數學核心素養視角下高中解析幾何教學的策略探究

夏子倫

【摘要】在核心素養逐漸滲透的背景下，教師要通過對教學過程的改良，幫助學生在獲取理論知識的前提下逐步深化數學解題方法和相應的思維能力.而在高中階段，其發展尚未停止，教師要有意識地結合課程的特征和能夠培養的數學素養來確定教學活動的展開形式，進而提升學生的綜合能力.本文將以解析幾何的教學過程為例，深入探究在不同類型的課程上應當如何達到滲透核心素養的效果.

【關鍵詞】高中;核心素養;解析幾何;策略

一、引言

高中階段的學生、教師都時刻繃緊了一根弦，受到應試教育的影響，沒能關注到能力的提升和素養的深化，使得教學過程并不具備高效的特點，因此，教師要致力于對課程教學活動布置的研究.解析幾何是高中數學的重要內容，需要教師在不同的課程講解中滲透核心素養相關的內容，以此保證學生綜合能力的提升.

二、高中解析幾何教學的基本情況

大量的研究資料表明，學生認為高中解析幾何部分知識難度較大，面對綜合性問題往往缺失信心，不能達到解析幾何學習目標的要求，自然難以滲透核心素養.出現以上情況的原因是教師認知上的偏差，其沒能重視能力和思維的培養，對于學生的認知障礙分析不夠準確，進而仍舊使用傳統的教學手段，機械地開展公式應用和結論內化的活動，不利于學生個人能力的培養[1].

三、數學核心素養視角下高中解析幾何教學的策略

（一）概念課程感悟數學思想

在概念課的講解過程中，教師要通過情境的引入，將學生快速帶入到新知的學習中，從而保證其興趣的產出.興趣是主動學習的關鍵點，只有在興趣被合理激發的前提下，學生才能更好地感知新知識，并形成探究的意識[2].這就要求教師在課前導入階段密切聯系生活實際，說明所學習的解析幾何的內容在生活中的展現，為下定義和形成模型奠定基礎.同時，教師要借助討論的方式，不斷引導學生自行完成對概念的修正任務，保證表示的圖形、符號、語言文字等都能夠符合嚴謹治學的要求.而在概念剖析的環節，教師要有意識地利用辯證的思維，提取關鍵詞，就關鍵詞的指向、內涵等深入研究，從而在相互給出內涵結果的前提下內化本質屬性.在設計概念的過程中，教師要秉持著從特殊到一般的原則，對于與其相關聯的概念采取辨析的辦法，以此區分容易混淆的定理，為學生核心素養水平的提升打好基礎.即便是打基礎的時期，教師也應當注重學生培養的思維和能力，可適當利用問題情境，間斷性地提出問題，這樣就會起到回顧之前學習內容的作用[3].

以橢圓的標準方程的教學過程為例，教師在課前導入階段為學生展示北斗衛星的運動軌跡圖、橄欖球或者油儲罐的外輪廓線圖等，引導學生通過生活中常見的物體和形狀了解橢圓的實際應用，以此激發學生學習的熱情.教師由此開展新知建構活動，通過設置小組探究活動，給出需要加以探索的主題：（1）橢圓方程的求法;（2）如何建構坐標系才能簡化方程的求導過程？（3）橢圓方程的化簡變形應當注意哪些問題？等等，使得學生能夠參與到新知建構的環節中，從而對概念部分的內容予以深化，進而強化認知.在完成新知構建的活動后，教師還要設計互問互答的活動，這樣有利于幫助學生加深之前學習的內容，從而達到夯實基礎、體味數學思想的目標.在互問互答環節，教師具體可為學生提供自由詢問的空間，主要從標準方程書寫、焦點坐標確定的方向給出提問的問題.接著，教師要設置能夠檢驗其成果的題目，一般以基礎題為主，目的是引導學生對橢圓的標準方程有基本的認識，進而才能進入到技能和題目解法的研究中.

給出變式訓練題目：已知在橢圓x225+y216=1上有一點P，與一個焦點之間的距離是4，求點P與另一個焦點之間的距離.

變式1：同樣是這一橢圓方程，現有一點P，其橫坐標為4，求出其到兩個焦點之間的距離.

