線段、射線、直線中的數學思想

陸歡

【摘要】線段、射線、直線是學生在學習幾何時最先需要掌握的基礎知識之一.在解答與它們有關的計算題時，常常要運用一些數學思想.本文舉例闡述線段、射線、直線中的數學思想.

【關鍵詞】數學思想;幾何圖形;數學解題

1 數形結合思想

數形結合思想，就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合來解決問題的一種思想方法.

例1同學們去公路旁植樹，每隔3m植一顆樹，在21m長的公路旁最多可植多少顆樹？

分析 為了便于理解題意，準確求解，比較直觀的方法就是畫出圖形，借助圖形解決問題.此題，同學們可能會不假思索地回答7顆數，因為21÷3=7，只考慮了有7段，沒有考慮要求的是端點數.

解 由圖1可知，可植8顆樹.

點評 根據題意作出圖形，數形結合，這樣可以直觀且快速地得出正確答案.數形結合思想可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的.

2 方程思想

方程思想，就是分析數學中的等量關系，去構建方程或方程組，通過求解或利用方程的性質去分析解決問題的一種思想方法.

例2 如圖2，已知線段AB和CD的公共部分BD=13AB=14CD，線段AB，CD的中點E、F之間距離是10cm，求AB，CD的長.

分析 由BD=13AB=14CD，可設BD=x，則AB=3x，CD=4x.根據題意，知EF=2.5x=10，從而求得x的值，進而求出AB，CD的長.

解 設BD=xcm，則AB=3x cm，CD=4x cm.

因為E、F分別是AB、CD的中點，

所以AE=12AB=1.5x（cm），

CF=12CD=2x（cm），

所以EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5x（cm），

因為EF=10cm，所以2.5x=10，解得x=4，

所以AB=12cm，CD=16cm.

點評 本題中線段之間的關系較復雜，但如果我們設了適當的未知數，就能理順各線段之間的關系，并且根據等量關系，建立方程模型，幫助我們快速解題.運用方程思想求解線段的長度也充分體現了數形結合的思想.

3 分類討論思想

分類討論思想，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，需要把研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出結論，最后，綜合各類結果得到整個問題的解答.

例3 已知C是線段AB的中點，在直線上有一點D，且BD=1.5，AD=6.5，求線段CD的長度.

分析 此題沒有明確點D的具體位置，所以我們在解答時，應對點D的情況進行分類討論，當點D在點B左側時的情況以及當點D在點B右側時的情況.

解

（1）當點D在點B左側時（如圖3），

AB=AD+BD=6.5+1.5=8.

因為C是線段AB的中點，

所以CB=12AB=4，

所以CD=CB-BD=4-1.5=2.5.

（2）當點D在點B右側時（如圖4），

AB=AD-BD=6.5-1.5=5，

因為C是線段AB的中點，

所以CB=12AB=2.5，

所以CD=CB+BD=2.5+1.5=4.

所以，線段CD的長為2.5或4.

點評 如果題中沒有明確點的位置，應分情況討論.實質上，分類討論可以化整為零，各個擊破，再積零為整.此題還需要根據題意畫出圖形，以形助思，數形結合.

4 整體思想

整體思想，就是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，從而解決問題的一種數學思想.

例4 如圖5，已知線段AB=16cm，C是AB上的任意一點，E、F分別是AC，BC的中點.

（1）求線段EF的長度;

（2）若線段AB=a，其他條件不變，你能猜測出EF的長度嗎？并證明，并請用一句話表述你發現的規律.

分析 根據線段中點的定義和線段的和差來計算，題目中僅知道線段AB的長，要求線段EF的長，根據條件可以考慮整體思想來解決.

解 （1）因為點E是AC的中點，點F是BC的中點，

所以EC=AE=12AC，CF=BF=12BC，

所以EF=EC+CF=12AC+12BC

=12AC+BC=12AB=8cm.

（2）猜想EF=12AB=12a.

證明 因為點E是AC的中點，點F是BC的中點，

所以EC=AE=12AC，CF=BF=12BC，

所以EF=EC+CF=12AC+12BC

=12AC+BC=12AB=12a.

從而得到一般規律：線段上任意一點把線段分成的兩部分的中點距離等于原線段長度的一半.

點評 本題中將EC+CF看作一個整體，再根據題目中的有關條件作整體處理，進而解決問題.利用整體思想往往可以使問題得到最合理的解決.

5 從特殊到一般的思想

從特殊到一般的思想，就是從特殊的事例中總結出一般的規律，從而解決問題的一種數學思想.

例5 根據題意，完成下列填空：如圖6所示，l1與l2是同一平面內的兩條相交直線，它們有一個交點，如果在這個平面內，再畫第3條直線l3，那么這3條直線最多可有 個交點;再畫第4條直線l4，那么這4條直線最多可有 個交點;由此我們可以猜想：在同一平面內，6條直線最多可有 個交點，nn為大于1的整數條直線最多可有 個交點（用含n的代數式表示）.

分析 通過閱讀題目中提供的材料，可從兩條直線相交、3條直線相交、4條直線相交等特殊情況入手研究，進而推出一般的規律.

解 2條直線最多可有1個交點，3條直線最多可有1+2=3個交點，4條直線最多可有1+2+3=6個交點，所以可以猜想：6條直線最多可有1+2+3+4+5=15個交點.

由此可見，nn為大于1的整數條直線最多可有1+2+3+…+n-1=n（n-1）2個交點.

點評 在求解本題時，通過從特殊的情形入手，進行觀察、分析和猜想，從而得出一般性的結論.