體獲得的總資金進行均分.

設3名玩家分別是A，B，C.

1.輪流挖礦方案

已知30天內出現1天沙暴天氣，其余29天均為高溫的情況下，一個人挖礦的最大天數是5天.本方案中3人可以走不同路線，即玩家A從起點走最短路徑到達礦山，開始挖礦.在玩家B還未到達礦山時，玩家A已挖礦2天.在玩家B到達礦山后，玩家A撤出，玩家B隨即開始挖礦，玩家B挖礦5天，這時，玩家A直接走向終點，對玩家B和玩家C的路徑、購買物資和挖礦沒有產生影響.在玩家C到達礦山后，玩家B撤出，玩家C隨即開始挖礦，玩家C挖礦5天，這時，玩家B直接走向終點，對玩家C的路徑、購買物資和挖礦沒有產生影響.綜上所述，該方案的總挖礦最大天數是12天.玩家A，B，C的具體行程如表2所示.

我們按照A的行程利用Excel計算得到A最終的剩余資金是8730元;按照B的行程，利用Excel計算得到B最終的剩余資金是9975元;按照C的行程，利用Excel計算得到C最終的剩余資金是7923元.因此，3人輪流挖礦方案的總剩余資金是26628元.

3名玩家在起點購買（購買物資總量的依據是挖礦最大天數和路程消耗量）和在村莊購買（補充物資總量的依據是挖礦最大天數和路程消耗量）的物質，如表3所示.

由表3可知，玩家A、玩家B和玩家C在起點購買的水分別是432箱、110箱、422箱，食物分別是432箱、670箱、778箱.玩家A不經過村莊，玩家B在村莊沒有購買水和食物（即在起點購買的水和食物夠用），玩家C在村莊購買745箱水和895箱食物.

2.一人挖礦，兩人直達方案

本方案考慮兩人從起點直接去終點，即其中2名玩家不經過村莊和礦山.本方案中的玩家A和玩家C從起點直接去終點，對玩家B的路徑、購買物資和挖礦沒有產生影響.在玩家B到達礦山時，玩家B挖礦5天.綜上所述，該方案的總挖礦最大天數是5天.

玩家A，B，C的具體行程如表4所示.

這種方案下直達終點的玩家A和玩家C最終的剩余資金均是9100元，玩家B最終的剩余資金是9975元.因此，一人挖礦、兩人直達方案的總剩余資金是28175元.

玩家在起點購買（購買物資總量的依據是挖礦最大天數和路程消耗量）和在村莊購買（補充物資總量的依據是挖礦最大天數和路程消耗量）的物資，如表5所示.

由表5可知，玩家A、玩家B和玩家C在起點購買的水分別是180箱、137箱、180箱，食物分別是180箱、335箱、180箱.玩家A不經過村莊，玩家B在村莊購買298箱水，沒有購買食物（即在起點購買的食物夠用），玩家C在村莊沒有購買水和食物（即在起點購買的水和食物夠用）.

三、結語

在地圖1的情形下，博弈雙方都采用支配性策略，玩家A和玩家B的支配性策略都選擇min.通過MATLAB軟件計算，他們需要在起點購買72箱水、84箱食物.在地圖2的情形下，從悲觀準則和樂觀準則兩個角度出發，首先，我們分析了3名玩家均走最優路徑方案不可行.其次，我們討論了3名玩家在合作時互相避開同一時間內挖礦、購買物資和相同路徑移動的情況下，輪流挖礦以及一人挖礦、兩人直達的兩種方案，得出3人輪流挖礦方案的總剩余資金是26628元;一人挖礦、兩人直達方案的總剩余資金是28175元.

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