變式2：還是這個橢圓方程，此橢圓上有一點P，求出以兩個焦點以及該點所組成的三角形的周長.

教師通過題目的設置使學生鞏固了知識，并從其回答中得知學生對于概念部分的問題，基于此，完善后續的方法梳理和思想內化的過程.

（二）方程課程培養建模思想

解析幾何主要用代數方法研究幾何對象之間的關系與性質，具有非常強的抽象性，如果學生不具備基本的抽象思維能力與建模能力，就很容易迷失在解析幾何的學習過程中，最終影響高中數學學習效果.教師只有發展學生的建模思想，使其學會從數學的角度思考問題，學會用數學語言描述問題，學會用數學模型解決問題，才能夠實現解析幾何的教學目標，幫助其又快又好地解決解析幾何難題.教師要抓住方程教學的良好時機，在方程課程中滲透數形結合思想，使學生由軌跡方程、聯立方程聯想到具體的幾何問題，在潛移默化的過程中激發其建模意識.同時，教師要注意對學生建模能力的培養，使其學會在閱讀題目時抓住關鍵條件，并根據具體條件搭建出軌跡方程、方程組，構建坐標系，掌握解析幾何的學習方法與學習技巧.教師要做好求解方程的課程教學，細心講解解方程的方法，讓學生在解方程的過程中感悟動點滿足的幾何條件與等量關系，在坐標化操作過程中對問題進行直觀判斷，從而得出方程，然后化簡求得軌跡方程.

以圓的標準方程的教學過程為例，教師在課上復習提問，引入新課內容：“前面學習了曲線方程的關系以及求曲線方程的方法，請你想一下，如何求某種條件的點的軌跡？”在回顧舊知的過程中，教師讓學生聯想建系、設點、列式、化簡四步驟：（1）建立適當的直角坐標系，設曲線上任一點M的坐標為（x，y）;（2）寫出適合某種條件P的點M的集合P={M|P（M）};（3）用坐標表示條件，列出方程f（x，y）=0;（4）化簡方程f（x，y）=0為最簡形式;（5）證明以化簡方程的解為坐標的點都是曲線上的點.接著，教師出示習題：圓心在原點，半徑為5的圓的方程為x2+y2=52，即x2+y2=25.如果半徑發生變化，圓的方程又是怎樣的？你能否寫出圓心在原點、半徑為r的圓的方程？教師經過引導與啟發讓學生列出x2+y2=r2這一方程，并引導其對圓上的點的條件進行探究，使其發現以下規律：圓上的任一點到圓心的距離等于半徑，即x2+y2=r2.教師繼續追問：“x2+y2=r2表示的圓的位置比較特殊，圓心在原點、半徑為r，有時圓心不在原點，若此圓的圓心移至直角坐標系的任意一點C（a，b），方程應是怎樣的？”教師以上述方程為基礎，引發學生的思考，使其理解圓到點C（a，b）的距離等于半徑r的點的幾何意義，再對具體內容進行推導，推理出（x-a）2+（y-b）2=r2這一圓的標準方程.這時，學生的建模思想初步形成，教師再導入習題：（1）已知圓的方程是x2+y2=r2，求經過圓上一點P（x0，y0）的切線的方程.（2）圓的方程是x2+y2=13，求過此圓上一點（2，3）的切線方程.教師通過出示以上類型的練習題深化學生的建模意識，使其在練習中找到方程的應用規律、解方程的規律，從而提升其建模能力與方程模型應用能力，實現解析幾何的有效教學.51956521-FE04-4673-8EA3-369F4F68DA83

（三）方法課程培養邏輯思維

方法課的教學過程要利用具體的題目，借助實踐活動來達到自主發現并總結數學解題模型的目標.教師可在題目的講解中對之前學過的性質、定理等原理的引導和啟發，為學生出示相應的題目解決思路，然后通過小組合作或者自主探究的形式培養其分析問題、全面思考的能力.對于有些定理或者解題模型，學生自行發現才可掌握得更牢固，在運用時也能得心應手.這就要求教師將其帶入到結論、性質、推論的驗證過程，利用設置主題討論問題的方式，使每名學生都能夠感受到自己之于這一學習小組的價值[4].而在這個過程中，教師要做好引導者的角色，參與學生的討論中，感受其在問題分析過程中所遇到的困難.此時，教師不要急于給出具體的答案，而是要注重引導，利用學生已經學過的知識，建立起題目條件和理論間的聯系，從而保證課程推進的效果.解析幾何這部分內容要求學生具備較強的邏輯思維能力，而學生更喜歡利用直觀的物象說明和記憶某個定理，這就要求教師要有意識地運用信息技術，將作圖過程以動態演繹的形式呈現在學生眼前，這樣更為直觀，也便于加深學生對變量以及不變的量的理解，這樣自然有助于學生在感官思維的輔助下逐漸生成抽象認知，以題目為介質，建立起模型，從而提升其核心素養的水平.

