初中數學解題中相似三角形的巧妙運用

劉賢華

【摘要】在初中數學教學中平面幾何是學生學習的重難點.學生們經常需要解決一些計算線段長度、角度、比例以及角相等、邊相等或成比例的問題.這些問題的求解過程中，學生可以使用多種多樣的解題方法，其中借助相似三角形的方法能夠幫助學生快速解題.因此，本文從“求解線段長度問題”、“求解角的度數問題”、“求解線段比例問題”、“證明線段相等問題”四個方面談一談如何利用相似三角形的性質解決相關問題.

【關鍵詞】相似三角形;初中數學;解題思路

1 求解線段長度問題中利用相似三角形

在有關求解線段長度的問題中，學生們經常會使用代數的方法對線段的長度進行求解.在這個過程中，不僅需要進行復雜的計算，還要求學生們能夠運用對應的定理，這對學生具有很大的挑戰.因此，為了能夠讓學生在面對這類問題時，能夠快速具有解題思路，且準確運用特定的解題方法，教師們就需要引導學生掌握相似三角形的特性，促使學生們能夠在解決線段長度問題時能夠借助相似三角形進行快速解題.

例1 如圖1所示，將三角形ABC紙片進行折疊，使得點B落在AC上為點D，其折痕為EF.已知△ABC中AB=AC=3，且BC=4.假如以點D、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，求解線段BF的長度.

解析 在該例題中，已經給出了以點D、F、C為頂點的三角形與△ABC相似，但是題中并沒有說明頂點的對應關系，所以在解決這一問題的過程中，不能簡單認為△DFC∽△ABC.在這一問題中，教師們需要引導學生全面思考這兩個三角形之間所有相似的情況.已知，該圖形通過折疊可以得到BF=DF，因此，假如△DFC∽△ABC，那么可以得到DFAB=CFBC，進而得到BF3=4-BF4，即BF=127;假如△FDC∽△ABC，那么就可以得到DFAB=FCAC，從而得到BF3=4-BF3，即BF=2.因此，可以說例1的答案為BF的長度是2或127.

2 求解角的度數問題中利用相似三角形

除去求解線段長度的問題，平面幾何的內容中讓學生經常求解的內容包括角的度數等問題.對于一些簡單的角的度數求解問題中，學生們可以通過代數的方法進行求解.但是對于一些復雜的求解問題，教師們就可以引導學生利用相似三角形的特性對角的度數進行求解.在例2這一經典例題的求解中就很好地運用了相似三角形的特性.

例2 如圖2所示，是三個并列的且邊長相等的正方形，請試著說明圖形中∠1+∠2+∠3=90°.

解析 已知圖2中是三個相等的正方形并列而成的長方形，通過正方形的性質可以知道∠1=45°，因此，在這個問題中需要學生們對∠2+∠3這兒的角度進行求解.只要能夠證明∠2+∠3=45°，那么∠1+∠2+∠3=90°就成立.因為∠1為EBC的外角，所以可以得到∠2+∠4=45°，因此需要證明∠3=∠4就可以將問題求證.要想證明∠3=∠4就需要證明△BCE∽△BED.在這個過程中，學生們可以借助代數的方法對問題進行求解.

假設正方形的邊長為1，那么就可以得到BC=1，BD=2，

根據勾股定理可以得到EB= 2.

因為BEBC= 21= 2，BDBE=2 2= 2，因此可以得到BEBC=BDBE.

又因為∠EBC=∠DBE，所以可以證明△BED∽△BCE，從而得到∠3=∠4.

因此，由于四邊形ABFE為正方形，

所以可以得到∠2+∠3=∠2+∠4=45°=∠1=45°，

即∠1+∠2+∠3=90°得證.

3 求解線段比例問題中利用相似三角形

在初中數學解題教學中，教師們需要重視學生解題思路的培養.相似三角形的特性在平面幾何的問題中有著較高的應用效率，對于求解線段比例的問題也同樣可以利用相似三角形的特性對其進行求解.在例3這一例題中就很巧妙地利用相似三角形對線段成比例的問題進行了解答.

例3 如圖3所示，在△ABC中AD⊥BC于點D，DE⊥AB于點E，且DF⊥AC于點F，請試著說明AE·AB=AF·AC.

解析 圖形中符合直角三角形斜邊上的高的基本圖形有兩個，因此，教師們需要引導學生們能夠聯想到利用直角三角形的相似判定對問題進行解答.

從題目已知AD⊥BC，因此可以直接得到∠ADB=90°，

又因為DE⊥AB，所以可以得到△ADE∽△ABD，

進一步得到AEAD=ADAB，即AE·AB=AD2.

同理，通過證明可以得到AFAD=ADAC，即AF·AC=AD2.

因此，可以得到AF·AC=AD2=AE·AB，

使得AE·AB=AF·AC得證.

4 證明線段相等問題中利用相似三角形

線段長度問題可以借助相似三角形的方法進行求解，那么同樣的對線段相等的證明題中，也可以利用相似三角形進行求證.相似三角形的特性對于線段長度、比例、相等的求解具有重要作用.

例4 如圖4所示，點F為菱形ABCD的邊AB延長的一點，連接CF、DF，已知E為DF與BC的交點，且EG∥CD交CF于點G.試證明EG與EB相等.

解析 在這一例題的求解過程中，教師們首先需要引導學生對題目中所給出的已知條件進行分析，從而根據題目中給出的線段平行關系進行分析，從而找出圖中存在的相似三角形.在這一問題中，如果直接尋找全等三角形的方式是無法將題目進行求證的.

因為四邊形ABCD是一個菱形，所以可以得到EB∥AD，

所以可以得到△FBE∽△FAD，

因此通過相似三角形可以得到EBAD=FEFD.

由題意已知EG∥CD交CF于點G，

所以可以得到△FGE∽△FCD，

所以EGCD=FEFD，EBAD=EGCD.

又因為AD=CD，

所以EB=EG.

總而言之，在初中數學解題過程中，教師們需要重點關注學生解題思路的培養.學生解題思路的培養對其解題能力的提高具有重要作用.因此，在初中數學平面幾何的解題過程中，教師們可以讓學生養成借助相似三角形特性思路，對題目進行解答.