基于元認知理論的數學解題教學探究

黃少偉

【摘 要】 波利亞說，“學習數學就是學習解題”.單墫教授認為，“解題是一門實踐性的學問”.中學數學教學的首要任務是加強解題的訓練，學生在教師的引導下，面對具有挑戰性的數學問題，展開持續性地探索，獲得學習數學的興趣和解題的成就感，通過解決問題讓學生成為學會學習、主動學習的人，

【關鍵詞】 元認知理論;數學解題;課堂教學

1 解題教學現狀與原因剖析

很多學生都認為數學“難，數學知識抽象難懂.學生在解決數學問題時，也面臨讀不懂、不會做等問題.因此，解題教學顯得尤為重要.結合教學實踐，筆者認為學生的解題困境有以下幾點原因：

1.1 新課教學時間縮短

教師為趕進度而加快上課節奏，違背學生的認知發展規律，對于大部分初中生來說，短時間內吸收不了大量抽象的數學知識，解題能力自然下降.

1.2 概念教學一筆帶過

概念課是每個知識點的起始，學生解題錯誤主要源于概念不清.例如，求解含參數的一元二次方程的取值范圍問題，需要考慮二次項系數a≠0的情況，學生會忽略而導致結果出錯;又如題目中呈現“作點A關于直線l的對稱點B"，學生往往只會作圖，但不會運用軸對稱的性質得出l是AB的垂直平分線，進而難以解決后續問題.

1.3 “運算能力”和“推理能力”差

數學學習的基本任務是學會運算和推理.運算要正確、合理和迅速，推理要符合邏輯規則，分析好解題思路能大大加快解題的速度.

1.4 沒有預留充足時間給學生審題

課堂觀察發現，很多老師在解題教學時，學生沒有讀完題目就問“你有什么想法？”，學生一時答不上來，就說“看來大家暫時沒有想法，下面我來講！教師急于求成的行為，久而久之會影響學生的解題和思考習慣. 2 元認知理論 元認知的概念最早由美國心理學家Flavell提出，他將元認知定義為：反映或調節認知活動的任一方面的知識或者認知活動.簡言之，元認知就是對認知的認知.元認知分為元認知知識、元認知體驗和元認知監控三個要素.

在解題教學中，元認知知識指個體在解決問題時，調動通過學習或生活經驗積累的一般性知識.個體間對元認知知識的反應存在差異，如在解決幾何的最值問題時，有些學生喜歡利用幾何直觀轉化求最值，而有一些學生喜歡通過建立坐標系、構造函數求最值.元認知體驗指個體在解題時產生認知和情感的體驗.如在解題時，通過啟發式問題，“題目的已知條件是什么？”“要求解的問題是什么？”“通過條件，可以得到什么小結論？”“為后續解決問題，有何幫助？”等幫助自己解題，元認知監控則是指主體在解題時，對自己的解題活動進行積極而自覺地監視、控制和調節的過程，

波利亞提出在解決數學問題時，可以利用啟發式自我提問法，主要包括四個步驟：理解問題、擬定計劃、執行計劃與回顧[1];喻平教授認為解題歷程分為問題表征階段、問題解決過程、解題后反思[2].筆者結合理論與教學實踐，將解題教學整理為以下5個過程：審清題意，理解問題;聯想問題，找到突破口;設計方案;執行方案;回顧與反思.

3 例談元認知在解題教學中的應用

通過上述分析，筆者將以具體的解題教學實例闡述元認知理論在解題教學中的應用.

案例 人教版教材九年級上冊P87例4改編

如圖l，圓O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，∠ACB的平分線交圓O于點D，求CD的長.

3.1 審清題意，理解問題

在解題前，一定要給學生留足時間思考.解題教學中，培養學生認真審題的好習慣.在這個階段，學生充分理解題意，圈畫關鍵詞，幾何圖形標記相等線段、相等角等.這里要引導學生，理清題目條件（包括顯性條件和隱形條件）是什么？目標是什么？能畫一個草圖或使用其他記號簡化問題嗎？

3.2 聯想問題，找到突破口

通過條件梳理，教師利用啟發式問題幫助學生聯想，找到解題的突破口，如：之前見過這個類型的問題嗎？你能發現一個用得上的定理嗎？可以從哪一個條件出發？

求CD前的準備：利用勾股定理和等腰直角三角形可以求得BC=8 ，AD=BD=5，√2.

概念 角平分線、等腰、勾股定理求線段長

聯想1 √ACD=45°是一個特殊角，可以利用特殊角，求長度.

聯想2 CD是角平分線，可以利用角平分線的性質定理.

聯想3 等腰直角三角形ADB，DA=DB.

3.3 設計方案

通過上述的聯想，設計方案，方案的設計依據是？預測可以執行嗎？如果都能執行，你會選擇哪一個？

方案1 以∠ACD=45°特殊角為切人點，作垂直，利用勾股定理求長度.

方案2 以CD是角平分線為切入點，利用角平分線的性質定理，構造輔助線.

方案3 以DA=DB共點等長為切入點，構造旋轉.

3.4 執行方案

方案是否具有可操作性？實際操作時，是否碰壁？需要調整解題方向嗎？

3.5 回顧與反思

以上三種解法都各有優點，直接解法簡單明了;利用角平分線定理求長度，設未知數會使解題過程更加清晰;利用共點等長構造旋轉，需利用內接四邊形對角互補證明三點共線.對于不同的問題，結合已知條件，可以選擇不同的方案解決問題，

此題本質是對直角的四邊形加一組等邊求長度的問題，因此在解題教學的最后，可將題中的圓隱去，并改變其中部分條件，得到如下變式題，加深學生對此類問題的理解.

4 數學解題教學中培養學生利用元認知解題的策略

元認知理論認為，人是積極主動的機體，其主體意識監控現在、計劃未來，有效地控制自己的思維和學習過程.教師如果能在解題教學中利用元認知理論引導學生解題并進行自我反思，那么學生不僅能掌握解決問題的突破口與方法，更快地解決問題，還能提高學習內驅力，以下提供幾個教學策略.

4.1 有意識地運用元認知理論進行解題教學

教師在解題教學中，運用元認知理論的5個階段，不斷追問，逐步引導學生解決問題，當學生獨立解題時，也能潛移默化地使用元認知理論，通過啟發式問題引導自己，提高解題的速度與正確率.

4.2教會學生學會反思

解題教學中的最后一環是學會反思，通過解決問題的過程，幫助學生嚴謹地回顧自己的思維過程，思維是否清晰、連貫、深刻，有沒有抓住問題的本質與規律.也可以在教學中，嘗試學生的錯誤想法，弄清弄懂錯因，幫助學生理解易錯點，引起反思.

4.3 注重變式與遷移

教師設計多方位、多角度的解題突破口，旨在殊途同歸的思維程序.在解題教學中，教師要精心創設一個符合學生認知規律，能激發學生求知欲的由淺人深的問題情境，啟發探索，誘導反思，養成多角度分析數學問題的習慣，并在解題后，可以設計變式題，修改題中的條件，再次引發學生思考，提高學生的知識遷移能力，完善認知結構.

參考文獻：

[1]（美）波利亞.數學的發現[M].北京：科學出版社，2001

[2]喻平.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2010