以點到直線的距離這一部分內容的講解過程為例.通過問題情境導入這部分知識，給出題目：在平行四邊形ABCD中，已知頂點的坐標為A（-1，3），B（3，-2），C（6，-1），D（2，4），求該平行四邊形的面積.結合這一情境，學生對于平行四邊形的知識較為了解，此時可通過問題的設置來梳理思路：要想求出面積要知道哪些量？這些量應當如何求出？點到其中一邊的距離應當怎么求解？教師以問題鏈構建思維鏈，使學生能夠加入到自主探究中，有助于培養其邏輯思維，踐行核心素養滲透的目標[5].接著，教師給出題目：已知直線AB：5x+4y-7=0，現有一點D（2，4），求其到直線的距離.解答過程不設限，學生可自由發揮，使用自己較為熟悉和能夠靈活運用的方法.有些學生應用定義法：其通過作垂線的方式，求出對應的垂線方程，從而將兩個方程聯立進而得到垂足坐標，運用兩點間距離公式說明垂線段的長度.有的學生應用構造法：在點D處作一條平行于x軸的直線和一條平行于y軸的直線，可以發現兩條直線分別與原直線交于點M，N，可易求出相應的坐標，根據兩點的坐標求出三角形△DMN的三邊長，進而應用面積相等的辦法解得高的長度.還有的學生利用三角法：其在點D處作垂線，與直線AB垂直，垂足為H，而后取一點N，連接DN，使得|DH|=|DN|cos θ，向量的模即為距離，從而利用向量的數量積解出相應的數值.在完成后，教師提出討論問題：同學們所演示的解題方法哪一種最為簡便？可否總結出點到直線距離求解的一般性辦法？以此引導學生自行構建由特殊到一般的解題模型d=|Ax0+By0+C|A2+B2，體現出對總結歸納、模型構建等思維能力的培養.

（四）探究課程培養運算能力

運算能力是高中數學核心素養的基本構成之一，是指運用有關運算的知識進行運算、推理求得問題結果的能力.培養高中生的運算能力對于提升其解決解析幾何學習效果有著重要的作用.教師要轉變灌輸式教學思維，以課堂為互動教學平臺引導學生對問題進行探究，使其在師生對話、生生對話的過程中探究問題內涵、探索問題解決流程、探尋問題最終結果，實現對其綜合運算能力的培養.教師要將任務教學法、項目教學法融合到探究教學中，在講解完基礎的數學知識后引入具體的探究任務，將課堂歸還給學生，讓其獨立思考問題條件，并應用之前所學知識總結解決問題的規律，促進其問題思維的生成.其間，教師要結合課堂反饋情況適時提出問題，啟發學生的解題思路，使其在計算過程中抓住問題的本質，以簡略、直接的方式得出運算答案.

以圓與圓的位置關系這一部分的運算教學為例，教師使用多媒體課件出示探究任務：已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0，試判斷圓C1與圓C2的位置關系.在學生進行任務討論之前，教師做出一點提示，引導其進行思考：（1）圓C1與圓C2的位置關系是怎樣確定的？它們有幾個公共點？（2）它們的方程所組成的方程組有幾組實數解？（3）如果要借助圖形，判斷兩圓的位置關系的根據是什么？在關鍵點提示的引導作用下，學生回顧本課所學的判斷兩圓外離、外切、相交、內切、內含的代數方法和幾何方法：（1）代數方法.根據方程組x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0的解推理兩圓的位置關系.如果方程組有兩組不相同的實數解，則證明兩圓相交;如果方程組有兩組相同實數解，則證明兩圓相切（內切或外切）;如果方程組無實數解，則證明兩圓相離（內含或外離）.（2）幾何方法.假設兩圓的圓心距為d，半徑分別為r1，r2.如果d>r1+r2，圓C1與圓C2相離;如果d=r1+r2，圓C1與圓C2外切;如果|r1-r2|

