HPM視角下民族院校數學課堂創造性思維探索

牟金保　熊輝

【摘要】本文主要是針對幾個經典的數學理論，提出數學實驗，再從HPM視角來解釋經典數學理論的創造性思維，借此培養大學生的創造性思維。

【關鍵詞】創造性思維 零點定理 迭代 映射

【基金項目】西藏民族學院校內立項課題；西藏民族學院教學改革與研究項目；西藏教育發展研究中心立項課題。

【中圖分類號】G642.3 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）08-0150-02

數學知識的重要特征在于具有嚴密的邏輯性，內容的抽象性，應用的廣泛性。其特征也表明它是源于實踐，其發現過程才是重要載體，更是深刻把握其邏輯嚴密，內容抽象的重要源頭活水。[1]對于數學基礎知識相對薄弱的民族院校大學生來講，數學課堂簡單、易懂是非常重要的指標。為了從理論教學上說明這一指標重要性，就必須經過理論教學來進行實踐檢驗。大學數學內容是運用包含著大量符號的數學語言來表述的，因而數學探索能力訓練能為學習其他學科提供最優化的途徑。[2]本文從幾個經典的數學理論出發，提出實踐教學中的數學實驗案例，從HPM（20世紀70年代，國際上一些關心數學教育的著名數學家與數學史家，聯手發起了一場學術運動，專門研究數學史與數學教學法的相關問題）視角來解釋經典數學理論的創造性思維，借此培養大學生的創造性思維。

一、HPM視角下介值定理創造性思維探索

大學微積分數學教材中都有介值定理：設函數f（x）在閉區間[a， b]上連續，且在該區間的端點有不同的函數值f（a）=A及f（b）=B，那么，對于A與B之間的任意一個常數C，在開區間（a，b）內至少有一點ξ∈[a， b]，使得f（ξ）=C（a<ξ

在HPM視角下，介值定理可以這樣直觀理解，它的特例是零點定理，當f（a）與f（b）異號時， f（c）=0至少有一解。對于介值定理和零點定理的應用，大多數的經典分析教材中都是給幾個方程或函數，證明在某區間內至少有一個某定值點或零點。在此，我們可以利用初等數學中簡單例子來揭示介值定理的創造性思維方式。比如：某人自上午8點開始從營地出發沿一山間小徑登山，到達山頂的時間是下午5點；第二天他從上午8點開始沿著同一條路線下山，并于下午5點返回原地。試證在這條路線上存在一點，使得他在第二天到達這點的時間與第一天到達該點的時間相同。

從表面來看，這個問題比較復雜，但若我們換個角度來考慮，采用對稱性思維，這個問題就變容易了。假定有甲、乙兩個人，他們同時分別從山頂和山腳的營地出發，在該山間小徑上相向而走。我們知道他們一定會在某一點而且只在該點相遇，這時他們各自的時間肯定是相同的。

這一對稱原理的數學基礎正是零點定理。設山腳營地為坐標原點，上山為正向；兩人離原點的路程為他們各自的坐標，上山者為x，下山者為y。一開始x=0，y為整條路徑的長度，即x-y<0；當登山者到達山頂、下山者到達原點時，y=0，x為整條路徑的長度，即x-y>0。根據連續函數的性質，一定有一點使得x-y=0，即x=y。顯然，同時到達同一點，也就意味著時間是完全一樣的。再比如：在一塊起伏不平的地面上擺放一張四腿方桌，是否一定能找到某個方位可使桌子放穩？

三、HPM視角下實數集的連續映射創造性思維探索

實數集包含的哲學其實是最深刻的哲學，因為數學里面最深刻而基本的難題就是實數集上面的連續統問題，它蘊含著豐富的人生哲學和宗教哲學，這也是民族院校數學課堂創造性思維探索的突破口。比如：區間（0，1）與（0，2）中的點都和整個實數空間的點一樣多。

我們不直接驗證這句話，而是通過驗證一些哲理來說明它的正確性。“一剎那即一永恒”來自于佛教的經典《彌陀經》，“一剎那”在佛教里面是指最小的時間單位，該詞意味著一個很短的時間可以和一個很長的時間完全對應起來；“壺中歲月長”屬于道教的說法，意思也差不多；“度日如年”來源于生活哲學，過一天感覺像過了一年那么難受，生不如死。在此，它們都屬于一維到一維的映射。我們只解釋第一句話，后兩句同理可得。據佛經《摩訶僧祗律》第十七卷記載：“一剎那者為一念，二十念為一瞬，二十瞬為一彈指，二十彈指為一羅預，二十羅預為一須臾，一日一夜有三十須臾。”一日一夜有24個小時，由此可以算出：一剎那就等于0.018秒。若一條水平線段表示0到0.018秒，在其間我們任取一點Q，在線段上方任取一點P，在線段下方畫一條平行直線。由于兩點決定一條直線，所以P、Q兩點的延長線跟下方直線有且只有一個交點R。可見，Q和R是一一對應的。當P趨近于Q時，P和Q的連線的延長線趨近于負無窮，P和0.018的連線的延長線趨近于正無窮。由此可知：一剎那跟一永恒是完全相等的。

以上的一些宗教和哲學說法在中國已經至少有上千年的流傳歷史，據說之后萊布尼茨（Liebnitz，1646-1716，德國數學家、哲學家）也發出同樣的感慨。另外，還有不少數學家構造出一些怪異的曲線來實現不同維流形之間的一一映射，如皮亞諾 （Peano， 1858-1932，意大利數學家，是符號邏輯的先驅和公理化方法的推行人）曲線是1維和2維流形之間的映射體現，希爾伯特 （Hilbert， 1862-1943， 德國數學家）曲線是2維和3維流形之間的映射體現等。所有這些都是實數集的無窮性、超窮性顯示出來的奧妙。至今數學對它還只能作少許闡述，遠談不上徹底的理解。

按照本文的探索方式，通過西藏民族學院數學課堂的實踐證明，HPM視角下民族院校數學課堂能給基礎薄弱的大學生創造一種通俗易懂的學習條件。與此同時也是他們自己的思維與實踐活動更易結合，這將成為他們在數學創造中產生新思想、創立新理論和提出新成果的起點。

參考文獻：

[1]牟金保，民族院校高等數學課堂優化途徑[J]. 課程教育研究. 2012（10）：137

[2]牟金保，中國數學興衰新探[J].咸陽師范學院學報，2009，24（6）：59-62

[3]吳贛昌，高等數學[M].中國人民大學出版社，2006：66

[4]熊輝，數學建模，中國人民大學出版社，2011：46-50

作者簡介：

牟金保（1984.3-），陜西寶雞人，男，西藏民族學院教育學院教師講師，研究方向：數學教育與數學史。