（五）習題課程內化數形結合

習題課不僅僅是對之前所學知識的檢驗，更是發現學生不足之處和思維桎梏的有力證明，此時教師要遵循習題課的設計原則，從雙基的角度出發，鍛煉其運算能力，并以小組匯報的形式說明在題目解答的過程中使用的方式方法，從而完成闡釋題目的分析解決過程，提升學生的主體地位.教師切勿代替學生思考，為其預留思考的時間，使其能夠在輕松和諧的氛圍中展開學習.題目的講解要確保講練結合，精講為主，不可大量設置習題，會步入題海戰術的后塵，很容易被學生所厭煩.解析幾何的題目基本上都需要畫出大致的圖形，而給出圖形后往往有一定的思路，這說明教師要注重引入數形結合的思想，設計較為開放的問題[6].

題目：已知兩點A，B是圓O：x2+y2=1與x軸的交點，現有一點P在圓上，與A，B兩點不重合，現有一條直線l，其方程是x=3，其與直線AP交于點M，與直線BP交于點N，證明：以MN為直徑的圓必過定點，求此定點的坐標.此題的設計是為了保證數形結合思想的內化，充分借助定點問題的求解方法的整理而提升學生的核心素養水平，進而提升其問題的處理能力.具體講解過程如下：詢問學生：曲線過定點是什么含義？運動的點可以依靠坐標表示，那么運動的圓、直線等可以用什么要素來說明呢？如果想要求出定點關鍵在于什么？此時學生進入到問題的探究中，對于變動曲線方程的求解和定點之間的關系有了更深層次的認識.此時教師要充分利用信息技術，展示不同圓心坐標和半徑下圓的軌跡變化圖示，以此將圖形與代數信息相結合.教師提出問題后，可設置小組探究活動，讓學生說明通過何種方式求出定點的坐標.同學們一般想到的是設點和引入參數直線的斜率.對于引入參數直線斜率的解題過程而言，學生首先要設定直線的斜率為k，結合題目中的已知條件可以得出對應的直線AP的方程，然后根據圓的幾何性質，結合教師所給出的標準圖形特征，看出直線間相互垂直，進而能夠表示出直線BP的斜率-1k，利用點斜式也能夠求出直線的方程.之后令x=3，解出M，N對應的坐標，應用圓的直徑端點式，求出圓的方程，借助恒成立的理論得到定點坐標.設點的小組的解決過程是：將點P的坐標設置為參數，然后按照與設斜率的解題過程向下捋順.還可以通過設圓的直徑端點坐標M（3，m），N（3，n），借助直徑式方程求得圓的方程，進而結合幾何性質，表示出參數m，n之間的關系，消去其中一個參數后，求出僅涵蓋其中一個參數的結果.

四、結束語

綜上所述，在高中階段，學生的個人思維和能力發展仍處于上升階段，要求教師能夠結合課程的基本內容，看到其對于核心素養滲透的價值，從而精準設置教學計劃.對于解析幾何課程而言，需要學生具備問題解決、難點分析的能力，可實現數學式與圖形之間的轉換，因此，教師要從滲透核心素養的角度設計概念課、方法課和習題課，以此達成教學的目標.

【參考文獻】

[1]徐德明.高中解析幾何知識中數學思想方法的教學策略研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學，2019.

[2]雷雪夢.基于“四基”的高中平面解析幾何教學設計研究[D].重慶：重慶師范大學，2019.

[3]宋欣然.新課標下高中平面解析幾何教學策略研究[D].延吉：延邊大學，2019.

[4]陳娜娜.基于高中數學核心素養的教學策略研究：以解析幾何為例[D].武漢：華中師范大學，2019.

[5]高建平.折紙在高中幾何教學中的應用[D].蘇州：蘇州大學，2018.

[6]陳天宇.高二學生數學信念研究[D].南京：南京師范大學，2018.51956521-FE04-4673-8EA3-369F4F68DA83